核心素養(yǎng)觀念下的數(shù)與代數(shù)教學(xué)及啟示*
——以“分式的乘除”為例

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(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004)

●吳志權(quán)

(長(zhǎng)興縣實(shí)驗(yàn)中學(xué),浙江 長(zhǎng)興 313100)

核心素養(yǎng)已成為當(dāng)下數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)熱點(diǎn)，然而如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，這是一個(gè)值得深入探討的問(wèn)題.筆者以吳志權(quán)老師“分式的乘除”一課為例，討論如何從簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)內(nèi)容中挖掘深刻的學(xué)科內(nèi)涵，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思考，在類比遷移中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，以期為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)提供一些借鑒.

1 教材內(nèi)容概況

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：學(xué)生利用“類比學(xué)習(xí)”，經(jīng)歷分式乘除法則的建構(gòu)過(guò)程；理解分式的乘除法則，會(huì)運(yùn)用法則進(jìn)行運(yùn)算，并能解決一些與分式相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；滲透類比轉(zhuǎn)化的思想，在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)學(xué)到數(shù)學(xué)方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是分式的乘除法則及其運(yùn)用.分子、分母為多項(xiàng)式的分式乘除運(yùn)算具有一定的復(fù)雜性，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn).

2 關(guān)鍵教學(xué)片斷

片斷1體驗(yàn)法則階段.

師：你知道這一章有哪些內(nèi)容嗎？

(學(xué)生開(kāi)始翻書(shū)的目錄，教師適時(shí)用多媒體展示本章節(jié)的目錄.)

師：我們是怎樣獲得分式的概念、性質(zhì)的？

(教師引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知的學(xué)習(xí)過(guò)程，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).教師多媒體展示分式的概念、性質(zhì)這幾節(jié)內(nèi)容的導(dǎo)入部分，讓學(xué)生體會(huì)類比這一重要的數(shù)學(xué)思想.)

師：那同學(xué)們思考一下關(guān)于分式的運(yùn)算，我們?cè)撊绾蝸?lái)學(xué)習(xí)呢？

生：我們可以通過(guò)類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算來(lái)學(xué)習(xí)分式的運(yùn)算.

(教師給出兩道分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算題，學(xué)生快速地解答.緊接著，教師拋出兩道單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算題，讓學(xué)生自主進(jìn)行類比學(xué)習(xí).)

師：請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)你對(duì)分式的乘除有哪些新的認(rèn)識(shí)？

生1：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母；分式除以分式，就是將其化為乘式，按照分式的乘法進(jìn)行運(yùn)算就好了.

師：怎么化為乘式？

生1：把除式的分子、分母顛倒位置，把除號(hào)變?yōu)槌颂?hào).

師：這是大家自己總結(jié)的分式的乘除法則，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們翻開(kāi)課本，看課本上是如何歸納分式的乘除法則.

(通過(guò)對(duì)比課本，使學(xué)生對(duì)分式的乘除法則有一個(gè)較為清晰的認(rèn)識(shí).)

師：之前我們用字母來(lái)表示分?jǐn)?shù)的乘除法則，現(xiàn)在哪位同學(xué)能嘗試用字母表示分式的乘除法則？

師：對(duì)比分?jǐn)?shù)的乘除，同學(xué)們思考一下它們之間有哪些區(qū)別與聯(lián)系？

生2：分?jǐn)?shù)的乘除法則在分式中也能通用！

師：很好！還有嗎？用字母表示分式的乘除法則，這里的字母表示什么？

生3：數(shù)！

生4：?jiǎn)雾?xiàng)式！多項(xiàng)式！

師：也就是說(shuō)這里的字母不僅僅局限于數(shù)，也可以表示式.

片斷2法則操作階段.

從下面所給的4個(gè)代數(shù)式中任意選擇兩個(gè)，用“×”或“÷”連接，并進(jìn)行計(jì)算：

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題目要求給自己設(shè)計(jì)一道題目，再給同桌設(shè)計(jì)一道題目.

(教師巡視并指導(dǎo)學(xué)生改正運(yùn)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤.之后，通過(guò)實(shí)物投影將學(xué)生的作品進(jìn)行展示，一些學(xué)生出現(xiàn)了典型性錯(cuò)誤，全班一起尋找犯錯(cuò)的原因并幫助其改正.)

師：通過(guò)之前的練習(xí)，你能說(shuō)說(shuō)分式的乘除運(yùn)算一般要經(jīng)歷哪些步驟？

生5：先因式分解，再約分，然后得到結(jié)果.

師：分式的乘法是這樣的，那除法呢，第一步先做什么？

生5：除式的分子、分母顛倒位置，將除號(hào)化為乘號(hào).

師：分式乘除運(yùn)算的一般步驟可以歸納為:先“化乘”，然后再因式分解、約分，最后得到結(jié)果.大家同意不？

生(眾)：同意！

師：我們剛才只選擇了兩個(gè)代數(shù)式進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算，如果讓你選擇其中的3個(gè)，你會(huì)計(jì)算嗎？請(qǐng)動(dòng)手試試看.

(教師用多媒體展示一些學(xué)生的作品，并強(qiáng)調(diào)了多個(gè)代數(shù)式乘除運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意運(yùn)算順序、符號(hào)意識(shí)、化簡(jiǎn)等問(wèn)題.)

片斷3法則運(yùn)用階段.

一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為l,b,h的長(zhǎng)方體紙箱裝滿了一層高為h的圓柱形易拉罐(如圖1所示).

圖1

師：現(xiàn)在有這樣一個(gè)生活情境，你能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生6：求一個(gè)易拉罐的體積.

生7：求這個(gè)長(zhǎng)方體紙箱的體積.

生8：這個(gè)紙箱共能裝多少個(gè)易拉罐？

生9：裝滿易拉罐后，紙箱還剩下多少空間？

……

師：大家提出的問(wèn)題都非常精彩，現(xiàn)在我們一起來(lái)解決這些問(wèn)題.

師：求一個(gè)易拉罐的體積，易拉罐是圓柱形，圓柱的體積大家會(huì)算嗎？

生(眾)：會(huì)！圓柱體積是πr2h.

師：紙箱呢？它是長(zhǎng)方體的.

生(眾)：lbh.

師：很好！一個(gè)紙箱共能裝多少個(gè)易拉罐？

生10：紙箱的容積除以一個(gè)易拉罐的體積就可以了.

師：大家覺(jué)得可以嗎？

(有的學(xué)生表示贊同，有的學(xué)生覺(jué)得有點(diǎn)問(wèn)題.)

師：如果按照生10的想法，理論上是可以的，但實(shí)際呢？大家有沒(méi)有想過(guò)易拉罐之間的空縫呢？紙箱的容積除以一個(gè)易拉罐的體積，就會(huì)把這些空縫也算進(jìn)去，但實(shí)際操作是不行的.

生11：可以先算出紙箱一行能放幾個(gè)，再算出一列的個(gè)數(shù)，乘起來(lái)就是總的個(gè)數(shù).

師：一行的個(gè)數(shù)怎么算？一列呢？

師：你的想法非常棒！紙箱的剩余空間這個(gè)問(wèn)題誰(shuí)能解決？

師：課本上也提出了一個(gè)問(wèn)題，求紙箱空間的利用率,利用率就是易拉罐總體積與紙箱容積之比.這個(gè)問(wèn)題大家能解決嗎？

3 核心素養(yǎng)視野下的教學(xué)分析

時(shí)下，新一輪基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革高度關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.史寧中認(rèn)為核心素養(yǎng)是后天習(xí)得的、與特定情境有關(guān)的，是通過(guò)人的行為表現(xiàn)出來(lái)的，因此是可監(jiān)測(cè)的知識(shí)、能力和態(tài)度；涉及人與社會(huì)、人與自己、人與工具這3個(gè)方面，最終要落實(shí)在人即受教育者身上，他進(jìn)而提出可以從讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼睛看”“用數(shù)學(xué)的思維想”“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言說(shuō)”[1]，這3個(gè)方面將學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)中.本課例是一則精彩的基于學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)，靈動(dòng)且富有彈性.吳老師充分挖掘教材資源，并對(duì)教學(xué)素材進(jìn)行重組與優(yōu)化，成功地做到教學(xué)設(shè)計(jì)“源于教材，高于教材”；引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)法則的產(chǎn)生、操作和運(yùn)用過(guò)程，并在此過(guò)程中給予學(xué)生充分的思考、合作、交流、表達(dá)的空間.

3.1 用數(shù)學(xué)思維分析世界

現(xiàn)代教育實(shí)踐竭力追求“形式教育(思維訓(xùn)練)”與“實(shí)質(zhì)教育(知識(shí))”的統(tǒng)一.李藝認(rèn)為從思維層面上構(gòu)建學(xué)科思維體系的系統(tǒng)性、完整性和豐富性，并通過(guò)課程實(shí)施將其轉(zhuǎn)化為學(xué)生的內(nèi)在品質(zhì)，是實(shí)現(xiàn)兩者統(tǒng)一的有效途徑[2].數(shù)學(xué)學(xué)科所特有的抽象概括、邏輯推理、類比推理等思維方式，需要通過(guò)課堂教學(xué)加以落實(shí)，使學(xué)習(xí)者能夠像數(shù)學(xué)家一樣深入思考問(wèn)題.

吳老師在教授分式的乘除法則時(shí)，每一處教學(xué)細(xì)節(jié)都注重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科思維的培養(yǎng).教學(xué)一開(kāi)始，吳老師便讓學(xué)生從章節(jié)的整體結(jié)構(gòu)理解新知與舊知之間的關(guān)系，通過(guò)聯(lián)系分式的概念、性質(zhì)的探究方法，潛移默化地滲透類比學(xué)習(xí)的思想，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)分式的乘除法則.在此過(guò)程中，吳老師幫助學(xué)生通過(guò)類比思維和一般化思維將分?jǐn)?shù)概念及其運(yùn)算規(guī)律類比推廣至分式，從而達(dá)到數(shù)與代數(shù)的巧妙過(guò)渡.法則運(yùn)用階段，特別是計(jì)算多項(xiàng)式的乘除時(shí)，有些學(xué)生就會(huì)出現(xiàn)未及時(shí)因式分解、約分而使整個(gè)運(yùn)算變得繁瑣復(fù)雜，吳老師就會(huì)引導(dǎo)學(xué)生反思因式分解、約分的真正涵義.算理是運(yùn)算的思維本質(zhì)，運(yùn)算法則是算理的外在表現(xiàn)形式，它使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便易行.法則教學(xué)不能僅僅停留于運(yùn)算法則的教授，而要在學(xué)生熟悉運(yùn)算法則后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)運(yùn)算過(guò)程進(jìn)行反思與再創(chuàng)造.這樣的教學(xué)處理是以思維為主線、以算理為先導(dǎo)、以創(chuàng)造為旨向，在此意義下，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)、歸納出運(yùn)算法則，而且理解了算理，甚至能創(chuàng)造出更為簡(jiǎn)便的運(yùn)算方法，從而實(shí)現(xiàn)算法與算理的統(tǒng)一.

本節(jié)課對(duì)類比思想的滲透無(wú)疑是成功的，類比思維、一般化思維也將為學(xué)生主動(dòng)研究新的問(wèn)題提供可能.數(shù)學(xué)學(xué)科思維的獲得過(guò)程具有長(zhǎng)期性，不可能一蹴而就，必須經(jīng)歷長(zhǎng)時(shí)間、系統(tǒng)而復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)和心理過(guò)程才能獲得[2].本節(jié)課也成功地向我們展示了學(xué)生通過(guò)體驗(yàn)法則的形成、運(yùn)用和再創(chuàng)造過(guò)程，將數(shù)學(xué)思維內(nèi)化為自身的內(nèi)在品質(zhì)既關(guān)注到“雙基”內(nèi)容的掌握，也實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算規(guī)則的遷移，經(jīng)歷了規(guī)則的創(chuàng)造過(guò)程.

3.2 用數(shù)學(xué)眼光觀察世界

用數(shù)學(xué)的眼光看世界就是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行抽象，從而進(jìn)入數(shù)學(xué)內(nèi)部.數(shù)學(xué)抽象常常用數(shù)學(xué)符號(hào)或者術(shù)語(yǔ)予以表征.體驗(yàn)法則階段，吳老師不斷向?qū)W生提問(wèn)“你能類比分?jǐn)?shù)的乘除，嘗試用字母表示分式的乘除法則嗎”“你知道這里的字母表示什么嗎”“分?jǐn)?shù)的乘除法則我們?cè)米帜副硎?，現(xiàn)在我們也能用字母表示分式的乘除，兩者的字母表示有什么聯(lián)系與區(qū)別嗎”……通過(guò)不斷地設(shè)問(wèn)，幫助學(xué)生建立和強(qiáng)化符號(hào)意識(shí)，讓學(xué)生感知符號(hào)表達(dá)是對(duì)數(shù)量關(guān)系的一種抽象，逐漸學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼睛看世界.鄭毓信認(rèn)為如果“數(shù)學(xué)地看待世界”可以被看成“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的顯性表現(xiàn)，那么“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的核心所在就是幫助學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維，并能逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更全面、更深、更合理[3].

在法則運(yùn)用階段，吳老師設(shè)計(jì)大膽，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待世界、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、表述問(wèn)題.基于情境學(xué)生主動(dòng)發(fā)散思維，舍棄具體背景中的物理屬性，嘗試從數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)研究對(duì)象，如“求一個(gè)易拉罐的體積”“求這個(gè)長(zhǎng)方體紙箱的體積”“這個(gè)紙箱共能裝多少個(gè)易拉罐”等.傳統(tǒng)的例題講授往往將學(xué)生的思維聚焦于已知的問(wèn)題上，在某種程度上會(huì)限制學(xué)生的思維發(fā)散度，這樣的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)最終會(huì)削弱學(xué)生對(duì)問(wèn)題的敏感度，導(dǎo)致思維定勢(shì).吳老師對(duì)情境的開(kāi)放性處理，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給予學(xué)生充分的思考空間，而且賦予不同層次的學(xué)生同等的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，充分發(fā)揮自己的潛能，共同體驗(yàn)數(shù)學(xué)成功感，讓學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中學(xué)會(huì)從多視角、多層次思考問(wèn)題，與此同時(shí)，思維品質(zhì)和思維能力得以提升.

3.3 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界

學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，不僅僅是指學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、獲得數(shù)學(xué)思想、形成數(shù)學(xué)思維，還指學(xué)生能體會(huì)到數(shù)學(xué)的文化價(jià)值以及數(shù)學(xué)發(fā)展中所展現(xiàn)出來(lái)的文化性[4].因此，我們可以從學(xué)生熟悉的日常生活、社會(huì)生活、歷史生活等方向?qū)で蠛秃Y選有效的教學(xué)素材，從而實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)生活化”.數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際問(wèn)題，用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型、解決問(wèn)題，是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁.

吳老師對(duì)教材中的例題進(jìn)行了優(yōu)化，將紙箱空間的利用率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，讓學(xué)生提出一個(gè)個(gè)小問(wèn)題，然后逐個(gè)加以解決.這種問(wèn)題解決式學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題的能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)解決一類的利用率問(wèn)題.利用率的數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生活中有著較為廣泛的應(yīng)用，如常見(jiàn)的土地利用率問(wèn)題、工業(yè)設(shè)備利用率問(wèn)題、光能利用率問(wèn)題、資本利用率問(wèn)題等等.利用率模型是分式除法運(yùn)算的一個(gè)典型運(yùn)用，吳老師在處理這個(gè)問(wèn)題時(shí)有意識(shí)地將利用率模型傳遞給學(xué)生，而不是簡(jiǎn)單地教授分式除法的運(yùn)算知識(shí)，使得學(xué)生對(duì)利用率的認(rèn)識(shí)不僅僅局限于教材上的紙箱空間問(wèn)題，而是從深層次上把握利用率問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而能用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型，成功解決現(xiàn)實(shí)中的利用率問(wèn)題.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，能夠幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)，使其加深對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，逐步積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)[1].

核心素養(yǎng)觀念下的數(shù)學(xué)教學(xué)，其終極目標(biāo)在于:一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后，即便這個(gè)人未來(lái)從事的工作和數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，也應(yīng)當(dāng)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界[1].實(shí)踐教學(xué)中如何讓學(xué)生在掌握知識(shí)、技能的同時(shí)，積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)思維，乃至發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是值得我們不斷探索的問(wèn)題.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 史寧中.學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)——以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例[J].中小學(xué)管理,2017(1):35-37.

[2] 李藝,鐘柏昌.談“核心素養(yǎng)”[J].教育研究,2015(9):17-23.

[3] 鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2016,25(3):1-5.

[4] 陳碧芬,張維忠,唐恒鈞.“數(shù)學(xué)教學(xué)回歸生活”:回顧與反思[J].全球教育展望,2012,41(1):86-92.