細研教材 整體架構(gòu) 領(lǐng)悟本質(zhì) 提升素養(yǎng)*
——由兩道立體幾何題測試結(jié)果引發(fā)的思考

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(靈璧第一中學,安徽 靈璧 234200)

1 問題提出

筆者所在學校高二年級近期安排了階段考試(內(nèi)容為《數(shù)學(選修2-1)》)，學生交出的答卷慘不忍睹，結(jié)果觸目驚心.教師一天到晚備課、上課、輔導等，教學不留余力，學生不分晝夜記錄、模仿、練習、思考等，學習廢寢忘食.辛勤的勞動換來的卻是微薄的收獲，豈不令人心灰意冷、心生倦?。繛槭裁磿霈F(xiàn)如此現(xiàn)象？我們又該如何應(yīng)對？本文以其中的兩道立體幾何試題為例，談?wù)劰P者對相關(guān)問題的理解，不足之處，敬請批評指正.

2 案例剖析

例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AC的中點，點N是線段DD1上的動點，直線MN與平面ACB1的夾角為α，則cosα的取值范圍是

( )

本題為全卷的第12題(選擇題壓軸題)，總分5分，全年級平均得分1.68分.與學生交流得知：少數(shù)學生一看到動態(tài)問題就頭腦發(fā)懵、心慌意亂，只能憑借感覺進行選擇；部分學生通過點N分別與點D，D1重合這兩種極端狀態(tài)，利用坐標法并結(jié)合選項得出正確答案(或錯選B)；多數(shù)學生認為平面直角坐標系中直線MN的方向向量與平面ACB1的法向量夾角的余弦值就是所求答案，功敗垂成、功虧一簣；得出正確答案的大部分學生采用下文解法1，耗時費力，事倍功半.

解法1不妨設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2(下同)，以A為坐標原點、以AB，AD,AA1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，C(2,2,0)，B1(2,0,2)，M(1,1,0)，N(0,2,t)(其中0≤t≤2)，從而

由0≤t≤2，得

r=t-1∈[-1,1]，

于是

當r=0，即t=1時,

cos2α=0，

故

cosα=0.

當r∈(0,1]時，

故

當r∈[-1,0)時,

故

解法2(上同解法1)

解法3如圖1，由三垂線定理可知BD1⊥平面ACB1，可證平面BDD1B1⊥平面ACB1，且平面BDD1B1∩平面ACB1=B1M.當N為線段DD1的中點時，MN⊥平面ACB1，此時cosα=0.作DH⊥B1M于點H,D1G⊥B1M于點G,則在Rt△DMH中，

在Rt△D1MG中

結(jié)合選項可知答案為A.

圖1 圖2

解法4(上同解法3)

取線段DD1的中點N0，則MN0⊥平面ACB1(如圖2)，則

cosα=sin∠NMN0.

當點N與點N0重合時,

cosα=sin∠NMN0=0；

當點N與點D重合時,

當點N與點D1重合時，在△N0MD1中，由正弦定理可得

評注空間的角包括直線與直線所成的角α、直線與平面所成的角β、平面與平面所成的角γ(不同于二面角).它們由構(gòu)成圖形的兩個要素的方向來決定，而與這兩個要素的具體位置無關(guān).空間兩條直線s1,s2的“方向”用其方向向量s1,s2來表示，可得cosα=|cos|；兩個平面m1,m2的“方向”用該平面的法向量n1,n2來刻畫，根據(jù)定理(在平面內(nèi)，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補)可得cosγ=|cos|；直線s(其方向向量為s)與平面m(其方向向量為n)所成的角滿足sinβ=|cos|.一些學生不清楚為什么要用直線的方向向量、平面的法向量來表示直線、平面的“方向”，對空間的角概念的抽象過程認識模糊，結(jié)論死記硬背，套用公式生吞活剝，張冠李戴在所難免.

例1的解法1與解法2為坐標法，通過空間直角坐標系將其標準化，無需找出線面角，對空間想象能力要求不高.只不過解法1更聚焦目標cosα，嘗試以靜制動，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解，求解過程中遭遇到r的符號不定(正號、負號和0)，需要分類討論，過程繁雜(若學生學習了導數(shù)，利用導數(shù)法可優(yōu)化解題過程).解法2利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，保持s始終為正，優(yōu)化了解題過程.解法3與解法4著眼于直線與平面所成角的定義，將立體幾何問題平面化.解法3根據(jù)選擇題的特點，利用特殊與一般的關(guān)系從幾種特殊狀態(tài)下的結(jié)論進行邏輯推理判斷，事半功倍.解法4利用直線與平面所成角的定義將其轉(zhuǎn)化為平面問題，在隔離出來的平面圖形中借助正弦定理與角度變化的連續(xù)性對結(jié)論進行了完整而嚴密的推證，是解法3的升級版.學生遇到動態(tài)問題信心不足，表象是心理素質(zhì)不過硬，其深層原因是基礎(chǔ)不牢，思維無序.學生錯選B，表明其對線面角的形成、發(fā)展過程體驗不到位，抽象能力差，失分的結(jié)果看似令人惋惜，實則是對其學習能力的準確回饋.

圖3

例2如圖3，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，且A1A=AD=1.

1)求AC1的長；

2)求證：AC1⊥平面A1BD；

3)求三棱錐B-A1C1D的體積.

本題為全卷的第21題，總分12分，全年級平均得分1.82分.多數(shù)學生嘗試建立空間直角坐標系將幾何問題代數(shù)化，主要的建系錯誤為：以D為坐標原點、以DA，DC,DD1(DA1)所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系D-xyz，其中后一種建系方式可能受到試卷提供的圖的影響.

則

2)因為

即

AC1⊥BD.

同理可證

AC1⊥A1B，

又A1B?平面A1BD，BD?平面A1BD，A1B∩BD=B，故AC1⊥平面A1BD.

得點C1到平面A1BD的距離為

又△A1BD是邊長為1的等邊三角形，從而三棱錐B-A1C1D的體積為

分析21)由∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，知點A1在平面ABCD中的垂足H落在直線AC上.由最小角定理cos∠A1AB=cos∠A1AH·cos∠CAB，得

圖4

如圖4，以AC與BD的交點O為坐標原點、以O(shè)B，OC所在的直線為x，y軸建立空間直角坐標系，則

于是

3)設(shè)平面A1C1D的法向量為n=(x,y,z)，則

故三棱錐B-A1C1D的體積為

評注少數(shù)學生認為向量法就是向量坐標法.實際上向量法應(yīng)包括向量基底法和向量坐標法，使用向量基底法的前提條件是已知構(gòu)成空間(平面)向量的(一組)基底的基向量的模及它們之間的夾角，而使用向量坐標法的前提是條件中具備空間(平面)向量的一組單位正交基底.即前者是根本大法，是后者的根基；后者是前者的特殊情況，是特定統(tǒng)一標準下的向量運算.學生不了解它們之間的邏輯關(guān)系，就無法看透問題的本質(zhì)，解題時盲目類比遷移出錯不足為奇.

3 教學思考

3.1 細研教材,整體謀劃

教學要處理好教什么(教學內(nèi)容與教學深度)與怎么教(教學方式)的問題.教材是教師教學和學生學習的素材，理應(yīng)在教與學中發(fā)揮中流砥柱的作用.“知己知彼，方能百戰(zhàn)百勝”，只有研習了小學與初中、高中、大學(低年級)的數(shù)學教材，才能做好教學的銜接，即及時做好高中教與學需要內(nèi)容(知識、思想方法等)的鋪墊，平穩(wěn)修完高中數(shù)學后還要“扶上馬送一程”.數(shù)學是一個有機的整體，教學只有基于學科整體，統(tǒng)整所學，將其熔融鑄為一體，才能真正發(fā)展核心素養(yǎng).

如《數(shù)學(選修2-1)》第二章“空間向量與立體幾何”的內(nèi)容安排基于《數(shù)學(必修2)》第一章“立體幾何初步”與《數(shù)學(必修4)》第二章“平面向量”.教師要弄清每部分內(nèi)容安排的脈絡(luò)、重點、難點以及它們之間的聯(lián)系，教學時才能抓住關(guān)鍵點，做足必需的鋪墊.如《數(shù)學(必修2)》第一章從空間幾何體的整體入手，觀察、認識空間立體圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的平行與垂直的位置關(guān)系；然后對有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定定理用數(shù)學語言進行嚴格表述，對性質(zhì)定理進行論證；最后給出一些簡單幾何體的表面積和體積的計算方法.教學中要讓學生通過經(jīng)歷直觀感知、操作確認、思維論證、度量計算等階段培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想象能力、合情推理與演繹推理的能力.

3.2 理解學生，指導學法

現(xiàn)代學習理論研究表明，理解性學習的關(guān)鍵在于構(gòu)建知識之間的聯(lián)系，而理解的程度則由聯(lián)系的數(shù)目和強度決定.從這個角度來看，數(shù)學理解的本質(zhì)就是知識的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系.學生知識缺乏、視野狹窄、經(jīng)驗不足，導致其課前預(yù)習、課堂聽課、課后反思等盲目無序,抓不住重點，無法領(lǐng)悟到問題的本質(zhì)，整體效益不高.“授之以魚，不如授之以漁”，數(shù)學教學不僅要教授知識，而且要培養(yǎng)思維，即教會學生思考.教師是課堂的主導，學生是學習的主體，只有激發(fā)學生的主觀能動性，才能提高學生學習探究數(shù)學的興趣，進而提升數(shù)學學習的效率.教師在強化教學示范作用的同時，深化理解學生在學習中的困難，給予學生有針對性的指導.羅斯福曾說：“失敗固然痛苦，但更糟糕的是從未去嘗試.”教師要鼓勵學生嘗試操作、質(zhì)疑、交流、總結(jié)、創(chuàng)新等.

3.3 精心設(shè)計，知難而進

學科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格與關(guān)鍵能力.數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、運算能力、數(shù)據(jù)分析.這些核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體[1].學科核心素養(yǎng)的落腳點主要在課堂，高尚的人格才是最高的學問，只要我們熱愛學生、傾心教育，就能理解學生的所作所為，急學生之所急，惑學生之所惑，并嘗試給出解決方案.如學生為什么會有教輔依賴癥？因為教輔試題多而全，與考試題面目更接近.這應(yīng)引起教師對教材呈現(xiàn)方式、教學方式、命題技術(shù)、綜合評價等內(nèi)容全方位的思考并嘗試解決，自覺提高自己的教學修養(yǎng)，在教學過程中重道輕術(shù)，給學生更多的機會去做，給學生更多的時間去悟.

教師要充分挖掘教材的例題、習題、測試題等教學素材的功能，對接學生的認知，精心設(shè)計，降低平臺，讓學生拾級而上，知難而進.通過精心設(shè)計的教學，強化學生對基礎(chǔ)知識的理解、解題方法的提煉、數(shù)學思想的領(lǐng)悟、整體結(jié)構(gòu)的構(gòu)建、解題方案的優(yōu)化等，通過批判性思維深化認知，提高思維的敏銳性、發(fā)散性與靈活性等，在較短的時間內(nèi)能對各種解題方案和策略進行預(yù)設(shè)、調(diào)整、優(yōu)化等.

教學時要以課程標準、考試大綱等綱領(lǐng)性文件為標桿，不能輕易降低或提高對相關(guān)內(nèi)容的要求，但要循序漸進，謹防一步到位，還要想方設(shè)法改進教學方式，使內(nèi)容更易被學生理解與接受.

參 考 文 獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)[S].北京：人民教育出版社，2018.