基于核心素養(yǎng)的向量建模復(fù)習(xí)課*

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(華維外國(guó)語(yǔ)學(xué)校,浙江 紹興 312300)

高三，是學(xué)生沖刺高考的備考階段，是查漏補(bǔ)缺、復(fù)習(xí)鞏固的最后機(jī)會(huì).然而數(shù)學(xué)難，是學(xué)生共認(rèn)的，難在知識(shí)點(diǎn)的理解，難在知識(shí)點(diǎn)的融合，難在題目的變形，難在解題方法的千變?nèi)f化和思維要求之高，等等.在數(shù)學(xué)高考中如何爭(zhēng)取更多的分?jǐn)?shù)，決定了高考整體的成敗，作為數(shù)學(xué)教師，肩上承擔(dān)了“如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力”的責(zé)任.課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要陣地，課堂教學(xué)是教師“傳道授業(yè)解惑”的主要方式，如何提高課堂教學(xué)的效度，變“授學(xué)生以魚(yú)”為“授學(xué)生以漁”，是每個(gè)數(shù)學(xué)教師必須思考的實(shí)際問(wèn)題.

核心素養(yǎng)，是近幾年提出的對(duì)高中學(xué)科教學(xué)的綜合性教學(xué)目標(biāo).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，全面概括了高中數(shù)學(xué)的教學(xué)核心目標(biāo)，體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師應(yīng)著重對(duì)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成與建立、對(duì)課堂知識(shí)的展示與鞏固、對(duì)解題思路的引導(dǎo)與激發(fā)進(jìn)行爆破性梳理.在此基礎(chǔ)上對(duì)學(xué)生的知識(shí)理解和應(yīng)用進(jìn)行突破和引導(dǎo)，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力高度.本文重點(diǎn)基于“數(shù)學(xué)抽象”，形成“直觀想象”，明確“數(shù)學(xué)建模”，對(duì)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的向量問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)性解惑.

1 向量建模之點(diǎn)到直線的距離

數(shù)學(xué)的基本思想是“抽象”，即抽絲剝繭，舍棄問(wèn)題的物理屬性，從中得到問(wèn)題的研究對(duì)象，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，把概念與概念間的聯(lián)系直接轉(zhuǎn)化為解題的思路.

|b-ta|(其中t∈R)初看之下就是求某個(gè)向量的模長(zhǎng)，如果學(xué)生采用兩邊平方就會(huì)陷入計(jì)算的麻煩.事實(shí)上從幾何意義的角度看：若a與b起點(diǎn)相同，則|b-ta|(其中t∈R)就是求b的終點(diǎn)到a所在直線上點(diǎn)的距離，這樣的模型建立使得求|b-ta|(其中t∈R)的最小值簡(jiǎn)單易懂.

例1已知共面向量a,b,c滿足|a|=3，b+c=2a,且|b|=|b-c|.若對(duì)每一個(gè)確定的向量b，記|b-ta|(其中t∈R)的最小值為dmin，則當(dāng)b變化時(shí)，dmin的最大值為

( )

A.0 B.2 C.4 D.6

(2017年浙江省臺(tái)州市數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè)試題第10題)

圖1

OB=BC,

即

(rcosθ+3)2+r2sin2θ=4r2,

整理得

r2-2rcosθ-3=0，

于是

而|b-ta|(其中t∈R)的最小值為dmin,則

因此dmin的最大值是2.故選B.

2 向量建模之三角形

向量的加法、減法與三角形有著天然的聯(lián)系，我們可以利用三角形中的幾何關(guān)系來(lái)簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)快速解題.提到三角形，學(xué)生會(huì)想到：三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系、正(余)弦定理等，有時(shí)候甚至延伸到平行四邊形.這些均為簡(jiǎn)潔有效的解題方法，而解題關(guān)鍵是如何找到問(wèn)題知識(shí)與解題方法之間的聯(lián)系，建構(gòu)正確的思維框架，最后解決問(wèn)題水到渠成.

圖2

例2已知平面向量α,β(其中α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

分析利用題設(shè)條件及其幾何意義，構(gòu)造三角形即可迎刃而解.本題主要考查平面向量的四則運(yùn)算及其幾何意義，突出考查問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的能力.

從而

3 向量建模之圓形

學(xué)生在初中階段就詳細(xì)具體地學(xué)習(xí)過(guò)圓，因此圓對(duì)高三學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較容易建立的模型之一，而且在高中解析幾何教學(xué)中，又給圓插上了坐標(biāo)的翅膀.當(dāng)兩個(gè)向量垂直(或者夾角為定值)時(shí)，我們可以直接構(gòu)造圓來(lái)求解，特別是求某個(gè)量的范圍時(shí)，可以采用坐標(biāo)法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.

例3已知平面向量a,b滿足|a|=|b|=a·b=2，且(a-c)·(b-c)=0，則|b+c|的最大值為_(kāi)_____.

(2017年浙江省紹興市上虞區(qū)二模數(shù)學(xué)試題第16題)

圖3

4 向量建模之面積

空間的“直觀想象”體現(xiàn)了學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)素質(zhì).根據(jù)待解決的問(wèn)題，借助幾何直觀和空間想象能夠感知問(wèn)題的形式與變化，利用圖形相連來(lái)描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用圖形相通來(lái)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建有效的直觀數(shù)學(xué)模型來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，培養(yǎng)創(chuàng)造性和轉(zhuǎn)化性思維.

在向量題中，面積類問(wèn)題在高考模擬卷中是新出現(xiàn)的題型.它集中了向量數(shù)量積的概念、三角函數(shù)、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)點(diǎn)，屬于向量中的綜合類題型，對(duì)學(xué)生的思維要求較高，不僅需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，還需要知識(shí)間的融會(huì)貫通.

例4已知平面向量a,b,c滿足|a|=4，|b|=3，|c|=2，b·c=3，則(a-b)2(a-c)2-[(a-b)·(a-c)]2的最大值為

( )

(2017年浙江省紹興市柯橋區(qū)二模數(shù)學(xué)試題第9題)

從而(a-b)2(a-c)2-[(a-b)·(a-c)]2=

BA2·CA2-(BA·CA·cos∠BAC)2=

(BC·h)2,

5 向量建模之空間圖形

歷年浙江省數(shù)學(xué)高考中，向量一直以平面向量的形式呈現(xiàn)，而且在實(shí)際教學(xué)中，空間向量往往是一種解決立體幾何問(wèn)題的工具，并不單獨(dú)考查.2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題，很多考生未能成功破解的主要原因：除題目本身具有一定的思維難度之外，關(guān)鍵是沒(méi)有關(guān)注到該題考查的是“空間”向量還是“平面”向量，進(jìn)而影響到構(gòu)造的是平面圖形還是空間圖形.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

6 向量建模之綜合題型

綜合題型是考查向量的最高層次，融合了各種與向量有關(guān)的元素：三角形、圓形、三角函數(shù)、坐標(biāo)、最值等，考查學(xué)生圖形處理、數(shù)據(jù)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練和解題能力的提升具有相當(dāng)重要的作用.

( )

(2017年嘉興市第一中學(xué)、杭州高級(jí)中學(xué)、寧波效實(shí)中學(xué)等五校第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第10題)

f=|m|2+|n|2+m·n,

從而

利用三角函數(shù)的有界性,得

7 幾點(diǎn)反思

反思1向量是高中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)工具之一，是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范，代數(shù)問(wèn)題幾何化、幾何問(wèn)題代數(shù)化等多角度思維，是向量問(wèn)題的特點(diǎn).

反思2對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而言，向量幾乎涵蓋了核心素養(yǎng)的所有方面，包括抽象、推理、建模、想象、運(yùn)算和分析，概括了高中數(shù)學(xué)的教學(xué)核心目標(biāo)，考查了高中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心思維，體現(xiàn)了思考分析、數(shù)學(xué)建模等核心能力.

反思3向量教學(xué)應(yīng)著重對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成與建立進(jìn)行有效引導(dǎo)，教師應(yīng)對(duì)課堂知識(shí)的理解與鞏固進(jìn)行有效指導(dǎo)，對(duì)解題思路的分析與突破進(jìn)行有效向?qū)?，努力做到“授人之漁”.

反思4在高考中顯性的向量問(wèn)題多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，可以利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.但在實(shí)際解題中，能取得意外效果、達(dá)到“事半功倍”的往往是那些隱性的向量問(wèn)題.

圖4

1)求直線AP斜率的取值范圍；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

總之，對(duì)于向量問(wèn)題，通過(guò)“抽象”，形成“想象”，正確“建模”，有利于提升向量復(fù)習(xí)課堂教學(xué)的針對(duì)性，提高學(xué)生解決向量問(wèn)題的有效性.