• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    一道能讓“隱圓”大展身手的幾何題*

    2018-07-03 01:19:30
    關(guān)鍵詞:共圓延長線外接圓

    (南京金陵中學(xué)河西分校,江蘇 南京 210019)

    原創(chuàng)題如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為∠BAC的角平分線上一點,且∠BDC=67.5°,求證:CD=BC.

    圖1 圖2

    此題題干簡練、圖形清晰,看似不難,但提筆求解卻并不容易,筆者先利用八年級的數(shù)學(xué)知識給出一種證法:

    證法1因為∠ACB=90°,AC=BC,所以

    ∠BAC=∠ABC=45°.

    如圖2,作DE⊥AC于點E,DF⊥AB于點F,則

    DE=DF, ∠FDE=135°,

    又因為∠BDC=67.5°,所以

    ∠BDF+∠CDE=67.5°.

    延長CE至點G,使得EG=FB,可得

    Rt△DEG≌Rt△DFB(SAS),

    從而

    DG=DB, ∠GDE=∠BDF,

    于是∠GDC=∠GDE+∠CDE=67.5°=∠BDC.

    又DC=DC,得△GDC≌△BDC(SAS),從而

    于是

    ∠DBC=67.5°=∠BDC,

    CD=BC.

    評注由角平分線上的點想到作“雙垂線”非常自然,但后續(xù)的輔助線及兩次全等三角形的證明,顯然不易.能從其他角度求解嗎?下面筆者利用“隱圓”再給出另5種較為簡潔的證法,供讀者參考.

    證法2因為∠ACB=90°,AC=BC,所以

    ∠BAC=∠ABC=45°.

    如圖3,作△ABD的外接圓交AC的延長線于點E,則∠BDE=135°,從而

    ∠EDC=135°-67.5°=67.5°=∠BDC.

    因為AD平分∠BAE,所以BD=ED,又DC=DC,于是

    △BDC≌△EDC(SAS),

    從而

    ∠DBC=∠BDC,

    CD=BC.

    圖3 圖4

    證法3因為∠ACB=90°,AC=BC,所以

    ∠BAC=∠ABC=45°.

    如圖4,作△ABC的外接圓交AD于點E,聯(lián)結(jié)BE,CE,則

    ∠BEA=∠BCA=90°, ∠BED=90°,

    ∠BEC=135°=2∠BDC.

    因為ED平分∠BAC,所以

    BE=CE,

    點E為△DBC的外心,可知

    ∠BCD=∠BED=45°,

    從而

    ∠DBC=67.5°=∠BDC,

    CD=BC.

    評注這兩種證法通過作出“隱圓”——三角形的外接圓,促成了角的關(guān)系顯性化,特別是證法2,從作外接圓到產(chǎn)生新的“隱圓”,為問題的解決鋪平了道路.

    證法4因為∠ACB=90°,AC=BC,所以

    ∠BAC=∠ABC=45°.

    如圖5,設(shè)E為△ABC的內(nèi)心,則點E在AD上,聯(lián)結(jié)BE,CE,則BE平分∠BAC,CE平分∠ACB,可知

    ∠BEC=112.5°,

    從而

    ∠BEC+∠BDC=180°,

    因此點B,E,C,D共圓,從而

    ∠DBC= ∠DEC=∠EAC+∠ECA=

    67.5°=∠BDC,

    CD=BC.

    圖5 圖6

    證法5因為∠ACB=90°,AC=BC,所以

    ∠BAC=∠ABC=45°.

    如圖6,在AC的延長線上取點E,使得AE=AB,聯(lián)結(jié)BE,DE,則

    ∠AEB=∠ABE=67.5°=∠BDC,

    從而點B,C,E,D共圓,于是

    ∠BDE=180°-∠BCE=90°.

    因為AD平分∠BAE,所以AD垂直平分BE,可得

    BD=ED,

    ∠DBE=45°,

    從而 ∠DBC=∠EBC+∠DBE=67.5°=∠BDC,故

    CD=BC.

    證法6因為∠ACB=90°,AC=BC,所以

    圖7

    如圖7,在AB上取點E,使得AE=AC,聯(lián)結(jié)CE,DE,則

    ∠AEC=∠ACE=67.5°=∠BDC,

    從而點B,E,C,D共圓,于是

    ∠CDE=∠ABC=45°.

    因為AD平分∠CAE,所以AD垂直平分CE,可得

    CD=ED,

    從而

    ∠DBC=67.5°=∠BDC,

    CD=BC.

    評注這3種證法通過證明“隱圓”——四點共圓,使得角的關(guān)系更加密切,問題的解決也就水到渠成了.

    這是一道難得一見的幾何題.幾種確定“隱圓”的常用方法在此大展身手,彰顯了圓的獨特魅力.圖中無圓,心中有圓,難題不難.波利亞曾說過:“一個專心、認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義但又不太復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題,就好像通過一道門戶,把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”在日常教學(xué)中善于發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造這樣的問題,是教師專業(yè)發(fā)展的必修課,也是成為優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的必由之路.

    猜你喜歡
    共圓延長線外接圓
    南京地鐵二號線既有線與延長線的施工及轉(zhuǎn)場組織研究
    “脫貧奔小康 共圓中國夢”獲獎歌詞選登
    心聲歌刊(2020年6期)2021-01-14 00:23:36
    2020年本刊原創(chuàng)題(二)
    歐拉不等式一個加強的再改進
    將相等線段轉(zhuǎn)化為外接圓半徑解題
    愛心共圓“歸鄉(xiāng)夢”
    僅與邊有關(guān)的Euler不等式的加強
    例談高考中的“四點共圓”問題
    同寫中國字共圓中國夢
    一道IMO試題的另解與探究
    石泉县| 新乡市| 江川县| 四平市| 神池县| 新余市| 来安县| 济源市| 保康县| 白朗县| 红桥区| 河间市| 方正县| 永吉县| 聂拉木县| 古浪县| 灌云县| 扎赉特旗| 专栏| 晋宁县| 甘肃省| 宜川县| 陕西省| 榕江县| 延寿县| 化德县| 麻栗坡县| 灌阳县| 平邑县| 天长市| 赤水市| 新郑市| 循化| 乌拉特中旗| 涟水县| 深圳市| 临猗县| 永嘉县| 富民县| 德格县| 巴里|