數(shù)學素養(yǎng)在數(shù)學課堂上的養(yǎng)成與體現(xiàn)*
——“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”教學設計與反思

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(南通大學附屬中學,江蘇 南通 226000)

筆者有幸開設了一節(jié)“圓錐曲線的統(tǒng)一定義(第一課時)”的公開課，收獲良多，既有教學的新發(fā)現(xiàn)，又有很多不足，特總結(jié)出來，以求得共鳴.

1 背景分析

1.1 教材內(nèi)容解析

所用教材為蘇教版普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學(選修2-1)》,本節(jié)課為第二章第2.5節(jié)“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”.圓錐曲線在現(xiàn)實世界、社會生活中有著廣泛的應用，因此圓錐曲線是一個很重要的數(shù)學模型.本章先從整體上認識圓錐曲線概念，了解橢圓、雙曲線、拋物線的內(nèi)在關系，再通過統(tǒng)一定義從總體上進一步認識3種圓錐曲線的關系.本節(jié)課從拋物線的定義出發(fā)，類比、猜想得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，由特殊到一般符合學生的認知發(fā)展規(guī)律，使學生感受數(shù)學的內(nèi)在的、和諧的美，并且通過對研究過程的反思，培養(yǎng)欣賞美、發(fā)現(xiàn)美的能力和意識，提高數(shù)學審美能力.

1.2 學情分析

前面學生已研究了3種圓錐曲線的幾何性質(zhì)，并建構(gòu)了研究3種曲線的方法體系，本節(jié)課將通過對3種圓錐曲線的共同特性的研究建立統(tǒng)一的定義，從知識上完善圓錐曲線的定義，從研究方法上系統(tǒng)領會解析幾何的研究思路.筆者所任教班級是理科普通班，表面上學生對3種圓錐曲線的了解有了一定的基礎，但在深層次的領悟與歸納上存在欠缺，因此本節(jié)課筆者想讓學生在“特殊到一般、猜想后再證明思想方法”下培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)，養(yǎng)成良好的思維習慣.

1.3 教學目標

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容在教材中的作用和地位，教學目標設定如下：

1)了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義；

2)理解圓錐曲線的準線的概念，掌握標準方程下的圓錐曲線準線方程；

3)經(jīng)歷類比聯(lián)想、特殊到一般、轉(zhuǎn)化化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、猜想再證明的數(shù)學思想，體會深度學習數(shù)學的方法；

4)通過小組合作學習的探究過程提升發(fā)現(xiàn)、歸納解決問題的能力.

1.4 教學重點

圓錐曲線統(tǒng)一定義的生成、理解、應用.

1.5 教學難點

圓錐曲線的統(tǒng)一定義的生成.

2 教學實錄

師：我們已經(jīng)認識了拋物線，請同學說說拋物線的定義？

生1：平面內(nèi)到定點F的距離和到定直線l(其中點F不在直線l上)的距離相等的點的軌跡是拋物線，定點F叫焦點，定直線l叫準線.

設計意圖由拋物線定義作為新知識生長點、溫故知新的同時，發(fā)現(xiàn)、探索更深層次的知識，培養(yǎng)學生類比遷移的數(shù)學素養(yǎng).由于問題比較抽象，學生感到無從思考，這時不妨從特殊情況入手，舉一特例讓學生感知.

師：你對自己的結(jié)果有什么發(fā)現(xiàn)？

設計意圖通過特例讓學生感知，形成初步的感性認識，讓學生感受到初嘗成功的喜悅，獲得一定的滿足感.

師：這是偶然的巧合還是必然的結(jié)論？我們不妨再借助幾何手段研究一下.

(教師用幾何畫板演示動態(tài)的軌跡.)

設計意圖培養(yǎng)學生對直觀觀察得到的表象進行質(zhì)疑、存疑.

學生發(fā)現(xiàn)結(jié)論：當比值m∈(0,1)時，點P的軌跡像橢圓(如圖1)；當比值m∈(1,+∞)時，點P的軌跡像雙曲線(如圖2).

圖1 圖2

設計意圖給學生反思的時間，讓學生思維加以提升.通過幾何畫板直觀手段觀察、思考、概括,得出初步的猜想結(jié)果.

師：先來討論第一種情況：m∈(0,1).直觀感覺是橢圓,暫且當作橢圓，如果是橢圓，那么定點會是什么點？

生3：焦點.

師：比值會是什么？

生4：離心率.

師：定直線會是哪條直線呢？如何用a,b,c來表示這條定直線呢？

設計意圖讓學生類比，大膽猜想，不斷提出自己的主張、想法.充分發(fā)揮小組協(xié)同作戰(zhàn)的團隊精神，完善已有的方法、過程，由此主觀能動性得以較好體現(xiàn).

(學生思考.)

(學生小組討論.)

師：說說你們?yōu)槭裁催x取這些點？

生8：因為特殊——坐標特殊.

師：很好，有時候特殊化，思路會豁然開朗，柳暗花明.

設計意圖通過小組討論發(fā)揮學生的主觀能動性，學生通過大膽探索、主動求知，爭相展示自己的見解，不乏新的想法，使這節(jié)課達到高潮，顯示了思維的廣闊，達到學生的最近發(fā)展區(qū).

生9：定義PF1+PF2=2a.

師：定點F1和F2分別是什么？你能驗證PF1+PF2=2a嗎？

生10：不能驗證.

師：大家的想法是好的，但是思路似乎受阻了，怎么判斷曲線為橢圓呢？

(學生思考中……)

師：華羅庚先生說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.形要靠數(shù)來幫忙.

生11：可從軌跡方程形式入手.

師：你有辦法證明你的猜想嗎？

(學生板演，教師投影.)

解設點P(x,y)，根據(jù)題意可得

化簡得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

令a2-c2=b2，上式可化為

設計意圖通過猜想再證明，這是發(fā)現(xiàn)新命題的重要手段，也是引領學生從感性認識上升到理性認識的必經(jīng)之路，促使學生的思維更具深刻性、系統(tǒng)性.

師：以上從理論角度證明了我們的猜想.如果將條件“a>c>0”改為“c>a>0”，點P的軌跡又如何變化呢？

(教師投影展示學生的運算結(jié)果.)

化簡得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),令a2-c2=-b2，上式可化為

設計意圖雙曲線的類似命題由學生思考、發(fā)現(xiàn)，從而引導學生建立圓錐曲線的統(tǒng)一定義，學生的類比遷移能力得到較好展現(xiàn).

師：從剛才的兩個問題中你能總結(jié)出什么結(jié)論？

圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)到一個定點F的距離和到一條定直線l(其中點F不在直線l上)的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡：當01時，它表示雙曲線；當e=1時，它表示拋物線.其中e是圓錐曲線的離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線l是圓錐曲線的準線.

師：對于焦點在y軸上的橢圓和雙曲線的準線方程又如何呢？

設計意圖通過對橢圓、雙曲線定義的概括，以及對已有的拋物線的定義有了充分感性認識基礎上，自然得到了圓錐曲線的統(tǒng)一定義.

師：下面檢驗同學們所學的成果，請思考如下問題.

師：通過結(jié)合圓錐曲線第一定義和第二定義來解決問題可以看出，我們在解決圓錐曲線的問題時，從定義的角度出發(fā)是一種很好的解題思路.

設計意圖鞏固所學知識，理清知識脈絡，結(jié)合第一、第二定義綜合解題，整合知識的聯(lián)系與契合.

師(回顧小結(jié))：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

生(眾)：得到了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，鞏固了先猜想再證明、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、分類討論和類比聯(lián)想等思想方法.

3 教學評價

本節(jié)課極具探究性和研究性，全面落實以學生為本的教育理念，學生參與度高，真正體現(xiàn)了學生是課堂的主人，又體現(xiàn)出教師的主導地位.教師精心設計，探究自然，將核心問題拋給學生：當比值不為1時，如何研究軌跡，并讓學生主動探索準線，在探索定直線的過程中花了近20分鐘，是很有必要的.接著在假設的基礎上，先判斷是否為橢圓，再證明結(jié)論，與學生的思維過程相符，比較完整，完成了教學目標.數(shù)學核心素養(yǎng)包含數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等6個方面.數(shù)學教學活動又是數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑，因此這節(jié)課在不知不覺中培養(yǎng)了學生的數(shù)學素養(yǎng).