大膽猜想 小心求證—淺析歸納推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的影響

馬志沁

（江蘇省南通市實驗小學(xué)，江蘇南通 226000）

引 言

著有《數(shù)學(xué)與猜想》的波利亞說：“先猜后證，這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道[1]。”他在著作中討論了一種圍繞猜想而展開的推理方法——歸納推理。對于這樣的推理方法，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有明確地給出定義。但在不同版本的教材、不同的領(lǐng)域中都涉及了豐富的歸納推理的教學(xué)內(nèi)容，以促進小學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的整體進步。

一、歸納推理的地位與作用

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式[2]。它作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標(biāo)(2011版)》中的十個核心概念之一，經(jīng)常被引用到專著、論文和課堂教學(xué)中。可以說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)推理。對于推理，一般分為演繹推理和合情推理兩大類。本文所討論的歸納推理是一種用途非常廣泛的特殊合情推理。歸納推理所處的位置如圖1所示。

那么，歸納推理到底是一種怎樣的推理過程呢？它是以個別（或特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結(jié)論的推理。它的思維進程是從特殊到一般。例如，在《等式的性質(zhì)》一課中，就是從多個具體的等式所反映的共同特點推出一般性結(jié)論的，從而做出歸納：等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式；等式的兩邊同時乘以或除以同一個不是0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。小學(xué)生受到認(rèn)知水平和知識體系不完善的限制，讓他們由理論到理論做出嚴(yán)格的證明是不現(xiàn)實的。在這樣的背景下，歸納推理成了必然的選擇，從部分到整體，從特殊到一般，從具體到抽象。由此可見，小學(xué)生通過歸納推理形成數(shù)學(xué)概念，構(gòu)建起了基礎(chǔ)的知識體系，并利用其在生活中解決實際問題。

圖1 歸納推理所處的位置

二、歸納推理的培養(yǎng)與發(fā)展

歸納推理的基本步驟如下：舉例—觀察—猜想—驗證。教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動，在提取生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，合乎情理地舉例子。再在細(xì)致觀察的基礎(chǔ)上，大膽提出猜想。然后開展頭腦風(fēng)暴，多角度、多層面地進行驗證，最終得出結(jié)論。例如，南通王海峰教師執(zhí)教《和的奇偶性》一課時提出：兩個自然數(shù)相加的和是奇數(shù)還是偶數(shù)，與什么有關(guān)？學(xué)生借助之前學(xué)習(xí)所積累的經(jīng)驗，很輕松地提出自己的猜想，并以一些加法算式為例，驗證了自己的猜想。這一探索規(guī)律的教學(xué)，是典型的歸納推理的應(yīng)用[3]。

教師在教學(xué)中一定要重視引導(dǎo)并鼓勵學(xué)生清晰地表達自己的推理過程。學(xué)生在表達中循序漸進地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，要經(jīng)常追問：“你是怎樣想的？為什么是這樣的？其他人能說得更清楚一些嗎？還有其他想法嗎？”有些人把數(shù)學(xué)看得很神秘，學(xué)不好數(shù)學(xué)，其癥結(jié)就在于思維的混沌不清[4]。

我認(rèn)為歸納推理的核心在于猜想。學(xué)生只有通過操作、舉例、圖畫、計算、觀察等提出自己的猜想，才能進一步地進行展開和驗證。例如，在教學(xué)《三角形的三邊關(guān)系》一課中，教師首先給出三角形兩條邊的長度，然后提問第三條邊可以是多長？學(xué)生開始操作剪線段、拼、擺，獲得初步的經(jīng)驗。接著，教師讓學(xué)生思考：“三條邊什么時候能圍成三角形？什么時候又不能圍成三角形？”學(xué)生提出猜想，又驗證猜想，在充分的交流中表達自己的推理，最終獲得結(jié)論。可以說，整節(jié)課都是圍繞著“猜想”這一環(huán)節(jié)展開的。

另外，教師對學(xué)生的推理要進行發(fā)展性的評價，這樣有利于提高學(xué)生的推理能力。教師恰當(dāng)?shù)脑u價具有導(dǎo)向、激勵、調(diào)節(jié)、檢查、甄別、篩選等功能。在教師評價學(xué)生推理過程的基礎(chǔ)上，又能引起學(xué)生及學(xué)生之間對推理過程的自我評價，及時提升自己的推理水平。例如，王海峰教師的評價：“及時發(fā)現(xiàn)，及時總結(jié)，而且有理有據(jù)，很棒！還有嗎？”再如，“這個猜測很大膽，能說說你的理由嗎？”通過有效的評價，可以讓學(xué)生放下戒備，增強自信，專注于歸納推理的思維進程中。

三、歸納推理的局限與彌補

至此，歸納推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性已經(jīng)是不言而喻的。但是，運用這種推理方法并不一定能獲得真理。舉個通俗的例子：“判斷所有的天鵝都是白的?！币贸鲞@樣的結(jié)論，按照歸納推理的模式是這樣的：首先舉例我們所能看到的白天鵝；然后提出猜想，即所有的天鵝都是白的；再想辦法舉出更多的例子去驗證是否正確，暫時得出結(jié)論“所有的天鵝都是白的”；直到某一天某一個人發(fā)現(xiàn)原來天鵝還有黑色的后，就推翻了之前的結(jié)論。著名的“哥德巴赫猜想”通過舉例驗證是完全可行的，但是卻無法在理論上加以證明，目前是陳景潤通過改進方法獲得了巨大的突破。

這時候歸納推理的局限性就顯現(xiàn)了。那么該怎么辦呢？還記得上面的思維導(dǎo)圖嗎？對，就是用演繹推理來證明猜想的正確與否。演繹推理是從已經(jīng)證明的事實出發(fā)，按照邏輯思考得到某個具體的結(jié)論。它的思維進程是從一般到特殊。例如，南通顧娟教師在執(zhí)教《和的奇偶性》一課中，學(xué)生提出猜想“偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)”。顧娟教師讓學(xué)生舉例驗證，問：“這樣的例子舉得完嗎？萬一有一個不符合規(guī)律的呢？想一想，還有沒有其他的辦法可以驗證？”學(xué)生在經(jīng)過理性分析后，探究出了這一規(guī)律背后的原因。有的學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的辦法，有的學(xué)生用提取公因數(shù)的辦法，有的學(xué)生用看個位數(shù)字的辦法……演繹推理對歸納推理起到了很好的補充作用，也是相互佐證，給予我們教學(xué)很大的啟發(fā)。

結(jié) 語

如果說大膽猜想是點燃了小學(xué)生智慧的火花，那么小心求證就是幫助他們掌握火候。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，一定要清醒地認(rèn)識到歸納推理對于數(shù)學(xué)教學(xué)的影響。最后，我希望教師們能夠遵循波利亞在《教師十誡》中所提出的那樣，小心呵護學(xué)生稚嫩的數(shù)學(xué)思維，給予他們足夠的發(fā)展空間。

[1] G.波利亞.數(shù)學(xué)與猜想（第一卷）[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[2] 吳正憲、劉勁苓、劉克臣.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀[M].北京:教育科學(xué)出版社,2014.

[3] 顧娟,陳晶.知識是生長的:“和的奇偶性”教學(xué)實錄與評析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2016,(Z2):118-121.

[4] 王海峰,施丹瑾.引領(lǐng)兒童在思維情境中走向通透:“和的奇偶性”教學(xué)實踐與評析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2016,(05):48-51.