構(gòu)造法在三角證明中的應(yīng)用

摘要：在進(jìn)行三角證明或計(jì)算時(shí)，需要在圖形中添加一些輔助線，輔助線能使題目中的條件比較集中，使隱蔽的條件顯露，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使數(shù)學(xué)問(wèn)題較輕松地解決。

關(guān)鍵詞：三角形；輔助線；三線合一

在解題時(shí)按常規(guī)方法難以解決或無(wú)以下手時(shí)，就需要改變方向，在更廣闊的背景下，通過(guò)對(duì)條件或結(jié)論的分析與思考，構(gòu)造出與問(wèn)題有關(guān)的代數(shù)或幾何模型，從而找到解決問(wèn)題的方法與途徑。巧妙應(yīng)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種知識(shí)相互滲透與交融，使學(xué)生的視野更開(kāi)闊。在進(jìn)行三角證明或計(jì)算時(shí)，需要在圖形中添加一些輔助線，輔助線能使題目中的條件比較集中，使隱蔽的條件顯露，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使數(shù)學(xué)問(wèn)題較輕松地解決。

一、 構(gòu)造等腰三角形

等腰三角形主要的性質(zhì)：等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，三線合一

構(gòu)造等腰三角形的“四個(gè)方法”：

1. “角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形；

2. “角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形；

3. 應(yīng)用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；

4. 用“三角形中角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形。

例1如圖，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE，求證：BD=2CE。

分析：由圖形知，BE既是角平分線，又是垂線，故可構(gòu)造等腰三角形（延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F）。由等腰三角形三線合一，知CF=2CE，故只需再證BD與CF相等（由△ADB≌△AFC可得）。

二、 構(gòu)造等邊三角形法

等邊三角形既具有等腰三角形的性質(zhì)，又具有自身的特性：三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角都是60°。同時(shí)它還是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸，分別為三邊的垂直平分線，各邊上的高線、中線、對(duì)應(yīng)的角平分線互相重合。

例2如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并使AE=BD，連接CE，DE。求證：EC=ED。

分析：先以∠B為內(nèi)角，BE為邊構(gòu)造等邊三角形（延長(zhǎng)BD至F，使BF=BE，連接EF），再依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找全等三角形（△ECB≌△EDF）求解。

三、 構(gòu)造直角三角形

有以下幾種情形：勾股定理及逆定理應(yīng)用；角平分線性質(zhì)；線段的垂直平分線；利用面積，求解時(shí)。

例3如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，AC=BC，能否在AB上確定一點(diǎn)E，使△BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)？請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由角的平分線性質(zhì)可知DC=DE，由三角形全等有AE=AC=BC，又DE=BE，可得△BDE的周長(zhǎng)=AB。

四、 構(gòu)造三角形的中位線

三角形的中位線具有兩方面的性質(zhì)：位置上的平行關(guān)系；數(shù)量上的倍分關(guān)系。因此，當(dāng)題目中給出一個(gè)三角形兩邊的中點(diǎn)時(shí)，可以直接連接中點(diǎn)，構(gòu)造中位線；當(dāng)題目中給出一邊的中點(diǎn)時(shí)，往往需要找另一邊的中點(diǎn)等。

例4如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，若AB=10，CD=8，求MN長(zhǎng)度的取值范圍。

分析：取BD中點(diǎn)P，連PM，PN，由三角形三邊關(guān)系可得。

五、 構(gòu)造全等三角形、相似三角形

全等三角形有軸對(duì)稱(chēng)形、中心對(duì)稱(chēng)形、旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)相等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱(chēng)就可以添加對(duì)稱(chēng)軸構(gòu)造全等三角形。當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對(duì)稱(chēng)形全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連接或過(guò)兩端點(diǎn)添平行線。

相似三角形有平行線型，相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(shí)（中點(diǎn)可看成比為1），可添加平行線得平行線型相似三角形。

人們從來(lái)就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問(wèn)題的，當(dāng)問(wèn)題的條件不夠時(shí)，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問(wèn)題，這是解決問(wèn)題常用的策略。當(dāng)然，在具體問(wèn)題中還要具體分析。數(shù)學(xué)是死的，也是活的。如果它的模型掌握了，便可以不變應(yīng)萬(wàn)變。

參考文獻(xiàn)：

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[2]趙建勛著.中學(xué)生數(shù)學(xué).

[3]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2016.

作者簡(jiǎn)介：沈雪華，福建省漳州市，詔安一中。