初中階段函數(shù)讀圖能力的培養(yǎng)

賴登榕 黃曉花

摘要：掌握從函數(shù)圖像中挖掘出隱藏的解題條件或?qū)?yīng)結(jié)論，是解題的關(guān)鍵。在課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)讀圖能力，是落實(shí)函數(shù)教學(xué)目標(biāo)的重要內(nèi)容。首先明確培養(yǎng)函數(shù)讀圖能力的意義，然后從深度理解概念入手，通過(guò)加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練、做好適當(dāng)拓展延伸來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)讀圖能力。

關(guān)鍵詞：函數(shù)概念；函數(shù)圖像；讀圖能力；培養(yǎng)方法

初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求在函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，要培養(yǎng)學(xué)生“結(jié)合圖像對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析”的能力。在這里，我們以北師大版八年級(jí)上冊(cè)的一次函數(shù)為例，來(lái)探究函數(shù)讀圖能力的培養(yǎng)方法，并總結(jié)如下：

一、 培養(yǎng)函數(shù)讀圖能力的意義。

函數(shù)圖像是表達(dá)函數(shù)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，具有不可替代的直觀性，在各類(lèi)命題中經(jīng)常出現(xiàn)。能否正確地從函數(shù)圖像中獲取相關(guān)信息，是順利解決有關(guān)函數(shù)圖像問(wèn)題的關(guān)鍵。正如A·A斯托利亞爾說(shuō)的“閱讀函數(shù)圖像的技能是專(zhuān)門(mén)教學(xué)的結(jié)果……函數(shù)圖像實(shí)質(zhì)是一種特殊的語(yǔ)言，為了明白它的意義，必須像對(duì)待所有語(yǔ)言一樣，專(zhuān)門(mén)的進(jìn)行學(xué)習(xí)”。

二、 培養(yǎng)函數(shù)讀圖能力的方法。

（一） 確保深度理解概念，把握函數(shù)與圖像的關(guān)系

概念是思維的細(xì)胞，教師要幫助學(xué)生突破來(lái)自函數(shù)相關(guān)概念造成的理解上的困難。學(xué)生初步形成函數(shù)的概念，往往忽略了自變量和因變量是兩個(gè)互動(dòng)的量，常糾結(jié)于如何區(qū)別它們。我們要讓學(xué)生明白：自變量主要選擇容易測(cè)控的量，如時(shí)間和人數(shù)（易測(cè)）、銷(xiāo)量（易統(tǒng)計(jì)）等。既要淺顯地指出：函數(shù)是表示兩個(gè)變量之間存在的某種等量關(guān)系（是不定方程），其圖像用于描述兩個(gè)變量關(guān)系的發(fā)展趨勢(shì)（是一幅散點(diǎn)統(tǒng)計(jì)圖）；也要深刻地揭示：函數(shù)圖像上的每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，就是兩個(gè)變量的一組對(duì)應(yīng)值，圖像是由無(wú)數(shù)多這樣的點(diǎn)的集合，它不僅表達(dá)了人們有限的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，也是人們思維的無(wú)限延伸。

深度理解概念，可以指導(dǎo)學(xué)生從以下兩個(gè)方面去提升函數(shù)讀圖能力。

1. 借助信息技術(shù)，直觀感知函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系：初學(xué)函數(shù)，我們可利用畫(huà)板工具來(lái)呈現(xiàn)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，直觀地展示函數(shù)關(guān)系的無(wú)限性和延伸性，以達(dá)到深度地理解概念的效果。打開(kāi)幾何畫(huà)板，左擊“繪制”菜單下的“新建函數(shù)”項(xiàng)，在輸入框內(nèi)輸入一次函數(shù)表達(dá)式，并“確定”，引導(dǎo)學(xué)生觀察所出現(xiàn)的函數(shù)圖像；并進(jìn)一步驗(yàn)證一個(gè)坐標(biāo)是否在函數(shù)的圖像上，或度量圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值，其間要注意解釋某個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值的實(shí)際意義，促使學(xué)生更好地把握函數(shù)與圖像間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以深度理解一次函數(shù)的概念，為今后熟練讀圖做好思維可操作的前期準(zhǔn)確工作。

2. 動(dòng)手操作實(shí)踐，親身體驗(yàn)函數(shù)與圖像的轉(zhuǎn)化關(guān)系：波利亞說(shuō)過(guò)：“只要經(jīng)過(guò)了你自己的體驗(yàn)，那么它對(duì)你來(lái)講就可以成為一種楷模，當(dāng)你再碰見(jiàn)別的類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)，它就是可供你仿照的模型?！焙瘮?shù)的圖像是一種語(yǔ)言，更需要自己去體驗(yàn)，去領(lǐng)會(huì)其中的要義。

我們要讓學(xué)生在坐標(biāo)紙上進(jìn)行動(dòng)手繪制函數(shù)圖像的訓(xùn)練。以一次函數(shù)為例，通過(guò)改變y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）中k和b的大小，讓學(xué)生畫(huà)各種情形下的函數(shù)圖像，其間不僅熟悉了畫(huà)圖過(guò)程，而且親身感受到影響函數(shù)的圖像位置和大小的因素。逐漸形成函數(shù)的思想方法——用有限描繪無(wú)限，用特殊表達(dá)一般，用離散遞推連續(xù)。不斷積累從函數(shù)（數(shù)）到圖像（形）轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的函數(shù)學(xué)習(xí)打開(kāi)思維的通道，在繪圖中更能促進(jìn)學(xué)生讀圖能力的提升。

（二） 加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練，逐步掌握函數(shù)與圖像相互轉(zhuǎn)化的方法

讀圖能力的培養(yǎng)是個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，除了示范如何讀圖，還需要在適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和幫助下，學(xué)生通過(guò)自身的努力達(dá)到熟練掌握的程度。以一次函數(shù)為例，精選數(shù)字系數(shù)的基礎(chǔ)題，先從表達(dá)式到畫(huà)直線的轉(zhuǎn)化，再?gòu)慕o定直線到求表達(dá)式關(guān)系的轉(zhuǎn)化，學(xué)生逐步掌握函數(shù)與圖像轉(zhuǎn)化的方法，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，逐漸提高自己的讀圖能力。

（三） 適當(dāng)拓展延伸，從問(wèn)題的邏輯關(guān)系中挖掘圖像的實(shí)際意義

為適應(yīng)中考對(duì)函數(shù)讀圖能力考查的需要，我們要對(duì)所學(xué)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡由臁梢詫?duì)教材中的問(wèn)題進(jìn)行挖掘，還可以對(duì)歷年的中考真題進(jìn)行剖析。以一道中考真題為例：

如下圖，折線ABC表示某汽車(chē)的耗油量y（單位：L/km）與速度x（單位：km/h）之間的函數(shù)關(guān)系（30≤x≤120），已知線段BC表示的函數(shù)關(guān)系中，該汽車(chē)的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km。

（1）當(dāng)速度為30km/h、90km/h時(shí)，該汽車(chē)的耗油量分別為L(zhǎng)/km、L/km。

（2）求線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。

（3）速度是多少時(shí)，該汽車(chē)的耗油量最低？最低是多少？

在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，第（1）個(gè)問(wèn)題要能夠讀出圖像上點(diǎn)的實(shí)際意義，第（2）個(gè)問(wèn)題根據(jù)直線這一線索，要能夠讀出圖像表達(dá)的是一次函數(shù)關(guān)系，從中要判斷出參數(shù)k和b的符號(hào)，并判斷自變量的取值范圍；第（3）個(gè)問(wèn)題要能夠依據(jù)圖像整體，得到點(diǎn)B表示當(dāng)時(shí)的速度所對(duì)應(yīng)的耗油量最低，并且理解點(diǎn)B的現(xiàn)實(shí)意義——當(dāng)汽車(chē)速度適中時(shí)，油耗可以達(dá)到最佳——應(yīng)用于生活就是一種節(jié)能方式。從中了解到數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義，體會(huì)到函數(shù)和方程一樣，都是一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。

總之，函數(shù)圖像是一種內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，它表達(dá)了抽象的數(shù)量關(guān)系；函數(shù)讀圖能力的培養(yǎng)不可一蹴而就，從圖像中獲取有用的信息是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)。教學(xué)中，教師要通過(guò)精心設(shè)計(jì)、專(zhuān)門(mén)培訓(xùn)，要應(yīng)用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)技術(shù)和手段，在學(xué)生親自動(dòng)手、親身感受函數(shù)圖像之意義的活動(dòng)中，不斷發(fā)展、提升學(xué)生的函數(shù)讀圖能力。

參考文獻(xiàn)：

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[2]A.A斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].北京：人民教育出版社，1985：273-274.

作者簡(jiǎn)介：賴登榕，福建省三明市，尤溪縣梅仙中學(xué)；

黃曉花，福建省三明市，尤溪縣第七中學(xué)。