級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用

廣西南寧市上林縣三里鎮(zhèn)中心學(xué)校韋寺教學(xué)點(diǎn) 覃小玉

1.利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式求函數(shù)近似值

冪級(jí)數(shù)是無(wú)窮級(jí)數(shù)的一種，它是以某個(gè)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為基礎(chǔ)，把所需要求的量表達(dá)成無(wú)數(shù)級(jí)數(shù)的和，并依據(jù)要求，選取部分和作這個(gè)量的近似值，誤差用余項(xiàng) 估計(jì)。比如許多初等函數(shù)如 ex，sinx，cosx，lnx，(1 + x )α(α ∈ Z ,α ≠0)，arcsin x，arctan x在一定的實(shí)區(qū)間上都可以進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，進(jìn)行近似計(jì)算，通過(guò)控制取冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的多少來(lái)達(dá)到我們需要的精確度。

例1：計(jì)算ln2的值，精確到小數(shù)第四位。

利用對(duì)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，作對(duì)數(shù)的近似計(jì)算.根據(jù)對(duì)數(shù)的特征，只要計(jì)算出正整數(shù)的特征，那么由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，其它有理數(shù)的對(duì)數(shù)也就知道了.

以ln(1+x)的邁克勞林級(jí)數(shù)發(fā)點(diǎn)

如要精確到小數(shù)第四位，則取n=4，這時(shí)

最終求得對(duì)數(shù) 的精確到小數(shù)第四位為0.6931。

2.利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式求定積分的近似值

利用冪級(jí)數(shù)不僅可以計(jì)算一些函數(shù)的近似值，而且還可以計(jì)算一些定積分的近似值，具體地說(shuō)，如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，那么把這個(gè)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分，用積分后的級(jí)數(shù)就可計(jì)算出定積分的近似值。

這是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，其誤差，取n=3，有，故

3.利用泰勒級(jí)數(shù)計(jì)算函數(shù)值的近似值

目前解決非線性問(wèn)題的一種有效工具是泰勒級(jí)數(shù)，即利用泰勒展開(kāi)式一階近似，將非線性問(wèn)題線性化，達(dá)到近似求解的目的。如若一階近似達(dá)不到近似精度標(biāo)準(zhǔn)的話，還可以在泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中取更高的階，在實(shí)際問(wèn)題中我們經(jīng)常會(huì)使用級(jí)數(shù)的二階多項(xiàng)式求復(fù)雜問(wèn)題的近似解。

例3：在我們?nèi)粘Ｉ钪械穆访娼Y(jié)構(gòu)中，路面結(jié)構(gòu)是在不斷遭受載荷的重壓而產(chǎn)生振動(dòng)，以致遭受破壞的，研究發(fā)現(xiàn)其振動(dòng)是以非線性的形式進(jìn)行的.

4.交錯(cuò)級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中是應(yīng)用

給定項(xiàng)數(shù)，求近似值并估計(jì)精度，通過(guò)估計(jì)余項(xiàng)，確定精度或項(xiàng)數(shù)，若余項(xiàng)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則可用余和的首項(xiàng)來(lái)解決。

5.幾何級(jí)數(shù)的某些應(yīng)用

利用幾何級(jí)數(shù)，我們也可以把一些函數(shù)級(jí)數(shù)和定積分級(jí)數(shù)變換成另一種形式，然后再利用冪級(jí)數(shù)或者泰勒公式來(lái)對(duì)這個(gè)級(jí)數(shù)進(jìn)行求解，從而算出這個(gè)級(jí)數(shù)的近似計(jì)算。如:

6.調(diào)和級(jí)數(shù)的近似計(jì)算

自然數(shù)的倒數(shù)組成的數(shù)列，稱為調(diào)和數(shù)列，即通

其中0.57721566490153286060651209叫做歐拉常數(shù)。

7.總結(jié)

級(jí)數(shù)理論和微積分學(xué)兩個(gè)分支共同組成是分析學(xué)的，這兩個(gè)分支一起作為基礎(chǔ)知識(shí)和工具出現(xiàn)在其余各分支中。本文是對(duì)級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中應(yīng)用的研究，主要通過(guò)各類級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用做研究，首先是對(duì)級(jí)數(shù)的定義、性質(zhì)做出論述，然后分別從冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式、泰勒級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)等對(duì)函數(shù)、定積分求近似值。在求解的過(guò)程中證明級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中有廣泛的作用。