極坐標(biāo)的簡單應(yīng)用

廣西柳州地區(qū)民族高級中學(xué) 王文剛

極坐標(biāo)是新課標(biāo)選考內(nèi)容之一，由于是新增的內(nèi)容，考綱要求比較簡單，只有理科學(xué)生學(xué)，所以在高考中一般以基礎(chǔ)題目出現(xiàn)，而圓錐曲線是高考的熱點(diǎn)，常以壓軸題的形式出現(xiàn)。圓錐曲線問題的基本解題思路，就是借助點(diǎn)的坐標(biāo)來表達(dá)條件，但是，在很多具體問題中，很多幾何條件并不方便借助點(diǎn)的直角坐標(biāo)來表達(dá)，從而導(dǎo)至運(yùn)算繁瑣，運(yùn)算量過大，使得學(xué)生望而生畏，半途而廢。隨著對極坐標(biāo)知識的深入學(xué)習(xí)，利用極坐標(biāo)知識解決某些圓錐曲線問題，常可以化繁為簡，高效解答。特別在圓錐曲線的焦點(diǎn)弦類問題及題設(shè)中含有垂直、特殊三角形等等這類問題時(shí)帶來方便。下面舉例說明。

一、題設(shè)中含有垂直關(guān)系

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）,,D M N為橢圓C上的三個(gè)動點(diǎn)，D在第一象限，M, N 關(guān)于原點(diǎn)對稱，且

求?DMN的面積最小值時(shí)， 點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）方法一：（常規(guī)解法）由題意知ODMN⊥，設(shè)，

方法二：（極坐標(biāo)法）如圖：以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)D(ρ1, θ)

評注：比較以上兩個(gè)方法我們可以看到，合理建立極坐標(biāo)系，利用極坐標(biāo)系建立相關(guān)關(guān)系，可以避免繁瑣的運(yùn)算而使問題得到快速解決，彰顯極坐標(biāo)法的好處。

二、圓錐曲線焦點(diǎn)弦問題

1.圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程的推導(dǎo)及結(jié)論

2.圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問題是高考考查的重點(diǎn)，熱點(diǎn)，圓錐曲線的極坐標(biāo)方程解決這類問題帶來了簡便方法，有效地避免繁瑣的代數(shù)運(yùn)算。

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)M,N，橢圓上也存在兩個(gè)點(diǎn)P,Q,使M, N, F2三點(diǎn)共線，

P, Q, F2三點(diǎn)共線，且PQ⊥MN，求四邊形PNQM面積的最小值.

（2）如圖以橢圓的右焦點(diǎn) F2為極點(diǎn)， F2x為極軸建立極坐標(biāo)系，

評注：本題若用常規(guī)方法求解，要經(jīng)過繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，給解答帶來不便，而利用極坐標(biāo)方法，合理選擇相應(yīng)的方程解決問題，可起到事半功倍的作用。以上角度只是對極坐標(biāo)在求解圓錐曲線某些類問題的一個(gè)初探，事實(shí)上，在高考中考查類似的問題有很多，這里就不一一列舉了，這里起到一個(gè)拋磚引玉的作用。