巧用思維任務(wù) 助力數(shù)學(xué)生成

徐娟

[摘 要] “數(shù)學(xué)是思維的體操”. 提高學(xué)生思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一. 初中學(xué)生抽象思維能力逐步增強(qiáng)，教材對(duì)思維訓(xùn)練的要求日益提高，這段時(shí)期正是加強(qiáng)逆向思維訓(xùn)練，提高學(xué)生思維品質(zhì)的有利時(shí)機(jī).

[關(guān)鍵詞] 巧用；思維任務(wù)；助力；數(shù)學(xué)生成

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在教學(xué)過(guò)程中，要不斷引導(dǎo)學(xué)生去把握教材，選準(zhǔn)突破口，注意多方位、廣角度地啟發(fā)滲透，靈活運(yùn)用嘗試、發(fā)現(xiàn)、類(lèi)比、歸納等方法，并巧用思維任務(wù)，助力數(shù)學(xué)生成，定能提高學(xué)生的思維品質(zhì).

聚焦內(nèi)涵，激活逆向思維

數(shù)學(xué)定義是概念內(nèi)涵或外延的確切簡(jiǎn)要的說(shuō)明，它揭示了概念的本質(zhì)屬性. 概念的逆命題都成立，即定義具有逆向性，這是不難理解的. 教學(xué)中重視引導(dǎo)學(xué)生理解定義的逆向性，對(duì)防止學(xué)生思維的單向定式，提高學(xué)生的多向思維、發(fā)散思維能力是十分有益的. 例如學(xué)生學(xué)習(xí)線(xiàn)段中點(diǎn)定義“把線(xiàn)段分成兩個(gè)相等部分的點(diǎn)叫作線(xiàn)段的中點(diǎn)”后，啟發(fā)學(xué)生思考：這定義逆向后如何表述？能否成立？為什么？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述？等等. 這樣，“若點(diǎn)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則M把AB分成相等的兩部分”，從而“點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，推出MA=MB=”的表達(dá)形式就自然不難得出，并通過(guò)練習(xí)、鞏固，逐步在學(xué)生頭腦中定格. 進(jìn)而，引其靈活應(yīng)用，如怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述三角形的角平分線(xiàn)等. 通過(guò)遷移、強(qiáng)化、激活學(xué)生的思維.

公式的可逆性是公式的活用，然而由于初中低年級(jí)的學(xué)生知識(shí)的局限和順向思維的定式，學(xué)生對(duì)公式的逆向運(yùn)用往往缺少思想準(zhǔn)備，缺少應(yīng)用的潛在的思維意識(shí). 在課堂教學(xué)中進(jìn)行可逆性的教學(xué)必須要注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到逆向與順向的區(qū)別，整個(gè)教學(xué)過(guò)程推導(dǎo)中注意邏輯的異同，引導(dǎo)學(xué)生思考其“逆向”“順向”的區(qū)別，再歸類(lèi)整理、對(duì)比分析，使學(xué)生領(lǐng)悟其實(shí)質(zhì). 如初二代數(shù)中=a是教學(xué)的重點(diǎn)也是教學(xué)難點(diǎn)，有些教材往往缺少逆向應(yīng)用的訓(xùn)練，這樣可能導(dǎo)致學(xué)生缺乏逆向思維的心理準(zhǔn)備，教學(xué)時(shí)教者可設(shè)計(jì)這樣的訓(xùn)練：（1）=-y，則y是什么數(shù)？（2）-4n+4=n-2，則n應(yīng)取什么數(shù)？（3）若-4n+4=2-n，則n又應(yīng)取什么數(shù)？如此這樣思維的連接，才能夠讓學(xué)生對(duì)教學(xué)中公式的運(yùn)用有了深入的理解和靈活的運(yùn)用.

關(guān)注探究，拓寬維度思維

引導(dǎo)學(xué)生在探索命題的逆命題、應(yīng)用反例的過(guò)程中拓寬.

引導(dǎo)學(xué)生探索有些數(shù)學(xué)命題的逆命題正確與否，既可訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維能力，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、動(dòng)機(jī)和創(chuàng)造性思維.

例如，如圖1，已知AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn). 求證：BF=CF.

命題證明后引導(dǎo)學(xué)生將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換，再判斷其真?zhèn)?，學(xué)生逆向思維不僅得到啟動(dòng)，而且興趣盎然，既提高了學(xué)生思維的多向性、思辨性，又強(qiáng)化了基礎(chǔ)訓(xùn)練，可謂一舉多得.

數(shù)學(xué)中尋找反例，正是突破正向思維的定式，從逆向進(jìn)行思考的，如命題“有兩邊及其中一邊所對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”，就是舉出反例證明這樣的兩個(gè)三角形不一定全等，從而否定原命題，并為學(xué)生日后進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下知識(shí)基礎(chǔ).

促進(jìn)運(yùn)用，開(kāi)拓空間思維

“讀書(shū)是學(xué)習(xí)，使用也是學(xué)習(xí)，而且是更重要的學(xué)習(xí)”. 在教學(xué)中結(jié)合教材、選準(zhǔn)突破口，強(qiáng)化學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練、歸類(lèi)總結(jié)、授之以漁.

例如，如圖2，已知AB為圓O的直徑，弦CD⊥AB于E，F(xiàn)是CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AF交圓O于G，求證：AC·DG=AG·DF.

分析的步驟一般從結(jié)論出發(fā)，一步一步上溯到題設(shè)，本題結(jié)論是AC·DG=AG·DF，證明比例式和等積式常常利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例和圓冪定理等，其逆向思維過(guò)程可概括為：將乘積改比例，按比例找相似. 圖中相似找不著，思考添加輔助線(xiàn). 線(xiàn)段多在一線(xiàn)上，等代旋轉(zhuǎn)思“換面”.

重視引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)整理，明確數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)上互逆關(guān)系，數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容之一，互逆存在于數(shù)量關(guān)系之間，放飛學(xué)生的思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)樂(lè)園探求的欲望.

例如，在教完立方差公式后，啟發(fā)學(xué)生思考如何化簡(jiǎn)式子，又如何求（m-n）（m+n）（m2-mn+n2）（m2+mn+n2）的積. 進(jìn)而引其思考二者之間的關(guān)系，使學(xué)生領(lǐng)悟因式分解與整式乘法在知識(shí)結(jié)構(gòu)上的互逆關(guān)系，也為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作滲透、作鋪墊.

立足素養(yǎng)，豐盈科學(xué)思維

一個(gè)人的科學(xué)素質(zhì)水平的高低，主要體現(xiàn)在他掌握科學(xué)知識(shí)、科學(xué)技能和科學(xué)方法的多少，是否具有良好的科學(xué)品質(zhì)和是否形成科學(xué)觀. 我國(guó)著名科學(xué)家錢(qián)學(xué)森曾說(shuō)：“現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)不管哪一部門(mén)都離不開(kāi)數(shù)學(xué)，離不開(kāi)數(shù)學(xué)科學(xué)的一門(mén)或幾門(mén)學(xué)科. ”很明確地指出了數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科學(xué)中的地位和作用，所以在教學(xué)中我們一定要讓學(xué)生把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)好. 要做到這一點(diǎn)，首先要使學(xué)生掌握初中數(shù)學(xué)中的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如概念、公理、定理、法則和公式等，不僅要理解它們，而且還要熟記它們. 將這些點(diǎn)以及有關(guān)的典型例子，進(jìn)行總結(jié)、串線(xiàn)和歸類(lèi)，建立科學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生獲得較為系統(tǒng)的知識(shí). 最后是進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)之間、數(shù)學(xué)學(xué)科間的縱向或橫向的聯(lián)想，去發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)在的規(guī)律性，把知識(shí)學(xué)活，使他們養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 只有這樣，才能使學(xué)生把初中數(shù)學(xué)學(xué)好，才能奠定好科學(xué)基礎(chǔ).

例如，函數(shù)y=ax2+bx+c（a<0，c>0）的圖像與x軸（ ）

A. 有兩交點(diǎn)

B. 有一交點(diǎn)

C. 無(wú)交點(diǎn)

D. 不能確定

由Δ>0知應(yīng)選A，把例題稍加變化即得函數(shù)y=ax2+bx+c（ac<0）的圖像過(guò)（ ？搖 ）

A. 第一、二、三象限

B. 第二、三、四象限

C. 第一、三、四象限

D. 第一、二、三、四象限

其次，科學(xué)方法泛指在學(xué)習(xí)和研究自然科學(xué)的過(guò)程中，為問(wèn)題解決獲取信息、大膽猜想提出假設(shè)或進(jìn)行論證時(shí)遵循和使用的成功經(jīng)驗(yàn)和手段，所以為了使學(xué)生掌握科學(xué)方法，一定要重視問(wèn)題解決的教學(xué). 其一，要教給學(xué)生解決問(wèn)題的方法. 在初中數(shù)學(xué)教材中，有不少理論與實(shí)際相結(jié)合的例子，我們可以有計(jì)劃地向?qū)W生介紹解決問(wèn)題的方法、所使用的數(shù)學(xué)模型，并讓學(xué)生參加問(wèn)題解決的全過(guò)程，使學(xué)生領(lǐng)略觀察、數(shù)學(xué)建模、問(wèn)題解決的基本途徑和方法. 其二，教學(xué)中要逐步滲透邏輯推理方法. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，分析與綜合、歸納和演繹、分類(lèi)與類(lèi)比等邏輯方法會(huì)多次出現(xiàn)在學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程中，只有有意識(shí)地予以滲透，才能使學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)推理的習(xí)慣，逐步掌握這些進(jìn)行科學(xué)研究和解決問(wèn)題的方法. 如二次函數(shù)的內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，在進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)如何讓學(xué)生盡快把這一部分的知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通以達(dá)到教學(xué)要求.

二次函數(shù)的一般形式為y=ax2+bx+c（a≠0）.

例如，函數(shù)y=mx2+x-m的圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（？搖 ）

A. 2 B. 1

C. 0 ？搖 D. 以上均錯(cuò)

學(xué)生往往容易被假象迷惑，由Δ=1+4m2>0選擇A，事實(shí)上m的情況不明，故應(yīng)選D. 若進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生：如何改題就能使A成為正確的結(jié)論？結(jié)合定義，學(xué)生便會(huì)得出：題前添上“二次”即可.

第三，初中數(shù)學(xué)教材中的許多部分的闡述，都與科學(xué)家的發(fā)現(xiàn)過(guò)程有著驚人的相似之處，我們應(yīng)抓住這些典型的素材，不失時(shí)機(jī)地去培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)能力. 一方面，要加強(qiáng)定義引入過(guò)程的教學(xué). 數(shù)學(xué)中的許多定義大都是以“展示實(shí)例——抽取本質(zhì)屬性——再推廣到同類(lèi)事物”的形式給出的，這是認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)屬性的一種思維形式. 學(xué)生掌握了這種方法，就可以采用這種方式的定義方法去定義許多不同的概念，還可以利用概念的內(nèi)涵和外延的反變關(guān)系去實(shí)現(xiàn)概念的限制和概括，準(zhǔn)確地去實(shí)現(xiàn)概念的分類(lèi). 另一方面，要加強(qiáng)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的教學(xué)，這不僅僅是使學(xué)生學(xué)習(xí)一種知識(shí)、一種方法，更重要的是使學(xué)生的科學(xué)能力不斷得到鍛煉和提高. 如果我們?cè)僖龑?dǎo)學(xué)生勤于思考，并運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)、變化的觀點(diǎn)去看待問(wèn)題、分析問(wèn)題，不斷培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，使學(xué)生具備思維的靈活性、敏捷性和獨(dú)創(chuàng)性，對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)和科學(xué)的形成都是大有裨益的.

總之，教者若能?chē)L試在數(shù)學(xué)教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生采用分類(lèi)手法，圍繞知識(shí)點(diǎn)搜集、整理相似的題型，再輔之以適當(dāng)?shù)乃季S訓(xùn)練，則學(xué)生不僅能對(duì)所學(xué)知識(shí)舉一反三、融會(huì)貫通，還可以使學(xué)生在一系列的活動(dòng)中感受到數(shù)學(xué)本身所具有的結(jié)構(gòu)之美和變化之美，從而激發(fā)其鉆研數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，使枯燥的數(shù)學(xué)教學(xué)在他們的眼中變得生動(dòng)、活潑起來(lái)，必可取得良好的教學(xué)效果.