航空磁探中使用邊界元法的潛艇磁場建模

周家新，陳建勇，單志超，陳長康

(1.海軍航空大學電子信息工程系,山東 煙臺 264001; 2.海軍海洋測繪研究所，天津 300061)

0 引言

潛艇大多數(shù)由鋼鐵合金制造[1]，在地磁場的磁化下，巨大的鐵磁性艇體本身具有量級十分可觀的磁感應強度[2]。因此，潛艇磁場是磁性武器和磁性探測器工作的信息源[3]。由于磁場受海水、空氣、泥沙等介質(zhì)的影響小[4]，使得基于磁異常信號的航空磁探測具有可靠性強、隱蔽性好、定位精度高、搜索連續(xù)、反應迅速等特點[5-6]，成為水下磁性目標探測的重要手段[7-9]。針對航空反潛中磁探儀探測潛艇磁異常信號的需求，需要對潛艇磁場的高空分布做出精確研究[10-11]。對潛艇磁場強度及其分布規(guī)律的研究不僅可以應用于航空反潛，也可用于磁性定位[12]、磁性導航[13]、對抗磁性武器以及艦艇消磁等領域。

目前，國內(nèi)外關于高精度潛艇磁場特性分布研究的主要手段有實艇測量和數(shù)學模型仿真兩種方法[14]。一方面，由于測量條件(包括測量范圍、磁傳感器數(shù)量等)的限制，實艇測量法雖然具有測量數(shù)據(jù)準確等優(yōu)點，但是耗費人力、物力與資金，并且由于實驗條件的限制只能獲知部分空間的目標磁場，一般潛艇的高空磁場無法通過測量的方式獲得，因此僅利用直接測量數(shù)據(jù)全面分析并掌握潛艇磁場的空間分布是十分困難的[15]。另一方面，在遠場區(qū)域，由于潛艇目標與傳感器平臺之間的距離過大，無法穩(wěn)定架設傳感器平臺測量磁場信號，使得磁場傳感器無法有效地獲取潛艇高精度的真實遠場信號，從而導致不能直接分析遠場的磁場特性[16]。潛艇的近場磁場在實驗室環(huán)境中較易測得，因此，在近場磁場的基礎上通過高精度換算得到高空磁場的方法是獲得潛艇高空磁場的強度和分布特性的常用方法。

隨著計算機技術的發(fā)展，經(jīng)過國內(nèi)外學者多年研究，潛艇磁場計算數(shù)學模型得到極大的發(fā)展，利用數(shù)學模型仿真法進行潛艇磁場分布特性計算已經(jīng)形成比較成熟的理論。數(shù)學模型仿真方法的基本思路是構建潛艇磁場的延拓數(shù)學模型，然后根據(jù)部分測量數(shù)據(jù)作為延拓數(shù)學模型的輸入對其他空間的磁場進行換算，能見于文獻的關于目標磁場建模及磁場延拓方法主要包括磁體模擬法、積分方程法、有限元法、邊界元法。磁體模擬法的思想是用若干個簡單的磁體所產(chǎn)生的磁場來代替實際潛艇產(chǎn)生的磁場，常用的磁體模擬法有單個磁偶極子模擬法、磁偶極子陣列模擬法、旋轉(zhuǎn)橢球體模擬法或者是旋轉(zhuǎn)橢球體與磁偶極子陣列模型模擬法，并且為了解決人為經(jīng)驗確定模擬體位置對計算精度的影響，采用逐步回歸法、遺傳算法[17]、微粒群算法[18]對模擬體進行優(yōu)化。有限元法和積分方程法是對求解區(qū)域進行剖分，進而直接采用數(shù)值計算的方法求解空間各點磁場。邊界元法的基本原理是根據(jù)場源周圍閉合曲面的外法線方向?qū)?shù)求得閉曲面上的標量磁位[14]，推算出閉曲面外圍空間各點的標量磁位分布，進而推算出空間各點的3分量磁場值。其中，磁體模擬法只需少量的測量數(shù)據(jù)，計算速度快，應用最為廣泛，但模型精度較低；有限元法和積分方程法都是依據(jù)嚴格的理論推導出來的，其計算精度高，但需要對艦艇進行精確的剖分，計算量較大；邊界積分法只對求解區(qū)域邊界剖分，可以降低問題的維數(shù)，加快計算速度，并且具有較高的擬合精度。

為了研究航空磁異常探測中潛艇高空磁場分布，根據(jù)邊界元法的基本原理，建立潛艇磁場預測模型，并對模型進行理論和實驗驗證，分析使用邊界元法的潛艇磁場預測模型精度。

1 邊界元法的基本原理

潛艇磁場是造成潛艇暴露并破壞其隱身性能的重要物理特征，按其成因分類，主要可以分成固定磁場、感應磁場、起源于電化學的潛艇磁場以及起源于電磁輻射與泄露的潛艇磁場[1]。潛艇磁場屬于準靜磁場，根據(jù)Maxwell方程組可以得到

▽×H=J

(1)

B=μ0H

(2)

▽·B=0

(3)

式中：H為磁場強度；J為場域內(nèi)自由電流密度向量或鐵磁物體的等效電流密度向量；B為磁感應強度；μ0=4π×10-7H/m，為真空磁導率。

圖1所示為使用邊界元法的潛艇空間磁場場域模型。

圖1 潛艇場域示意圖Fig.1 Diagram of field domain of submarine

場源處于中心點O處，在本文中代表鐵磁性潛艇目標，V為包圍潛艇場源的空間的體積，并且空間V中只包含場源不包含預測點區(qū)域，S為包圍潛艇磁源的包絡觀測面，用于測量潛艇磁場作為空間磁場預測模型的輸入數(shù)據(jù)，Q(x0,y0,z0)為包絡觀測面上的測量點，以潛艇目標作為直角坐標系的中心，潛艇艇艏為X軸正向，Z軸正向垂直向下，采用右手坐標系，測量得到(x0,y0,z0)處潛艇磁場的三分量數(shù)據(jù)Bx，By和Bz，Ω為空間V外包含預測點的無源封閉區(qū)域全空間，P(x,y,z)為空間預測點。

矢量A滿足條件

▽·(▽×A)=0

(4)

由式(3)和式(4)可得

▽×A=B

(5)

矢量A記為矢勢，矢勢的散度為

▽·A=0

(6)

對式(5)兩邊取旋度，根據(jù)式(3)、式(6)和矢量恒等式▽×▽×A=▽(▽·A)-▽2A，可得泊松方程

▽×B=▽×▽×A=▽(▽·A)-▽2A=-μ0J。

(7)

由于研究區(qū)域內(nèi)在一定情況下不存在自由電流和鐵磁物質(zhì)，故令J=0，則由式(7)可得矢勢A的拉普拉斯方程為

▽2A=0。

(8)

令空間預測點P(x,y,z)處的拉普拉斯方程的格林函數(shù)為

(9)

(10)

根據(jù)式(5)和式(10)可得P點處潛艇的磁感應強度為

(11)

式中：n為包絡觀測面S上的單位外法向量；BQ為包絡觀測面S上的測量點Q處的磁感應強度。

2 潛艇磁場預測模型

為得到實際條件下適用的潛艇磁場預測模型，對式(11)進行離散化，則

(12)

式中：Mi為第i個平面剖分的邊界單元數(shù)，i=1,2,…,6；nij為第ij個平面的單位法向量；BQij為單元ij的測量磁感應強度數(shù)據(jù)，j=1,2,…,Mi；Sij為測量單元ij的面積。

建立如圖2所示的坐標系。

圖2 潛艇空間磁場坐標系Fig.2 Coordinate system of spatial magnetic field of submarine

圖中：X軸平行于水平面，以指向地磁北向為正，稱為縱軸；Y軸平行于水平面，以指向地磁東向為正，稱為橫軸；Z軸垂直于水平面，以向下為正，稱為垂軸。Bx，By和Bz分別是潛艇空間磁場BP在X軸、Y軸和Z軸的投影，分別稱為縱向分量、橫向分量和垂向分量，即潛艇磁場的三分量。

潛艇磁場預測模型的包絡觀測面如圖3所示。采用長方體包絡面包圍潛艇磁源進行三分量磁場測量，長方體區(qū)域的邊界面為長7.50 m，寬與高均為1.50 m的長方體表面。將上下兩表面和左右兩側(cè)面各分成25×5個長方形面積元，將前后兩側(cè)面各分成5×5個長方形面積元。整個邊界面共分成550個長方形面積元。邊界面的劃分及測量點的布放見圖3，測量得到面積單元ij的磁感應強度數(shù)據(jù)BQij，并記錄各觀測點的坐標信息以及該面積元的單位法向量，根據(jù)式(12)可以進行潛艇空間磁場預測。

圖3 預測模型的觀測面Fig.3 Observation plane of prediction model

3 理論驗證模型精度

為驗證本文的潛艇磁場預測模型精度，采用文獻[19]中的磁偶極子磁矩數(shù)據(jù)對模型進行理論仿真驗證。仿真中，磁偶極子三分量磁矩參數(shù)為Mx=80 000，My=-20 000，Mz=40 000，將磁偶極子目標布放在長方體包絡面區(qū)域的中心位置，模擬鐵磁體目標，在各長方形面積單元的中心上仿真生成測量數(shù)據(jù)，將該數(shù)據(jù)視為整個面積單元上目標的磁感應強度的平均值。根據(jù)磁偶極子模型獲得邊界面單元的觀測數(shù)據(jù)，通過式(12)的實際預測算式，推算潛艇空間磁場。當x∈[-400 m,400 m]，y=0 m，z=-100 m時，通過磁偶極子模型和式(12)的潛艇磁場預測模型分別獲得潛艇空間磁場磁感應強度三分量的真實值和預測值，如圖4所示。

圖4 潛艇磁場預測模型理論驗證Fig.4 Theoretical validation of the prediction model of submarine magnetic field

通過對比潛艇磁感應強度三分量的真實值和預測值可以發(fā)現(xiàn)，潛艇磁場預測模型能夠有效預測目標的空間磁場分布，在理論上具有可行性。

4 實驗驗證

通過實驗分析潛艇磁場預測模型的精度，驗證預測模型的有效性。實驗中，選取長半軸為2.85 m、短半軸為0.25 m的鐵磁性旋轉(zhuǎn)橢球體代替潛艇。實際測量過程中，使用長和寬均為1.50 m的矩形測量框架，每條邊上按圖5所示布放5個三軸數(shù)字式磁通門傳感器，共計20個。測量時，矩形測量框架沿長方體長邊移動至測量點處，記錄測量數(shù)據(jù)。兩正方形側(cè)面使用長為1.50 m的方形測量面測量。

圖5 矩形測量框架Fig.5 Rectangular measurement frame

實驗中，在橢球體中心上方10m的高度面上沿X軸方向每0.5 m取1個考核點，共計101個考核點，則x∈[-25 m,25 m]，y=0 m，z=-10 m，在考核點處使用G858光泵磁力儀進行測量。根據(jù)長方體邊界面上的實際測量磁場數(shù)據(jù)，由式(12)可以計算得到考核點上的磁場三分量預測值。將三分量預測值投影到地磁場方向，得到磁感應強度預測值的總場，將預測值與實際測量值進行比較，如圖6所示。

圖6 測量值與預測值的對比Fig.6 The measurement value and the prediction value

對比磁感應強度預測值BP和實際測量值BM，定義平均絕對誤差AT和平均相對誤差AR為

(13)

則得到平均絕對誤差為0.220 5 nT，平均相對誤差為2.368%。

5 結論

為研究航空磁探中潛艇磁場的高空分布，通過測量潛艇的近場磁場,使用邊界元法建立潛艇磁場預測模型,換算得到高空磁場。使用磁偶極子對潛艇磁場預測模型的有效性進行理論驗證，結果表明模型在理論上具有可行性。設計潛艇包絡面磁場測量實驗，對模型進行實際驗證。結果表明，使用邊界元法的潛艇磁場預測模型的平均絕對誤差為0.220 5 nT，平均相對誤差為2.368%。使用邊界元法建立的潛艇磁場預測模型精度高、誤差小。下一步將通過模型預測潛艇高空磁場，獲取潛艇高空磁異常特征，用以輔助航空磁探儀進行目標檢測、定位以及識別。

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