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    關(guān)于初中數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)思考

    2018-06-20 09:36:26姜紅梅
    關(guān)鍵詞:素養(yǎng)模型

    姜紅梅

    摘 要:組織課題學(xué)習(xí)研討活動(dòng)能促進(jìn)教師深入反思教法,強(qiáng)化對(duì)專業(yè)知識(shí)的領(lǐng)悟。數(shù)學(xué)課題活動(dòng)能有效引導(dǎo)師生共同思考如何建立高度概括并揭示本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型;突破思維難點(diǎn)、提升思維水平;解決實(shí)際問(wèn)題,積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

    關(guān)鍵詞:初中課題;模型;素養(yǎng)

    中圖分類號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1009-010X(2018)11-0034-04

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)中將初中階段的課程內(nèi)容分為:“數(shù)與代數(shù)” “圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四部分,其中“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容的設(shè)置目的在于訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)與方法解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),積累學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。人教版教科書(shū)在每章后面設(shè)置了一項(xiàng)內(nèi)容——“數(shù)學(xué)活動(dòng)”,但在實(shí)際教學(xué)中一些老師對(duì)這部分內(nèi)容不夠重視,經(jīng)常忽略“數(shù)學(xué)活動(dòng)”及“課題學(xué)習(xí)”等內(nèi)容對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的升華功能,使得此部分授課環(huán)節(jié)處理得比較草率。筆者就“如何開(kāi)展數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)”主題以同課異構(gòu)和評(píng)課研討的形式,對(duì)人教版八年級(jí)上冊(cè)“13.4課題學(xué)習(xí)——最短路徑問(wèn)題”進(jìn)行了較細(xì)致的探究,并將幾點(diǎn)反思整理出來(lái),以期得到同行的指正。

    思考一:如何建立數(shù)學(xué)模型?

    問(wèn)題一(將軍飲馬問(wèn)題):相傳,古希臘亞歷山大城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者,名叫海倫。有一天,一位將軍專程來(lái)拜訪海倫,求教一個(gè)他百思不得其解的問(wèn)題:從圖中的A城堡出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后回到B城堡,問(wèn)到河邊的什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?

    抽象過(guò)程:兩個(gè)城堡是兩個(gè)位置,所以抽象成點(diǎn)A和點(diǎn)B ,筆直的河岸抽象成直線l。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:如圖1,點(diǎn)A, B在直線l同側(cè),點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),PA+PB最小?

    問(wèn)題二(造橋選址問(wèn)題):如圖2,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN。橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)

    教材中的抽象過(guò)程體現(xiàn)得非常好,可以直接用。A和B兩地在一條河的兩岸,已經(jīng)抽象為兩點(diǎn),把河的兩岸看成一對(duì)平行線a和b,橋MN是垂直于兩條平行線的,問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橹恍杞鉀Q:當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí),AM+MN+NB最小?

    實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要體現(xiàn)抽象過(guò)程,數(shù)學(xué)抽象是舍去物理屬性從而得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的學(xué)科素養(yǎng)。就本例而言,某個(gè)位置用點(diǎn)表示,筆直的河岸、公路等用直線表示,有一定寬度的河流用一組平行線表示等;抽象思維要返回原來(lái)的實(shí)際問(wèn)題,明確事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么,進(jìn)而以數(shù)學(xué)模型概括表示,從而高效地運(yùn)用已知的數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題。

    思考二:如何突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)?怎樣在課題學(xué)習(xí)中提高思維能力?

    如本節(jié)課的難點(diǎn)在于,利用對(duì)稱和平移的方法解決問(wèn)題,以及證明線段和最小。

    1.為什么作對(duì)稱點(diǎn)?怎么想到作對(duì)稱點(diǎn)的方法?

    如圖3,不改變距離和PA+PB的情況下,如何將直線同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化成異側(cè)的兩點(diǎn),不妨將點(diǎn)B固定,即不改變PB,將點(diǎn)A進(jìn)行處理,即對(duì)PA進(jìn)行等量代換,得到PA′——以點(diǎn)P為圓心,以PA為半徑的圓上各點(diǎn)到點(diǎn)P的距離都等于PA,是不是圓上任意一點(diǎn)都可以是A′,當(dāng)然不行!為什么不行?因?yàn)闊o(wú)論點(diǎn)P在直線l上的哪個(gè)位置,必須始終保證PA′=PA。

    在教學(xué)中有些教師處理這個(gè)問(wèn)題的方法是讓學(xué)生進(jìn)行小組討論,再找一個(gè)會(huì)做的(或提前預(yù)習(xí)過(guò)的)學(xué)生展示自己的作法,然后教師就可以對(duì)此進(jìn)行后續(xù)的證明。是的,作對(duì)稱點(diǎn)之后解決了線段和最小的問(wèn)題,但關(guān)鍵是怎么想到作對(duì)稱點(diǎn)的呢?筆者曾就這個(gè)問(wèn)題與其他教師進(jìn)行過(guò)討論,最后可將問(wèn)題總結(jié)為“在點(diǎn)A和直線l的位置確定的條件下,在直線l的另一側(cè)確定一點(diǎn)A′,使得對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P,都有PA′=PA″。如圖4,對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)P,都有PA′=PA,從而確定最后解決方案為:作點(diǎn)A的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′。

    2.如何證明線段和最???

    在以往的教學(xué)過(guò)程中鮮見(jiàn)證明線段和最小的例子,缺乏解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn),因此,應(yīng)該讓學(xué)生有個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程??梢栽谥本€l上先任選一點(diǎn)P′,連接P′A,P′B,通過(guò)測(cè)量等方法驗(yàn)證PA+PB

    以上過(guò)程中,學(xué)生經(jīng)歷了由淺入深的認(rèn)識(shí)過(guò)程,經(jīng)歷了觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、歸納、推理的過(guò)程,先有實(shí)驗(yàn)歸納,再有推理論證,將實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何有機(jī)結(jié)合,推理論證在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力方面起著重要作用,而幾何實(shí)驗(yàn)則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效途徑,在培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維和創(chuàng)造性思維方面起著很大作用。最后進(jìn)行方法歸納:遇到類似的最值問(wèn)題都可以這樣處理。

    3.分別作點(diǎn)A、B的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),得到的點(diǎn)P位置是相同的嗎?

    在教學(xué)中,一般是作點(diǎn)A的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B,交直線l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求。若有學(xué)生作點(diǎn)B的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′,交直線l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求。老師會(huì)說(shuō)都對(duì),這樣作出來(lái)的點(diǎn)P位置是相同的。為什么相同?沒(méi)有人問(wèn),也沒(méi)人解釋,就這樣過(guò)去了。

    重新審視一下這個(gè)問(wèn)題:如圖5,先作點(diǎn)A的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B交直線l于點(diǎn)P。再證明作點(diǎn)B的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。這相當(dāng)于一個(gè)三點(diǎn)共線的問(wèn)題。

    證明思路1:作點(diǎn)B的關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接PB′,

    ∵點(diǎn)A,點(diǎn)A′關(guān)于直線l對(duì)稱,點(diǎn)B,點(diǎn)B′關(guān)于直線l對(duì)稱,

    ∴∠APC=∠A′PC

    ∠BPD=∠B′PD

    ∵∠A′PC=∠BPD

    ∴∠APC=∠B′PD

    ∵∠APC+∠APC=180°

    ∴∠B′PD+∠APC=180°

    即A,P, B′在同一條直線上.

    證明思路2:延長(zhǎng)AP到B′,使PB′=PB,易證∠BPD=∠B′PD,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì),證出點(diǎn)B,點(diǎn)B′關(guān)于直線l對(duì)稱。

    以上兩種方法中,簡(jiǎn)單地說(shuō),思路1是作B與B′對(duì)稱,證A,P,B′三點(diǎn)共線;思路2是作A,P,B ′三點(diǎn)共線,證B與B ′對(duì)稱。這個(gè)一題多解問(wèn)題還是值得帶領(lǐng)學(xué)生研究的.

    4.思維拓展

    題1:如圖6,點(diǎn)A,B在直線l同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使∠APC=∠BPD.

    光行最速原理:光線所行進(jìn)的“光程”最短。光線行進(jìn)時(shí)入射角等于反射角,光行進(jìn)的時(shí)間最短。由于在同一媒介中傳播,即光線行進(jìn)的路程最短。這是物理學(xué)科的一個(gè)原理,其證明過(guò)程就是“將軍飲馬問(wèn)題”的證明過(guò)程,可見(jiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科是基礎(chǔ)性的學(xué)科,也體現(xiàn)了學(xué)科之間的聯(lián)系。

    題2:如圖7,牧馬人從A地出發(fā),先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到B處,請(qǐng)畫(huà)出最短路徑。

    這是將“將軍飲馬問(wèn)題”中的一條直線換成了兩條直線,解決問(wèn)題的思路與原問(wèn)題類似,只是需要作兩次軸對(duì)稱變換。

    題3:如圖8,已知A(1,-1),B(6,-3),點(diǎn)M,N在x軸上且MN=2,求AMNB的最短路徑.

    這是將問(wèn)題放在了坐標(biāo)系中,通過(guò)坐標(biāo)系確定了已知點(diǎn)和已知直線的位置,便于計(jì)算線段長(zhǎng)。但是解決問(wèn)題的方法與前面的“造橋選址問(wèn)題”類似,通過(guò)平移和軸對(duì)稱變換將問(wèn)題解決。

    以上問(wèn)題是對(duì)教科書(shū)上兩個(gè)典型問(wèn)題的運(yùn)用和鞏固,都是通過(guò)軸對(duì)稱和平移等變換,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的問(wèn)題,滲透了化歸思想。

    ……

    在進(jìn)行這樣的教學(xué)活動(dòng)時(shí),教師是不是應(yīng)該對(duì)問(wèn)題有個(gè)全面的清晰的認(rèn)識(shí)?設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)或進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí),給學(xué)生充分的時(shí)間,讓學(xué)生有自己的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí),找出研究問(wèn)題的方法,進(jìn)而進(jìn)行思考和行動(dòng)。

    思考三:數(shù)學(xué)活動(dòng)和課題學(xué)習(xí)到底要學(xué)生學(xué)會(huì)什么?

    “數(shù)與代數(shù)” “圖形與幾何” “統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容,師生都很重視,教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)目標(biāo)都比較清晰;而作為“綜合與實(shí)踐”部分的數(shù)學(xué)活動(dòng)和課題學(xué)習(xí)等相關(guān)內(nèi)容,在實(shí)際教學(xué)中處理時(shí),教學(xué)目標(biāo)不是很清晰。

    以三角形一章后面的數(shù)學(xué)活動(dòng)“鑲嵌”為例來(lái)說(shuō),解決問(wèn)題要用到多邊形的內(nèi)角和公式,通過(guò)這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng),學(xué)生可以經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型,綜合應(yīng)用已有知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程,從而加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解,提高思維能力。

    這個(gè)活動(dòng)可按照三個(gè)層次的實(shí)驗(yàn)來(lái)設(shè)計(jì):1.只用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌,發(fā)現(xiàn)正三角形、正方形、正六邊形可以,正五邊形和其它正多邊形不行;2.只用兩種正多邊形進(jìn)行鑲嵌;3.只用一種任意形狀的三角形、四邊形、五邊形……進(jìn)行鑲嵌。記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果、觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果、解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果,一方面使所學(xué)內(nèi)容(多邊形的內(nèi)角和公式)得到鞏固和運(yùn)用,更重要的是在這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,學(xué)生學(xué)會(huì)了研究問(wèn)題的方法,思維能力得到很好的發(fā)展。表面上看,數(shù)學(xué)活動(dòng)是對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的鞏固和運(yùn)用,可是從深層次來(lái)思考,它的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不僅于此。

    《課標(biāo)》中強(qiáng)調(diào):積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo),應(yīng)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)課程之中?!熬C合與實(shí)踐”是實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的重要和有效的載體?!熬C合與實(shí)踐”的教學(xué),重在實(shí)踐、重在綜合。重在實(shí)踐是指在活動(dòng)中,注重學(xué)生自主參與、全過(guò)程參與,重視學(xué)生積極動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口;重在綜合是指在活動(dòng)中,注重?cái)?shù)學(xué)與生活實(shí)際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)系和綜合應(yīng)用。在日常備課時(shí)多思考,學(xué)生認(rèn)識(shí)事物需要一個(gè)過(guò)程,在一些教師認(rèn)為簡(jiǎn)單的地方,不要想當(dāng)然地以為學(xué)生也都明白。多問(wèn)幾個(gè)“為什么”,思考知識(shí)、方法背后隱藏的能力、素養(yǎng)等,才能真正落實(shí)《課標(biāo)》的要求。

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