非圓齒輪齒廓曲線設(shè)計的力臂函數(shù)法

程 金 石， 孔 祥 沅

( 大連工業(yè)大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院, 遼寧 大連 116034 )

0 引 言

非圓齒輪是對滾節(jié)曲線不再為圓或圓弧形，而是按給定傳動比變化規(guī)律設(shè)計的一種實現(xiàn)非線性傳動的異形齒輪[1]。它主要在儀器儀表[2-3]和自動裝置[4]中實現(xiàn)特殊的運動和函數(shù)運算[5]，如擺動[6]、分度[7]、變速[8]等。一對非圓齒輪節(jié)曲線的純滾動是靠主動輪齒廓推動與之共軛的從動輪齒廓進(jìn)行的，并且非圓齒輪每個齒的齒廓都不同，因此，針對不同的應(yīng)用場合如何準(zhǔn)確高效地找到更合適的共軛齒廓及其設(shè)計方法尤為重要。非圓齒輪齒廓求解方法主要有解析法、折算齒形法[1]、齒廓的漸屈線法[9]、包絡(luò)加工法和齒廓法線法[10]等。其中求解非圓齒輪共軛齒廓常用的已知條件為加工刀具和共軛齒廓，如可利用齒輪刀[11]或非圓齒輪主動輪做刀具[12]，并結(jié)合凸包算法中的Jarvis步進(jìn)法來優(yōu)化刀具包絡(luò)生成非圓齒輪齒廓的方法[13]。此外，文獻(xiàn)[14-15]提出定嚙合角原理求解非圓齒輪共軛齒廓。Lozzi[16]通過推導(dǎo)橢圓齒輪漸開線齒廓的4種可能的基曲線類型求解橢圓齒輪共軛齒廓。而設(shè)計非圓齒輪共軛齒廓方法是設(shè)定和表達(dá)已知條件的方法。文獻(xiàn)[17-18]基于Roulette理論，通過建立瞬心線、旋輪線和接觸跡之間的數(shù)學(xué)模型來設(shè)計非圓齒輪共軛齒廓。林菁[19]提出構(gòu)造嚙合角函數(shù)直接設(shè)計非圓齒輪齒廓的嚙合角函數(shù)法。文獻(xiàn)[20-21]通過建立任意形式的齒條刀齒廓或嚙合軌跡模型，設(shè)計自由形式非圓齒輪共軛齒廓。

上述方法均以幾何條件作為初始設(shè)計條件，傳動特性被動得到。本研究基于齒廓主動設(shè)計理念，提出一種直接將傳動特性作為設(shè)計條件，通過構(gòu)造傳動特性函數(shù)并幾何化，進(jìn)而求得齒廓曲線。這樣得到的非圓齒輪齒廓曲線既滿足Willis定理，又能實現(xiàn)預(yù)期的傳動特性。

1 齒廓曲線的設(shè)計條件

一對非圓齒輪的傳動過程可以看作是兩條節(jié)曲線相切地做純滾動。此間，至少有一對共軛齒廓處于嚙合狀態(tài)。節(jié)曲線上不同點成為瞬心時，齒廓曲線上有相應(yīng)的點成為嚙合點。因此，齒廓曲線可以看作是節(jié)曲線的伴隨曲線。根據(jù)Willis定理，齒廓曲線可以表示為

(1)

式中：θ為瞬心線上點的相位角，作為運動瞬時參數(shù)；r(θ)和R(θ)分別為瞬心線上和齒廓曲線上對應(yīng)θ瞬時的點；n(θ)為R(θ)的法矢，始終指向R(θ) 外側(cè)；l(θ)為沿n(θ)方向r(θ)到R(θ)的位移。

由式(1)中R(θ)得

R′(θ)=r′(θ)+l′(θ)·n(θ)+l(θ)·n′(θ)

(2)

式(2)代入式(1)R′(θ)得

(3)

式中：θc為齒廓曲線與節(jié)曲線相交時對應(yīng)的運動瞬時參數(shù)?？梢?，l(θ)不是獨立的參數(shù)。在給定節(jié)曲線r(θ)條件下，齒廓曲線R(θ)完全決定于n(θ)，齒廓曲線的設(shè)計條件就是設(shè)計n(θ)函數(shù)。當(dāng)按與r′(θ)的夾角為常數(shù)設(shè)計n(θ)時，即為齒條法；當(dāng)按與r(θ)垂線的夾角α設(shè)計n(θ)時，即為嚙合角函數(shù)法。本文通過反映傳動特性的力臂函數(shù)設(shè)計n(θ)求解齒廓曲線。

2 力臂函數(shù)

如圖1所示，當(dāng)非圓齒輪節(jié)曲線上r(θ)為瞬心時，齒廓上R(θ)為嚙合點。若忽略摩擦，該嚙合點所受接觸力F必沿內(nèi)法線方向，即沿n(θ)的反方向。過回轉(zhuǎn)中心O作n(θ)的垂線，垂足為B，設(shè)O到B的距離為b?？梢钥闯觯琤就是接觸力驅(qū)動齒輪繞O點回轉(zhuǎn)的力臂。顯然，b是θ的函數(shù)，即b=b(θ)。對于具體機構(gòu)，由機構(gòu)負(fù)載條件可以得出驅(qū)動力矩函數(shù)M(θ)。而M(θ)=F(θ)·b(θ)，所以可以通過調(diào)整b(θ)的大小來控制F(θ)，以滿足一定受力準(zhǔn)則。相反，在已知M(θ) 條件下，為獲得按受力準(zhǔn)則確定的F(θ)，b(θ) 必須滿足一定條件，即b(θ)=M(θ)/F(θ)，由此得到b(θ)函數(shù)稱為力臂函數(shù)。由力臂函數(shù)確定的B點的軌跡稱為力臂曲線，記為B(θ)，見圖1。設(shè)B(θ)到r(θ)的轉(zhuǎn)角為α，則有

(4)

式中：|r(θ)|是r(θ)的模。故B(θ)的方程為

B(θ)=b(θ)·e(θ+α)

(5)

式中：e(θ+α)為圓矢量函數(shù)。

對于給定的非圓齒輪機構(gòu)，運動規(guī)律決定了節(jié)曲線形狀，負(fù)載規(guī)律和受力條件決定了力臂曲線形狀。所以，節(jié)曲線可以看作是機構(gòu)運動信息的幾何表征，力臂曲線可以看作是機構(gòu)驅(qū)動信息的幾何表征。通過這兩條曲線設(shè)計的齒廓，既可以滿足運動條件，又可以滿足驅(qū)動條件。

圖1 力臂曲線與齒廓法矢

此外，圖1中的α角和文獻(xiàn)[19]中嚙合角在數(shù)值上完全相等，這給本文設(shè)計齒廓的幾何分析帶來便利。

3 力臂函數(shù)法的原理

齒廓曲線的設(shè)計在本質(zhì)上就是設(shè)計齒廓曲線的外法矢n(θ)。該法矢既要過瞬心r(θ)，又要過力臂端點B(θ)，以實現(xiàn)要求的力臂b(θ)。其方向應(yīng)與嚙合點受力方向相反，即由B(θ)指向r(θ)。所以齒廓外法矢n(θ)為

(6)

式中，B(θ)≠r(θ)。對于非圓齒輪來說，齒廓曲線有左右兩側(cè)之分，嚙合時分別驅(qū)動齒輪逆時針回轉(zhuǎn)(正齒廓)和順時針回轉(zhuǎn)(負(fù)齒廓)。針對具體齒輪的不同回轉(zhuǎn)方向，力臂函數(shù)可根據(jù)負(fù)載條件和力學(xué)準(zhǔn)則設(shè)計為相同函數(shù)或不同函數(shù)。力臂函數(shù)確定之后，對于正齒廓曲線，力臂曲線方程B(θ)可由公式(5)得出；而對于負(fù)齒廓曲線，力臂曲線方程則變?yōu)?/p>

B(θ)=b(θ)·e(θ-α)

(7)

在已知節(jié)曲線條件下，運用力臂函數(shù)及力臂曲線，確定齒廓曲線法矢n(θ)，進(jìn)而得到齒廓曲線的方法稱為齒廓曲線設(shè)計的力臂函數(shù)法。

力臂函數(shù)法設(shè)計齒廓曲線的優(yōu)點在于所有同側(cè)齒廓的設(shè)計基于一個力臂函數(shù)，而這個力臂函數(shù)的得出是基于一定的接觸力條件和接觸強度準(zhǔn)則等傳動特性。故所得齒廓可使非圓齒輪副傳動時能實現(xiàn)預(yù)期的傳動特性，達(dá)到提高接觸強度、降低振動和噪音等目的。而基于單個齒廓的設(shè)計方法，由于節(jié)曲線的非圓特性及齒廓的離散特性，不同齒廓的力臂曲線可能不同。這將導(dǎo)致不同齒廓嚙合時驅(qū)動力臂跳躍式變化，進(jìn)而導(dǎo)致接觸力突變，由此帶來振動沖擊、噪音等不利影響。

4 齒廓曲線的等距特性

在公式(3)中，當(dāng)θ=θc時，l(θ)=0，此時R(θ)=r(θ)，即齒廓曲線上的點R(θc)與節(jié)曲線上的對應(yīng)點r(θc)重合。在給定節(jié)曲線和力臂曲線條件下，θc取不同值時，由公式(3)及公式(1)將得到不同的齒廓曲線，這些齒廓曲線分別與節(jié)曲線交于不同的r(θc)點，這些交點稱為節(jié)曲線的分齒點。可見，過節(jié)曲線上不同的分齒點可以得到不同的齒廓曲線，可以用分齒點的位置參數(shù)θc表征齒廓曲線。

設(shè)同一對節(jié)曲線和力臂曲線條件下，有兩條齒廓曲線R1(θ)和R2(θ)，見圖2。由于在同一坐標(biāo)系下，不同齒廓曲線對應(yīng)同一θ的r(θ)和n(θ) 均相同，所以這兩條齒廓曲線的方程為

(8)

(9)

由式(8)、式(9)得

(10)

令

(11)

則對于給定的兩條齒廓曲線l21為常數(shù)。于是有

R2(θ)=r(θ)+l2(θ)·n(θ)=

r(θ)+[l21+l1(θ)]·n(θ)=

R1(θ)+l21·n(θ)

(12)

由于n(θ)為R1(θ)的法矢且l21為常數(shù)，所以公式(12)表明，R2(θ)為R1(θ)的等距曲線?？紤]到θc1和θc2的一般性，可以得出結(jié)論：在給定節(jié)曲線和力臂曲線條件下，過節(jié)曲線上不同分齒點的齒廓曲線均為等距曲線。此結(jié)論的重要意義在于：利用一條整周期的齒廓曲線即可描述所有同側(cè)齒廓的幾何信息，這給非圓齒輪的齒廓設(shè)計和分析帶來極大便利，也是本文所述齒廓設(shè)計方法的另一個優(yōu)點。

整周期齒廓曲線的起點應(yīng)位于力臂曲線，假設(shè)此時對應(yīng)的參數(shù)為θ0。對于正齒廓曲線，轉(zhuǎn)角以逆時針為正，θ0小于θc且滿足

(13)

此時，由公式(1)、(3)、(6)有：R(θ0)=B(θ0)。整周期齒廓曲線終點對應(yīng)的參數(shù)為

θ1=θ0+2π

(14)

對于負(fù)齒廓曲線，轉(zhuǎn)角以順時針為正，公式(13)及(14)仍然成立。

圖2 齒廓曲線的等距性

5 設(shè)計步驟及實例

5.1 設(shè)計步驟

基于力臂函數(shù)法原理及齒廓曲線的等距特性，非圓齒輪齒廓設(shè)計步驟如下：

(1)由機構(gòu)運動規(guī)律求出節(jié)曲線r(θ)；

(2)確定節(jié)曲線上各分齒點位置θci；

(3)由負(fù)載條件和受力準(zhǔn)則求出力臂函數(shù)b(θ) 及力臂曲線B(θ)；

(4)由式(6)確定齒廓法矢n(θ)；

(5)由式(3)及式(1)求出過分齒點θc1的整周期齒廓曲線R1(θ)；

(6)利用等距特性由公式(11)、(12)求出過其他分齒點的齒廓曲線R2(θ)；

(7)以齒頂曲線和齒根曲線截取各齒廓曲線，并作出過渡曲線。

至此，非圓齒輪的一側(cè)齒廓設(shè)計完成，另一側(cè)齒廓設(shè)計亦按同樣步驟。與之嚙合的另一個非圓齒輪的齒廓則可按齒廓法線法直接求得，無須單獨設(shè)計。

5.2 計算實例

以橢圓節(jié)曲線齒輪為例，取其幾何中心為齒輪回轉(zhuǎn)中心，橢圓參數(shù)：半長軸a=28，偏心率e=0.6。力臂曲線為圓心與橢圓中心重合的圓，圓半徑為20，即力臂函數(shù)b(θ)=20。利用Matlab編程得到的完整齒廓曲線，如圖3所示。圖中V1為正轉(zhuǎn)齒廓曲線，V2為反轉(zhuǎn)齒廓曲線。

圖3 正轉(zhuǎn)及反轉(zhuǎn)完整齒廓曲線

設(shè)齒輪齒數(shù)z=17，按等極角方式分齒(即各相鄰分齒點弧段對齒輪中心的張角相等)，齒頂高為1.4，齒根高為1.5，得到的各齒廓曲線如圖4所示。圖中所有正轉(zhuǎn)齒廓均為圖3中V1的等距曲線，可在該曲線上截取并作等距線得到。同樣，所有反轉(zhuǎn)齒廓均可由圖3中V2上截取并作等距線得到。

圖4 同側(cè)齒廓曲線的等距性

需要說明的是，本算例只是表明利用力臂函數(shù)法生成齒廓曲線的可行性，具體參數(shù)的合理性及優(yōu)化求解有待后續(xù)研究。

6 結(jié) 論

在給定運動規(guī)律(或節(jié)曲線)條件下，齒廓曲線完全決定于其法矢n(θ)，設(shè)計齒廓曲線就是設(shè)計其法矢n(θ)。反映負(fù)載條件和受力準(zhǔn)則的力臂函數(shù)可以作為齒廓曲線法矢設(shè)計的有效工具，它建立了齒廓幾何特征和運動副傳動特性的聯(lián)系。選取合適的力臂函數(shù)后，基于本文方法得到的同側(cè)齒廓互為等距曲線，一條整周期的齒廓曲線可反映所有同側(cè)齒廓的幾何信息，給非圓齒輪的齒廓設(shè)計和分析帶來很大便利。

按力臂函數(shù)法所設(shè)計的非圓齒輪齒廓不是以齒條齒廓為必要幾何條件，故齒條類刀具的滾齒或插齒不是其通用加工方法。對于直齒非圓齒輪，線切割是其有效加工手段。若需進(jìn)一步精加工，可在工作臺具有兩個移動坐標(biāo)和一個回轉(zhuǎn)坐標(biāo)的數(shù)控機床上采用蝶形砂輪端面磨削完成。而對于斜齒非圓齒輪的加工則需進(jìn)行后續(xù)研究和探討。

[1] 李福生.非圓齒輪[M].北京:機械工業(yè)出版,1975.

[2] 丁凡,鄧民勝,劉碩,等.耐高壓雙向橢圓齒輪微小流量計研究[J].農(nóng)業(yè)機械學(xué)報,2015,46(6):327-333.

[3] 劉大偉,任廷志,金昕.空間非圓齒輪雙側(cè)同步驅(qū)動板坯結(jié)晶器非正弦振動的研究[J].中國機械工程,2015,26(17):2325-2329.

[4] BENDEFY A G, PIROS A, HORK P. Arbitrary vehicle steering characteristics with changing ratio rack and pinion transmission[J]. Advances in Mechanical Engineering, 2015, 7(12): 1-12.

[5] LITVIN F L, GONZALEZ P I , FUENTES A, et al. Design and investigation of gear drives with non-circular gears applied for speed variation and generation of functions[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2008, 197(45/46/47/48): 3783-3802.

[6] TERADA H, ZHU Y, SUZUKI M, et al. Development of a knee motion assist mechanism for wearable robot with a non-circular gear and grooved cams[C]//Mechanisms, Transmissions and Applications. Dordrecht: Springer, 2012: 69-76.

[7] ZHENG F Y, HUA L, HAN X H, et al. Synthesis of indexing mechanisms with non-circular gears[J]. Mechanism and Machine Theory, 2016, 105: 108-128.

[8] 賈巨民,高波,索文莉,等.越野汽車新型變速比差速器的研究[J].中國機械工程,2012(23):2844-2847.

[9] WU L I, CHANG S L. The base curves and tooth profiles of involute elliptical gears[J]. Journal of the Chinese Society of Mechanical Engineers, 1995, 16(2): 133-140.

[10] 童婷,鄭方炎,孫科,等.基于齒廓法線的非圓齒輪齒廓數(shù)值算法[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(交通科學(xué)與工程版),2013(3):652-654.

[11] 史勇,王生澤.非圓齒輪齒廓數(shù)值算法研究[J].機械科學(xué)與技術(shù),2013,32(8):1130-1133.

[12] 俞高紅,虞佳萍,童俊華,等.一種共軛凹凸型非圓齒機構(gòu)的設(shè)計[J].中國機械工程,2016,27(16):2155-2165.

[13] LI B T, HU J Q, CHEN D F, et al. Numerical algorithm of noncircular gear’s tooth profile based on jarvis march[C]//HCC 2016 Revised Selected Papers of the Second International Conference on Human Centered Computing. Colombo: Springer, 2016: 689-694.

[14] 曹利新,吳宏基,劉健.變速比定嚙合角齒輪副嚙合原理[J].大連理工大學(xué)學(xué)報,2000,40(1):89-93.

[15] DANIELI G A, MUNDO D. New developments in variable radius gears using constant pressure angle teeth[J]. Machanism and Machine Theory, 2005, 40(2): 203-217.

[16] LOZZI A. Non-circular gears-graphic generation of involutes and base outlines[J]. Journal of Mechanical Engineering Science, 2000, 214(3): 411-422.

[17] HORIUCHI Y. On the gear theory suggested by Leibnits[J]. Bulletin of the Japan Society of Precision Engineer, 1989, 23(2): 146-151.

[18] 崔希烈.非圓齒輪齒廓分析(一)[J].機械傳動,1985,9(6):18-21.

[19] 林菁.共軛曲線嚙合角函數(shù)理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

[20] DONG H M, TING K L, YU B W, et al. Differential contact path and conjugate properties of planar gearing transmission[J]. Journal of Mechanical Design, 2012, 134(6): 061010.

[21] YU B W, TING K L. Free-form conjugation modeling and gear tooth profile design[J]. Journal of Mechanisms and Robotics, 2013, 5(1): 011001.