現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中的積分中值定理應(yīng)該強(qiáng)化

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(天津冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300400)

在文獻(xiàn)(6)中，本文作者簡論了高等數(shù)學(xué)(微積分、數(shù)學(xué)分析)教材改革的必要性和原則，下面談?wù)勎覀儗?duì)積分中值定理所作的研究。

眾所周知，積分中值定理在解決原函數(shù)不易求的積分和處理抽象函數(shù)的積分以及進(jìn)行理論探討時(shí)是十分重要的。

現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)(微積分、數(shù)學(xué)分析)教材中，關(guān)于積分中值定理都是如下敘述的：

這樣敘述的積分中值定理不僅與微分中值定理不統(tǒng)一(ξ的存在區(qū)間)，而且用這樣敘述的積分中值定理解答某些題目時(shí)，還會(huì)增加不小的難度(參見例1—例3)。因此應(yīng)該將現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)(微積分、數(shù)學(xué)分析)教材中的積分中值定理加強(qiáng)為：

在文獻(xiàn)(2)中，作為一個(gè)例題，利用牛頓——萊布尼茲公式證明了強(qiáng)化的積分中值定理。但是，在現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)(微積分、數(shù)學(xué)分析)教材中，關(guān)于牛頓——萊布尼茲公式的證明都用了微積分基本定理(原函數(shù)存在定理)，而現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)(微積分、數(shù)學(xué)分析)教材中，微積分基本定理的證明又都用了積分中值定理，這就有循環(huán)論證之嫌。

下面不用微積分基本定理而直接證明強(qiáng)化的積分中值定理。與此同時(shí)，將現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)(微積分、數(shù)學(xué)分析)教材中的定積分的保號(hào)性、定積分比較定理、定積分的估值不等式都予以了強(qiáng)化。強(qiáng)化的定積分的保號(hào)性、定積分比較定理、定積分的估值不等式表明了，現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)(微積分、數(shù)學(xué)分析)教材中的定積分的保號(hào)性、定積分比較定理、定積分的估值不等式中的等號(hào)在什么情形下可以去掉，這對(duì)于某些題目的解答是方便的。

在下面的討論中，如無特殊說明，假定所遇到的函數(shù)、在閉區(qū)間上是可積的。下面出現(xiàn)的定理或推論只證明現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)(微積分、數(shù)學(xué)分析)教材沒有的。

定理1 若在閉區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)0，則f(x)dx0。

推論1 若在閉區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)g(x)，則f(x)dxg(x)dx。

推論2 若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)0，且f(x)不恒等于0，則f(x)dx>0。

證因?yàn)樵陂]區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)不恒等于0，所以至少存在一點(diǎn)x0∈[a,b]，使f(x0)>0。

定理1和推論2稱為定積分的保號(hào)性。

推論3 若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)g(x)，且f(x)不恒等于g(x)，則f(x)dx>g(x)dx.

證因?yàn)樵陂]區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)g(x)，且f(x)不恒等于g(x)，所以在閉區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)-g(x)0，且f(x)-g(x)不恒等于0，進(jìn)而由推論2得[f(x)-g(x)]dx>0，從而有f(x)dx-g(x)dx>0，移項(xiàng)得f(x)dx>g(x)dx.

推論1和推論3稱為定積分比較定理。

其中m和M分別是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最小值和最大值。

證因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，所以由最值定理知，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有最小值m和最大值M，且m?f(x)?M(x∈[a.b])。

式(1)和式(2)稱為定積分的估值不等式。它表明當(dāng)定積分不能用或不宜用牛頓——萊布尼茨公式求其值時(shí)，可以用被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值來估計(jì)該定積分的值。

證因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，所以由最值定理知，存在x1,x2∈[a,b]使f(x1)=m、f(x2)=M分別是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，且m?f(x)?M(x∈[a,b]).

若M-m>0，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上不恒為常數(shù)，由介值定理知在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)θ，使m

需要指出的是：除了按上面的途徑證明強(qiáng)化的積分中值定理外，還可以按下面的兩條途徑之一證明強(qiáng)化的積分中值定理(參見文獻(xiàn)(5))。

途徑一：先用定積分定義和拉格朗日中值定理證明牛頓—萊布尼茨公式，再用牛頓—萊布尼茨公式強(qiáng)化的積分中值定理。

途徑二：先用導(dǎo)數(shù)定義和極限定義(ε-δ)證明微積分基本定理(原函數(shù)存在定理)，再用微積分基本定理證明牛頓—萊布尼茨公式，最后用牛頓—萊布尼茨公式強(qiáng)化的積分中值定理。

下面說明微分中值定理(拉格朗日中值定理)與積分中值定理的聯(lián)系：

因?yàn)楹瘮?shù)F(x)在閉區(qū)間[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以由拉格朗日中值定理，知至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使F(b)-F(a)=F′(ξ)(b-a)=f(ξ)(b-a).

綜上，可以看出微分中值定理(拉格朗日中值定理)與積分中值定理的聯(lián)系：對(duì)函數(shù)F(x)而言，它們是同一事物的不同表現(xiàn).牛頓——萊布尼茨公式在微分與積分之間起了一種橋梁的作用，將微分與積分溝通了，使微分與積分成為一個(gè)有機(jī)的整體，因此牛頓——萊布尼茨公式被稱為微積分基本公式。

與拉格朗日中值定理一樣，在積分中值定理中，一般不知道ξ的確切位置，而僅知道ξ的存在性(ξ∈(a,b))，對(duì)ξ的確切位置未作任何斷言。ξ一般與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)。

當(dāng)極限變量n出現(xiàn)在被積函數(shù)中時(shí)，隨著n的不同，被積函數(shù)也不同，進(jìn)而ξ在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的位置也不同，從而ξ是n的函數(shù)，ξ應(yīng)該記為ξ(n)。

顯然文獻(xiàn)(3)中所給出的正確解法比用強(qiáng)化的積分中值定理的解法，不僅所用的知識(shí)點(diǎn)多，而且計(jì)算量大。

以上解法在文獻(xiàn)(4)中被認(rèn)為是錯(cuò)誤的。文獻(xiàn)(4)中所給出的錯(cuò)誤理由是：記錯(cuò)了積分中值定理，積分中值定理中的ξ可以取積分上限、下限處的值。本題的ξ∈[0，1]，在沒有證明ξ≠0的情況下，本題取極限所推出的結(jié)果是不可信的，并給出下面的正確解法。

顯然文獻(xiàn)(4)中所給出的正確解法不僅所用的知識(shí)點(diǎn)多，而且計(jì)算量大，比用強(qiáng)化的積分中值定理的解法既繁且難。

例3 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f′(x)>0。證明在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在唯一的ξ，使曲線y=f(x)與兩直線y=f(ξ)、x=a所圍成的平面圖形的面積S1是曲線y=f(x)與兩直線y=f(ξ)、x=a所圍成的平面圖形的面積S1是曲線y=f(x)與兩直線y=f(ξ)、x=b所圍成的平面圖形的面積S2的3倍。

這是一道全國統(tǒng)考的考研題，原解答如下：

證在閉區(qū)間上任取一點(diǎn)t，則

其中用了，由f′(x)>0知函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增加，進(jìn)而有f(ξ1)>f(a)以及傳統(tǒng)的積分中值定理。

其中用了，由f′(x)>0知函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增加，進(jìn)而有f(b)>f(ξ2)以及傳統(tǒng)的積分中值定理。

由零點(diǎn)定理知，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使F(ξ)=0，即S1=3S2。

再證ξ的唯一性。

F′(t)=f′(t)[(t-a)+3(b-t)]>0，因此函數(shù)F(t)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加，進(jìn)而在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至多存在一點(diǎn)ξ，使F(ξ)=0，即S1=3S2。

綜上，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在唯一的ξ，使F(ξ)=0，即S1=3S2。

顯然原解答中存在性的證明不僅所用的知識(shí)點(diǎn)多，而且技巧性高。下面用強(qiáng)化的積分中值定理和強(qiáng)化的定積分的保號(hào)性給出兩個(gè)既簡且易的證法。

其中用了，由f′(x)>0知函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增加，進(jìn)而有f(ξ1)>f(a)以及強(qiáng)化的積分中值定理。

其中用了，由f′(x)>0知函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增加，進(jìn)而有f(b)>f(ξ2)以及強(qiáng)化的積分中值定理。

由零點(diǎn)定理知，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使F(ξ)=0，即S1=3S2。

由f′(x)>0知函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增加，進(jìn)而有f(x)f(a)且f(x)-f(a)不恒等于0，進(jìn)而由強(qiáng)化的定積分的保號(hào)性知F(a)=-3[f(x)-f(a)]dx<0。

由f′(x)>0知函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)增加，進(jìn)而有f(b)f(x)且f(b)-f(x)不恒等于0，進(jìn)而由強(qiáng)化的定積分的保號(hào)性知F(b)=-3[f(b)-f(x)]dx<0。

由零點(diǎn)定理知，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使F(ξ)=0，即S1=3S2。

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