基于主成分分析法的地磁導(dǎo)航適配區(qū)域選擇

黃婧麗，譚學(xué)者，張翔宇

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001）

地磁導(dǎo)航通常間斷使用，這是因為地磁場是一種位場，會有較大面積特征相似部分，如果采用全局遍歷的搜索確定位置可能有不止一個解，容易產(chǎn)生虛假定位，并且浪費時間。所以，通常地磁導(dǎo)航只在特定區(qū)域內(nèi)使用，而使用區(qū)域稱適配區(qū)。適配區(qū)[1-2]的性能稱為適配性。適配性體現(xiàn)該區(qū)域提供導(dǎo)航信息能力的一種性質(zhì)[1，3]。適配性較優(yōu)的區(qū)域應(yīng)該具有包含信息豐富、特征明顯、定位準(zhǔn)確、精度高的特點。由于地磁導(dǎo)航具有間斷性，不同區(qū)域的導(dǎo)航效果是不同的，因而應(yīng)該選擇具有良好適配性的區(qū)域再進行工作。

文獻(xiàn)[2]從隨機場理論和數(shù)理統(tǒng)計的角度出發(fā)，把粗糙度、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)距離、熵等概念應(yīng)用到數(shù)字地磁圖，作為度量地磁圖特征的指標(biāo)，經(jīng)過多次匹配總結(jié)出了地磁圖適配區(qū)域選取經(jīng)驗準(zhǔn)則。但沒有提出如何在已知的地磁場區(qū)域內(nèi)建立快速、智能化的區(qū)域選擇準(zhǔn)則。隨后，劉玉霞等人在文獻(xiàn)[3]中建立了投影尋蹤地磁匹配區(qū)域選取模型，利用遺傳算法求解最優(yōu)方向，給出區(qū)域總體評價指數(shù)。文獻(xiàn)[4]給出了一種基于免疫粒子群優(yōu)化算法的地磁適配區(qū)域選取方法，將地磁適配區(qū)域的選擇看作一個組合優(yōu)化問題，通過一定的搜索策略和粒子編碼，在地磁圖中實現(xiàn)空間連續(xù)分布、大小一定的適配區(qū)域選擇。文獻(xiàn)[5]采用了支持向量機的地磁適配區(qū)選取方法，通過選取合適的核函數(shù)和核函數(shù)參數(shù)，實現(xiàn)匹配區(qū)域和非匹配區(qū)域的正確分類。仿真結(jié)果顯示，文獻(xiàn)[3-5]所用的方法都在一定程度上提高了地磁導(dǎo)航精度。

總體來講，在適配區(qū)的選擇上，大多是靠為人為經(jīng)驗和多次試驗，并沒有一個通用的方法。本文針對這個問題，借助數(shù)理統(tǒng)計和信息論中的概念，使用多個特征指標(biāo)分析區(qū)域內(nèi)地磁場分布特點。然后提出一種通用性較強，能夠綜合分析這些指標(biāo)，定量衡量地磁場信息量的方法，以選擇適配區(qū)。

為分析地磁場分布，首先應(yīng)該盡量多地選用特征指標(biāo)，特征指標(biāo)越多，越能反應(yīng)地磁場的特點，分析的越全面。但是，由于指標(biāo)是人為選取的，有一定的主觀性，多個指標(biāo)之間可能并不獨立，存在相關(guān)性。這樣，既增加了問題的復(fù)雜性，而且最終結(jié)果可能因為描述某一特征的相關(guān)指標(biāo)過多而夸大這個特征的作用。因此，希望找到一種方法，剔除人為因素，盡量找出不相關(guān)指標(biāo)，客觀地、定量地描述地磁場信息量。本文就該問題提出了基于主成分分析法的解決方案。

1 適配區(qū)評價指標(biāo)的設(shè)定

由于地殼異常場[6-8]空間上變化明顯，時間上變化極小，適用于導(dǎo)航，所以在討論適配區(qū)的地磁場信息量特點時，主要考查的是異常場。為研究地磁場的特點，本文借用了隨機場和信息論中的相關(guān)概念作為特征指標(biāo)。

設(shè)某一導(dǎo)航區(qū)域Ω的地殼異常場強度值集合是V={Fi,j}，其中，F(xiàn)i,j是網(wǎng)格坐標(biāo)(i,j)處的地磁場強度值，(i,j)代表一組經(jīng)緯度地理坐標(biāo)(?,λ)，(i,j)∈U，U={(i,j)|1≤i≤m,1≤j≤n}，(m,n)代表特征區(qū)域 Ω 的大小。

1.1 數(shù)據(jù)極差

地磁場強度極差反映了磁異常的強度落差，差值越大的區(qū)域越有利于導(dǎo)航?？梢远x為：

式（1）中，F(xiàn)i,j（1≤i≤m，1≤j≤n）為網(wǎng)格點(i,j)處的磁異常強度。

1.2 標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差主要反映的是整個區(qū)域地磁場總體起伏的劇烈程度以及離散程度，它是描繪地磁場宏觀起伏特征的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差越小表示地磁場強度曲面越平坦，越不適合導(dǎo)航，標(biāo)準(zhǔn)差越大，地磁場強度變化越明顯，更容易實現(xiàn)導(dǎo)航。標(biāo)準(zhǔn)差σ可以定義為：

1.3 平均粗糙度

平均粗糙度是單位平面上磁場強度形成表面積大小的度量。它描繪了磁場強度表面細(xì)微的局部變化。緯度和經(jīng)度方向上的絕對粗糙度定義為：

平均粗糙度定義為：

1.4 地磁熵

地磁熵最早是應(yīng)用于熱力學(xué)中，后來經(jīng)過香農(nóng)的發(fā)展，成為了現(xiàn)代信息論的基本概念。地磁導(dǎo)航通常在磁場信息豐富的區(qū)域進行，地磁信息豐富與否可以用地磁熵來衡量[9]。本文中用地磁熵度量導(dǎo)航區(qū)域內(nèi)的磁場信息量。地磁熵的定義為：

式（7）、（8）中：Hf為地磁熵；prok為某一個地磁場強度值出現(xiàn)的概率；nk為磁場強度值在第k級區(qū)間里的磁場強度值數(shù)目。

計算的時候，先將導(dǎo)航區(qū)域內(nèi)的磁場強度值進行M級量化。很明顯，地磁熵的大小和量化級數(shù)目相關(guān)，量化級數(shù)目越大，地磁熵也就越大。為了消除量化級對地磁熵的影響，而只體現(xiàn)導(dǎo)航區(qū)域地磁場信息量的大小，應(yīng)該統(tǒng)一選取合適的量化級。在實際使用中，量化級數(shù)應(yīng)該與地磁場數(shù)值個數(shù)N相匹配，一般用經(jīng)驗法則確定：M=1+3.32lgN。同樣，為了避免不同導(dǎo)航區(qū)大小不同帶來的地磁熵變換，常常將以上的地磁熵單位化，方法是：

地磁熵反映了該地區(qū)地磁場含有信息量的大小，因此，可以用它來描述地磁場的性質(zhì)。地磁場強度越大，信息量越豐富，地磁熵也越小。同時，由于它對噪聲不敏感，可以起到剔去異常點的作用。

2 基于主成分分析法的適配區(qū)選擇算法

在研究地磁場性能的分析中，為了更完備地描述系統(tǒng)，分析人員往往會盡可能周到地選取有關(guān)指標(biāo)。但是，許多指標(biāo)都有同步增長趨勢，其中很多是相關(guān)的。變量的多重相關(guān)性意味著夸大某些特征在系統(tǒng)分析中的地位，這樣會使提供的整體信息發(fā)生重疊，不易得出簡明規(guī)律，以致影響分析的客觀性，妨礙決策者的正確判斷。

主成分分析[10-13]是研究如何把多指標(biāo)問題轉(zhuǎn)化成較少的綜合指標(biāo)問題。綜合指標(biāo)是原來多個指標(biāo)的線性組合，雖然這些線性綜合指標(biāo)是不能直接觀測到的，但這些綜合指標(biāo)間互不相關(guān)，又能反映原來多指標(biāo)的信息[9]。

2.1 主成分分析法

如果用per1,per2,…,perp表示描述地磁場強度信息量的p個指標(biāo)，weg1,weg2,…,wegp表示各個指標(biāo)的權(quán)重，那么加權(quán)之和是

希望適當(dāng)?shù)剡x擇權(quán)重能更好地區(qū)分不同地區(qū)地磁場的信息量，每塊地區(qū)都對應(yīng)一個這樣的綜合指標(biāo)值，記為sm1,sm2,…,sml，l為需要討論的區(qū)域塊數(shù)。如果這些值很分散，就表明區(qū)分的很好，就是說，需要尋找這樣的加權(quán)，能使sm1,sm2,…,sml盡量分散。它的統(tǒng)計定義是：

設(shè) Per1,Per2,…,Perp表示以 per1,per2,…,perp為樣本觀測值的隨機變量，如果能找到weg1,weg2,…,wegp，使得

的值達(dá)到最大，則由于方差反映了數(shù)據(jù)的差異程度，也就表明找到了p個變量的最大變異。通常，

在此約束下，求式（11）的最優(yōu)解。這個解是p維空間的一個單位向量，它代表一個“方向”，就是主成分方向。

2.2 適配區(qū)選擇算法

根據(jù)主成分分析法的基本原理，綜合各個指標(biāo)的具體過程如下。

Step 1：對原始數(shù)據(jù)進行預(yù)處理。

首先，進行數(shù)據(jù)的歸一化[14]處理。為了消除數(shù)據(jù)量綱[15]不同對指標(biāo)計算值的影響，必須對數(shù)據(jù)進行歸一化處理。歸一化公式主要有以下2種。

一種是效益型指標(biāo)。各個分量的數(shù)據(jù)極性越大越好，通常選用最小極差變化公式，計算公式為：

式（13）中：i=1,2,…,l，j=1,2,…,p；l表示待分析的地磁場區(qū)域塊數(shù)；p為指標(biāo)個數(shù)。

另一種是成本型指標(biāo)。對于越小越好的指標(biāo)在本文中轉(zhuǎn)化成越大越好，計算公式選用最大極差規(guī)范化變換公式：

然后，進行數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理。將歸一化處理后的各指標(biāo)值per′ij轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)，有：

μj、sj為第j個指標(biāo)的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。對應(yīng)地稱

為標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)變量。

Step 2：計算相關(guān)系數(shù)矩陣R。

相關(guān)系數(shù)矩陣R=(rij)p×p，有

式（19）中：當(dāng)i=j時，rii=1，rij=rji，rij是第i個指標(biāo)與第j個指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)。

Step 3：計算特征值和特征向量。

計算相關(guān)系數(shù)矩陣R的特征值λ1≥λ2≥…≥λp≥0及對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量u1，u2，…，up，其中，uj=[u1j,u2j,…,upj]T，由特征向量組成p個新的指標(biāo)變量：

式（20）中：y1是第1個主成分；y2是第2個主成分；yp是第p個主成分。

Step 4：選擇p′（p′≤p）個主成分，計算綜合評價值。

首先，計算特征值λj（j=1,2,…,p）的信息貢獻(xiàn)率和累計貢獻(xiàn)率。稱

為主成分yj的信息貢獻(xiàn)率。同時，有

為主成分y1,y2,…,yp′的累計貢獻(xiàn)率。當(dāng)αp′接近于1(αp′=0.85,0.90,0.95)時，選擇前p′個指標(biāo)變量y1,y2,…,yp′作為p′個主成分，代替原來的p個指標(biāo)變量，從而可以對p′個主成分進行綜合分析。

然后，計算綜合得分：

式（23）中，bj為第j個主成分的信息貢獻(xiàn)率，根據(jù)綜合得分值就可以進行評價，得分越高的區(qū)域適配性越好。

3 仿真驗證

為了分析算法的有效性，首先，選定某地區(qū)6塊區(qū)域地殼異常場強度基準(zhǔn)圖，根據(jù)上文方法分析其適配性，選出導(dǎo)航性能好的區(qū)域；然后，建立INS/GNS組合導(dǎo)航系統(tǒng)，分別在這6塊區(qū)域上進行導(dǎo)航定位仿真實驗，以驗證選擇的導(dǎo)航性能好的區(qū)域是否和定位仿真實驗結(jié)論一致。

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

選取某地區(qū)6塊區(qū)域地殼異常場強度基準(zhǔn)圖，網(wǎng)格大小為200×200，網(wǎng)格間距為50 m。利用6塊地磁基準(zhǔn)圖分別計算上文中設(shè)定的4種指標(biāo)值。然后，根據(jù)主成分分析法，計算綜合指標(biāo)值。

根據(jù)文獻(xiàn)[16]建立的INS/GNS組合導(dǎo)航系統(tǒng)分別在這6塊區(qū)域上進行導(dǎo)航定位仿真實驗。

濾波算法采用標(biāo)準(zhǔn)UKF[17-19]，假設(shè)飛行器勻速直線運行，加速度計的常值零偏為1×10-4g，隨機漂移為服從N(0,(10-2g)2)的高斯白噪聲，陀螺常值漂移為0.01(°)/h ，3個陀螺隨機漂移均取，相關(guān)時間為1 h的一階馬爾可夫過程，系統(tǒng)初始狀態(tài)0=0，初始方差陣為狀態(tài)可能達(dá)到的誤差平方，系統(tǒng)噪聲方差陣為，其相關(guān)時間βx=βy=βz=1/3 600 s，測量噪聲方差陣的初值為R0=(50 nT)2，采樣間隔步長為1 s。

定義INS/GNS組合導(dǎo)航定位的均方根誤差為：

式（25）中：為載體在第i個點的真實坐標(biāo)與組合導(dǎo)航估計值之差；N為組合導(dǎo)航定位點個數(shù)。

err可以從整體上反映INS/GNS組合導(dǎo)航定位的估計位置與載體真實位置的離散程度。

3.2 仿真結(jié)果分析

利用6塊地磁基準(zhǔn)圖分別計算上文中設(shè)定的4種指標(biāo)值，得出的結(jié)果見表1。其中，計算數(shù)據(jù)經(jīng)過了歸一化和標(biāo)準(zhǔn)化的預(yù)處理。

表1 單一指標(biāo)計算值Tab.1 Value of single indicator

從表1中可以看出，對于均方根誤差、標(biāo)準(zhǔn)差、平均絕對粗糙度、地磁熵4個指標(biāo)，4號區(qū)域得分最高。而對于數(shù)據(jù)極差6號區(qū)域得分最高。初步判斷，4號區(qū)域地磁場信息信息量相對較豐富。而對于6號區(qū)域，雖然后4個指標(biāo)均僅次于4號區(qū)域，但是由于均方根誤差得分值非常小，很難判斷6號區(qū)域信息量在6塊區(qū)域中排名情況。因此，雖然單一指標(biāo)一定程度上可以反映地磁場信息情況，但是由于各個指標(biāo)反映的側(cè)重點不同，所以很難給出一個定量的評價。而本文設(shè)計的方法就是要解決該問題。根據(jù)主成分分析法，計算綜合指標(biāo)值，得出的結(jié)果見表2。

表2 綜合指標(biāo)值Tab.2 Composite indicator values

由主成分分析法，定量地得到了6塊區(qū)域的綜合指標(biāo)值。從表2中可以很清晰地看出，第4塊區(qū)域所含地磁場信息最豐富，第5塊區(qū)域最少，因此地磁輔助導(dǎo)航應(yīng)該盡量選在第4塊區(qū)域中進行。

為了驗證算法的有效性，進行導(dǎo)航定位仿真實驗。根據(jù)導(dǎo)航定位仿真實驗設(shè)定的環(huán)境，得到仿真結(jié)果如圖1～6所示。

圖1 1號區(qū)域組合定位結(jié)果Fig.1 Positioning results in area 1

圖2 2號區(qū)域組合定位結(jié)果Fig.2 Positioning results in area 2

圖3 3號區(qū)域組合定位結(jié)果Fig.3 Positioning results in area 3

圖4 4號區(qū)域組合定位結(jié)果Fig.4 Positioning results in area 4

圖5 5號區(qū)域組合定位結(jié)果Fig.5 Positioning results in area 5

圖6 6號區(qū)域組合定位結(jié)果Fig.6 Positioning results in area 6

從以上6幅仿真圖可以看出，在4號區(qū)域系統(tǒng)仿真軌跡非常接近真實軌跡，定位精度較高。而在5號區(qū)域，仿真軌跡和真實軌跡偏差較大，甚至有發(fā)散的趨勢，定位精度相較其他幾個區(qū)域較差。其他幾個區(qū)域的導(dǎo)航精度也基本與表2中給出的排序吻合，這說明主成分分析法在地磁導(dǎo)航系統(tǒng)適配區(qū)的選取方面有較強的實用性，在人為選取的指標(biāo)具有多重相關(guān)性的情況下，仍然能夠準(zhǔn)確地區(qū)分出地磁場信息量豐富的適配區(qū)。

4 結(jié)論

本文主要解決了地磁導(dǎo)航適配區(qū)的選擇問題。信息量大的適配區(qū)導(dǎo)航效果好。首先，借用信息論和數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)概念，設(shè)定了多個評價地磁場特點的指標(biāo)。然后，為了定量分析地磁場信息量，通過主成分分析法排除了有相關(guān)性的指標(biāo)，選出了最優(yōu)適配區(qū)。仿真結(jié)果顯示，通過主成分分析法選擇的區(qū)域?qū)Ш叫Ч^好。該方法不需要人為經(jīng)驗，可操作性強。

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