基于退化失效閾值可能性分布的可靠性建模

姜偉偉，姜學鵬

（1.91049部隊，山東青島266400；2.海軍航空大學，山東煙臺264001）

基于退化建模的可靠性預測要求用戶預先指定失效閾值，當退化量達到該閾值時，認為部件由于退化失效已經無法達到預期功能。在傳統(tǒng)的退化建模方法中，要求該失效閾值為一個確定的臨界值，而對于大多工程應用受限于試驗條件及經濟成本，可靠性數據有限，失效閾值難以準確確定，故失效閾值通常存在不確定性。這種不確定性目前可歸納為2類[1-2]：偶然不確定性和認識不確定性。偶然不確定性是由外界環(huán)境改變等因素引起的固有不確定性，具有隨機特性。認識不確定性是由于人們缺乏描述或預測系統(tǒng)行為的信息引起的。由于這種不確定性的普遍存在，考慮失效閾值為一個服從某一假設分布的隨機變量更具有現(xiàn)實意義[3-6]。

如果在退化建模中，不確定性能夠被很好地限制和處理，則得到的可靠性估計將更加精確，并具有實際意義，因而如何處理模型不確定性在退化建模研究中已成為一個重要課題[7-8]。目前，學者們運用證據理論[9-11]、區(qū)間分析[12-13]、貝葉斯理論[14-15]、可能性理論[16-17]等各種理論方法對不確定性進行了描述和表征，其中利用可能性理論和模糊數學的相關知識處理可靠性數據不精確性的研究越來越多[18-23]。

可能性理論是與概率論相平行的理論體系，由Zadeh通過將可能性概念與模糊集合緊密聯(lián)系而首次提出[24]。概率論是以事件的隨機性為研究對象，而可能性理論則是針對事件的模糊性和不確定性。可能性理論能夠有效地處理由不確定性因素以及模糊信息所導致的問題[6]，這是概率論無法比擬的。本文試圖利用可能性理論處理退化失效分析中的不確定性，用可能性分布表示與失效閾值有關的認識不確定性，從而較好地處理壽命預測模型中混合不確定性信息。

1 退化失效建模的可能性方法

在可靠性預測建模分析的過程中，如果關于失效機理的知識有限，則很難用概率術語表述它。另外，在專家知識轉化為概率術語環(huán)節(jié)中會在形式化數據中注入不公正的信息。本文通過運用可能性分布來表示與失效閾值有關的認識不確定性，從而在適當考慮所包含不確定性的基礎上，提出一種根據已知退化參數歷史檢測信息來預測產品壽命的方法。

本方法通過反復實施隨機變量的Monte Carlo采樣來處理產品的偶然性行為，并在每次采樣時運用可能性分布分析來處理可能性變量中的認識不確定性。對于偶然性變量的每個實現(xiàn)，此方法獲得可能性隨機分布的計算來表示失效時間（Time to Failure，TTF）。最后，用不同的置信度將可能性隨機分布組合為一組有限累積分布[25]。

1.1 基本假設

假設一個模型的輸出是n個不確定性變量Yj,j=1,2,…,n的函數f(Y)，其中前k個受到偶然不確定性的影響，后n-k個受到認識不確定性的影響，且：

1）概率分布pyj(y)表示k個隨機變量的不確定性（偶然不確定性）；

2）可能性分布πyj(y)（表征語言變量Yj等于y的可能性程度）表示n-k個可能性變量的不確定性（認識不確定性）。

對于包含上述2類不確定性的混合信息，可通過2個核心步驟進行處理[24-25]：

1）通過隨機變量的反復Monte Carlo采樣處理偶然不確定性；

2）通過可能性區(qū)間聚集處理認識不確定性。

1.2 隨機可能性分布的生成

對于偶然性變量的概率分布運用Monte Carlo采樣，獲得k元隨機值數組。然后，對該數組用模糊區(qū)間分析構造f(Y)的可能性分布πif估計。經過對偶然性變量的m次重復采樣后，聯(lián)合可能性集估計（i=1,2,…,m）給出f(Y)的估計作為隨機可能性分布。此過程的具體實現(xiàn)步驟為：

Step 1：采樣概率變量向量(Y1,Y2,…,Yk)的第i個實現(xiàn)。

Step 2：選擇一個可能性值α∈[0,1]，針對可能性分布(πYk+1,πYk+2,…,πYn)獲得其對應的α-截集，并將該截集作為可能性變量(Yk+1,Yk+2,…,Yn)的可能值區(qū)間。

Step 3：對隨機變量(Y1,Y2,…,Yk)的采樣和可能性變量(Yk+1,Yk+2,…,Yn)對應可能性分布(πYk+1,πYk+2,…,πYn)的α-截集，計 算的最小值和最大值。然后，取極值和分別作為的α-截集下限和上限。

Step 4：返回到Step 2，計算下一個可能值對應的α-截集；對所有m個α-截集重復Step 2、3后，獲得f(Y)的模糊隨機實現(xiàn)（模糊區(qū)間）πif作為極值和的選樣，即用它所有的α-截集區(qū)間進行定義。

Step 5：回到Step 1，生成隨機變量的新實現(xiàn)。重復Step 1～Step 4共m次后，退出。

在程序結束時，獲得一組隨機可能性分布的實現(xiàn)，即。

1.3 .可能性區(qū)間聚集

根據Ferson方法[7]，對上述隨機可能性分布中包含的信息進行聚集。具體實現(xiàn)步驟如下。

Step 1：選擇可能性值α，構建其對應可能性分布的α-截集。

Step 2：定義一個新的可能性分布：

Step 3：對于任意集合A=(-∞,u]，分別計算與有關的可能性測度和必然性測度為：

Step 4：對所有i=1,2,…,m，重復步驟Step 1～3，最后計算step1選擇的上限累積分布（）和下限累積分布（）：

上述方法通過α-截集捕獲了偶然可變性和隨機模糊區(qū)間的認識不精確性，并通過最大對累積分布和對隨機可能性分布包含信息進行了聚集化處理。其中，和之間的間隔表示由認識變量引起的不精確性；和的斜率表征偶然不確定性引起的結果的可變性。

2 實例分析

將上述方法在液浮陀螺儀隨機退化壽命預測中進行應用。典型的陀螺儀退化過程始于制造缺陷，在貯存及工作環(huán)境中逐漸退化至危及陀螺儀整體性能的臨界值。

在本例中，使用零偏值X(t)指示影響陀螺儀的退化水平，當退化水平超過某一臨界閾值Df時，認為陀螺儀失效。對于貯存狀態(tài)下的陀螺儀性能退化過程可采用以陀螺儀零偏值X(t)為指標的隨機漂移布朗運動退化模型進行描述[26]：

式（10）中：假設，而η和分別為未知的漂移常數和變異參數；σB為擴散系數；B(t)為標準布朗運動。

設定在時刻tP的退化水平測量值由測量的零偏值x(tP)給出，則分析目標為根據退化水平x(tP)的測量值，預測部件的失效時間（TTF）。根據描述零偏值變化的隨機漂移布朗運動退化模型，TTF是當前時刻tP、退化水平x(tP)和退化閾值Df的函數：

TTF的截止條件為監(jiān)測陀螺儀退化水平的退化值x(t)超過失效閾值Df，即：

對于閾值Df受到有限信息引起的認識不確定性的影響可設定為：當專家認為Df位于0.5和0.7之間的某處時，表示優(yōu)先選擇等于0.6，即其可能性分布π(Df)滿足：

根據Df可能性分布的上述設定，同時考慮計算量大小，選擇三角形可能性分布對π(Df)進行描述，π(Df)及其可能性測度、必然性測度情況如圖1所示。

圖1 三角形可能性分布及其極限累積函數Fig.1 Probability distribution of triangle and limit cumulative function

在本實例中，運用Monte Carlo方法對部件壽命進行了m次（m=104）仿真采樣。然后，對于每個仿真的退化過程，使用第1.2節(jié)給出的方法處理影響Df的認識不確定性，獲得TTF的m個可能性分布。再使用1.3節(jié)給出的方法對可能性分布進行聚集處理，獲得4個仿真退化過程，如圖2所示，其上、下限累積離散分布和為和值的均值。

圖2 退化過程的4個不同實現(xiàn)Fig.2 Four different implementations of the degenerate process

本實例等間距選取了可能性值α=0,0.05,…,1，對應構建了π(Df)的21個α-截集，在這些截集下依次對m個隨機可能性分布應用可能性聚集處理，從而獲得了TTF的21對極限累積分布。圖3描述了0-截集，0.5-截集和1-截集的累積邊界分布。

圖3 0-截集，0.5-截集和1-截集的極限累積分布Fig.3 Limit cumulative distribution of 0-cut，0.5-cut and 1-cut

為了說明結果，有必要選擇π(Df)的一個α-截集。特別地，包含不確定性值Df的確信度為，它等于1-α。在可靠性分析時，如果想要完全確信（即確信度等于1）在不確定性的傳遞中包含Df的正確值，則應該考慮π(Df)的0-截集。在這點上，將認為結果分析為95%分位數，獲得[92 360 102 850]之間的TTF的單側上限取值范圍。否則，如果想要減小由Df的認識不確定性引起的上限不確定性，則應該減小1-α（確信度）。

3 小結

針對缺乏失效機理知識和試驗信息來認識閾值不確定性的情形，本文提出了一種退化失效建模的可能性方法，解決了預測模型中不確定性的表示和傳遞問題。并通過某型陀螺儀依據布朗運動退化模型在時間上隨機退化的壽命預測實例驗證了本文方法的有效性。

本文針對不確定性失效閾值問題所進行的可靠性建模研究是在恒定應力條件下開展的。這對于理想環(huán)境條件或實驗室可控環(huán)境條件下的退化分析是有效的。然而，現(xiàn)實中的產品將不可避免地遭受到隨機應力的影響，故下一步需要對隨機應力下的退化建模和可靠性預測問題展開拓展研究。

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