非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的半負(fù)定矩陣梯度系統(tǒng)表示*

王嘉航，張毅

（1.蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011；2.河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇南京210098）

梯度系統(tǒng)是一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，梯度系統(tǒng)是微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)研究中的重要問(wèn)題[1-3]。如果一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)能夠化成為梯度系統(tǒng)，就可利用梯度系統(tǒng)的特性來(lái)研究力學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)，特別是解的積分和系統(tǒng)的穩(wěn)定性[4]。梅鳳翔等[5-11]研究了 Lagrange系統(tǒng)、Hamilton系統(tǒng)和Birkhoff系統(tǒng)的梯度系統(tǒng)方法和斜梯度系統(tǒng)方法，陳向煒等[12]用具有負(fù)定非對(duì)稱(chēng)矩陣的梯度系統(tǒng)構(gòu)造穩(wěn)定的廣義Birkhoff系統(tǒng)，曹秋鵬等[13-14]利用梯度系統(tǒng)方法研究了一類(lèi)非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔和約束自治廣義Birkhoff系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性，李彥敏等[15]研究了非自治Birkhoff系統(tǒng)的廣義斜梯度表示，陳向煒等[16]研究了廣義Birkhoff系統(tǒng)穩(wěn)定性對(duì)雙參數(shù)的依賴(lài)關(guān)系，張毅等[17-20]研究了一類(lèi)非自治Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示。本文進(jìn)一步研究非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)成為具有半負(fù)定矩陣梯度系統(tǒng)的條件，并利用半負(fù)定矩陣梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來(lái)研究非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 半負(fù)定矩陣的梯度系統(tǒng)

半負(fù)定矩陣梯度系統(tǒng)的微分方程表示為[2]

其中aij（X）為半負(fù)定矩陣，V稱(chēng)為能量函數(shù)。考慮半負(fù)定矩陣aij（X）的性質(zhì)，可得

如果函數(shù)V為L(zhǎng)yapunov函數(shù)，則可以利用Lyapunov定理判斷解的穩(wěn)定性。因此，如果函數(shù)V在解的領(lǐng)域附近是正定的，根據(jù)Lyapunov定理，可知解是穩(wěn)定的。如果函數(shù)V不能成為L(zhǎng)yapunov函數(shù)，在一定條件下，有可能利用Rumyantsev關(guān)于部分變量穩(wěn)定性定理來(lái)研究梯度系統(tǒng)的部分變量穩(wěn)定性。

2 非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示

廣義Birkhoff系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中B＝B（t，a）為Birkhoff函數(shù)，Rμ＝Rμ（t，a）為Birkhoff函數(shù)組，Λν＝Λν（t，a）為附加項(xiàng)。如果Birkhoff函數(shù)B和Birkhoff函數(shù)組Rμ都顯含時(shí)間t，則稱(chēng)系統(tǒng)為非自治的。

假設(shè)系統(tǒng)非奇異，則方程（3）可表示為

一般而言，非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)不是一個(gè)梯度系統(tǒng)。如果能量函數(shù)V滿(mǎn)足條件

顯然這是一個(gè)半負(fù)定矩陣的梯度系統(tǒng)。因此在滿(mǎn)足條件（7）時(shí)，非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)為半負(fù)定矩陣的梯度系統(tǒng)。

3 舉 例

例1 二階非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)Birkhoff函數(shù)組為

附加項(xiàng)為Λ1＝2a1et-a2et，Λ2＝0，試將其化為半負(fù)定矩陣梯度系統(tǒng)，并討論零解的穩(wěn)定性。

解：由式（5）-（6）計(jì)算得

于是廣義Birkhoff方程為

可寫(xiě)成如下形式

其中矩陣是半負(fù)定的，則能量函數(shù)V為

V在a1＝a2＝0的鄰域內(nèi)正定的，因此零解a1＝a2＝0是穩(wěn)定的。

例2二階非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)組為

附加項(xiàng)為

其中μ是參數(shù)，試將其化為半負(fù)定矩陣梯度系統(tǒng)，并討論零解的穩(wěn)定性。

解：廣義Birkhoff方程為

也可寫(xiě)成如下形式

其中矩陣是半負(fù)定的，則能量函數(shù)V為

當(dāng)-1＜μ＜1時(shí)，V在a1＝a2＝0的鄰域內(nèi)是正定的，因此零解a1＝a2＝0是穩(wěn)定的。

4 結(jié) 語(yǔ)

在力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究中，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)有時(shí)很困難的，而運(yùn)用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)研究穩(wěn)定性不需要構(gòu)造Lyapunov函數(shù)。本文利用半負(fù)定矩陣梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來(lái)研究非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，將非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)在一定條件化為具有半負(fù)定矩陣梯度系統(tǒng)，算例表明了結(jié)果的有效性。

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