基于脈沖響應(yīng)函數(shù)和虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)的擋土墻結(jié)構(gòu)損傷診斷*

徐乾，楊超，陳建功

（1.陜西理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，陜西漢中723001；2.三峽大學(xué)三峽庫區(qū)地質(zhì)災(zāi)害教育部重點實驗室，湖北宜昌443002；3.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶400045）

擋土墻作為一種常見的支擋結(jié)構(gòu)，廣泛用于建筑工程、交通工程、地下工程等領(lǐng)域。然而，在環(huán)境侵蝕、材料老化、荷載變異等因素的綜合作用下，損傷（微裂隙、孔洞）會在擋墻內(nèi)部不斷出現(xiàn)并累積；當(dāng)這些損傷積累到一定程度，就可能引發(fā)擋墻的破壞或失效。如：2008年杭州市地鐵地下連續(xù)墻倒塌事故，造成了21人喪生、24人失蹤、直接經(jīng)濟(jì)損失4 961萬元；2012年福建南安申鷺百米擋墻塌陷，造成大量民宅被毀、百余村民被迫撤離；2014年青島市一擋墻發(fā)生坍塌，事故造成18人死亡、3人受傷；2016年福建泉州一別墅區(qū)擋墻坍塌，造成2人死亡、6人受傷。因此，有必要定期或?qū)崟r對擋墻結(jié)構(gòu)的 “健康狀況”進(jìn)行診斷，以期及時發(fā)現(xiàn)損傷、及時處理。

目前，關(guān)于土木工程結(jié)構(gòu)的 “健康診斷”大都針對梁[1-2]、板[3]、柱[4]等結(jié)構(gòu)構(gòu)件，或是建筑結(jié)構(gòu)[5-6]和橋梁結(jié)構(gòu)等[7-9]。劉禮標(biāo)等[10-11]基于動力參數(shù)法識別擋墻損傷。但，擋墻結(jié)構(gòu)具有大體積、高質(zhì)量等特點，損傷（尤其是局部損傷）對其動力參數(shù)（如頻率、振型等）的影響較為微弱。在觀測噪聲干擾下，精確測量頻率或振型（尤其是高階振型）變化十分困難[12-14]。因此，基于動力參數(shù)的損傷診斷方法仍然無法有效診斷擋墻損傷。而大量研究表明：基于小波包變換的損傷診斷方法具有良好的損傷敏感性和魯棒性，可有效診斷結(jié)構(gòu)損傷[15-17]。基于此，本文對擋墻結(jié)構(gòu)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)及虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行了小波包頻帶能量譜分析，創(chuàng)建損傷特征向量譜、提出損傷識別指標(biāo)，基于損傷特征向量譜及損傷指標(biāo)診斷擋墻損傷。

1 損傷識別指標(biāo)

在外部激勵作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生動力響應(yīng)。對結(jié)構(gòu)損傷前后動力響應(yīng)信號進(jìn)行小波包分析，可獲得損傷信息。當(dāng)外界激勵恒定時，對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)信號進(jìn)行小波包頻帶能量譜分析，可診斷結(jié)構(gòu)損傷。然而，基于響應(yīng)信號的小波包頻帶能量譜并不屬于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有動力屬性；當(dāng)外界激勵變化時，基于響應(yīng)信號的小波包頻帶能量譜隨激勵變化而變化。而結(jié)構(gòu)系統(tǒng)激勵與響應(yīng)間脈沖響應(yīng)函數(shù)（以下簡稱脈沖響應(yīng)函數(shù)）或系統(tǒng)虛擬激勵與虛擬響應(yīng)間虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)（以下簡稱虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)）則屬于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有屬性[18]。因此，分別對脈沖響應(yīng)函數(shù)和虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行小波包頻帶能量譜分析，提出損傷指標(biāo)。

1.1 脈沖響應(yīng)函數(shù)

對于一個多自由度線性阻尼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其運動微分方程為：

式（1）中 M∈ Rn×n、C∈ Rn×n、K∈ Rn×n分別表示結(jié)構(gòu)動力系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣。U∈Rn×1與F∈Rn×1分別為系統(tǒng)的位移矩陣和激勵力矩陣。

在瞬時激勵F（t）作用下，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)為U（t），對激勵和響應(yīng)進(jìn)行傅里葉變換，在頻域內(nèi)滿足下式：

式（2）中H（ω）是頻率響應(yīng)函數(shù)，U（ω）和F（ω）分別為響應(yīng)U（t）和激勵F（t）的傅里葉變換，其中

對頻響函數(shù)H（ω）進(jìn)行傅里葉逆變換，得到系統(tǒng)激勵與響應(yīng)間的脈沖響應(yīng)函數(shù)H（t）：

通過以上分析可知，不論激勵恒定還是變化，只要系統(tǒng)激勵與響應(yīng)已知，即可求得脈沖響應(yīng)函數(shù)。

1.2 虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)

同樣，對于一個多自由度動力系統(tǒng)，參考點j的響應(yīng)uj（t）（虛擬激勵）的自譜密度Guu（ω，j）為：

式（6）中U（ω，j）為虛擬激勵uj（t）的傅里葉變換，U*（ω，j）為uj（t）的復(fù)共軛。

參考點j的響應(yīng)uj（t）和測點i的響應(yīng)ui（t）（虛擬響應(yīng)）的互譜密度Gyu（ω，i，j）為：

式（7）中U（ω，i）為響應(yīng)ui（t）的傅里葉變換。根據(jù)激勵和響應(yīng)在頻域內(nèi)的關(guān)系，U（ω，j）和U（ω，i）可分別表示為：

然后計算uj（t）和ui（t）間的虛擬頻率響應(yīng)函數(shù) Hyu（ω，i，j）：

對Hyu（ω，i，j）進(jìn)行傅里葉逆變換，即可求得uj（t）和ui（t）間的虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)Hyu（t，i，j）：

從以上分析可知，系統(tǒng)響應(yīng)間虛擬頻率響應(yīng)函數(shù)Hyu（ω，i，j）與激勵無關(guān)。同理可得，響應(yīng)間虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)Hyu（t，i，j）同樣與激勵無關(guān)。當(dāng)兩點響應(yīng)已知時，即可求得其虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)。

1.3 損傷特征向量譜

對脈沖響應(yīng)函數(shù)H（t）或虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)信號Hyu（t，i，j）在I層尺度空間上進(jìn)行小波包分解可得：

式中，hJI和hyuJI表示I層尺度空間上的子頻帶信號分量。根據(jù)小波包頻帶能量譜理論，任一子頻帶信號的能量EJ為：

式中，l為信號采樣點個數(shù)。因此，信號的小波包

頻帶能量譜EI可表示為：

對EI進(jìn)行歸一化處理，并按大小進(jìn)行排序后，形成一個能量比序列ERI：

在ERI基礎(chǔ)上，定義能量比偏差ERDK：

式中和分別表示結(jié)構(gòu)無損狀態(tài)和有損狀態(tài)下第K個頻帶的能量比?；贓RDK定義小波包頻帶能量比偏差向量譜ERDI：

ERDI反映了每個子頻帶上的能量比變化情況，若結(jié)構(gòu)未發(fā)生損傷，ERDI＝0；若結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷，ERDI≠0。由于觀測噪聲平均分布在每個子頻帶上，那些能量較低頻帶上的能量比變化會被觀測噪聲所覆蓋，而無法有效反映損傷信息，往往只有那些能量較大頻帶才能有效反映損傷信息。因此取ERI中前P個能量比較大的頻帶，使相對積累能量比閾值ε0一般取85～95。

識別損傷除ERI中這前P個頻帶外，剩余的頻帶對損傷識別的貢獻(xiàn)也不容忽視。于是把ERI中剩余的頻帶合并為一個新的頻帶，稱之為剩余頻帶，并定義其能量比ERP＋1為：

這（P＋1）個頻帶就被稱為特征頻帶，于是構(gòu)建小波包損傷特征向量譜ERDP＋1：

當(dāng)ERDP＋1＝0，表明特征頻帶能量比無變化，因此擋墻未發(fā)生損傷；當(dāng)ERDP＋1≠0，表明特征頻帶能量比已發(fā)生變化，此時擋墻發(fā)生損傷。因此，損傷特征向量譜可用于判別擋墻損傷狀態(tài)。

基于ERDP＋1，提出損傷識別指標(biāo)能量比均方差ERSD：

當(dāng)ERSD＝0時，擋墻結(jié)構(gòu)無損；當(dāng)ERSD＞0時，擋墻有損。

2 試驗研究

某樁板式擋土墻高2.2 m、長3.0 m，墻厚0.2 m，擋墻錨固深度0.6 m，墻后填土為雜填土，通過漿砌石約束墻后土體側(cè)向變形，如圖1中（a）所示。試驗中損傷可采用降低彈模（如變換材料）、改變構(gòu)件橫截面積（如鉆孔、削弱截面尺寸）、弱化構(gòu)件連接性能等方式進(jìn)行模擬。本文通過在無損擋墻上鉆孔，用孔洞模擬局部損傷?？锥粗睆? cm、深度為10 cm，如圖1中（b）中所示。隨著孔洞數(shù)量的增加，損傷程度逐漸增加，損傷工況如表1所示。為了表征局部損傷程度DI，令DI＝VD/V＝（N·Vh/V），N表示鉆孔數(shù)量，Vh表示每個鉆孔的體積，V表示擋墻上局部損傷區(qū)域的體積，具體尺寸為V＝25 cm×25 cm×10 cm。當(dāng)DI＝0時，擋墻不存在局部損傷；隨著DI的增大，局部損傷程度逐漸增加。

表1 損傷工況Table 1 Damage cases

圖1 樁板式擋墻Fig.1 Pile plate retailing wall

對該擋墻進(jìn)行脈沖激勵和環(huán)境激勵振動測試，如圖2所示。施加脈沖激勵的裝置為DFC-2型力錘，該力錘可同步記錄錘擊脈沖信號。環(huán)境激勵一般包括：車輛振動荷載、機(jī)械振動荷載、風(fēng)荷載、地震荷載、爆炸荷載等及其組合，往往具有強(qiáng)烈的隨機(jī)性和不可控制性。為了模擬環(huán)境激勵，本文采用與文獻(xiàn)[19]類似的方法，即通過多點隨機(jī)激勵模擬環(huán)境激勵。具體做法是：由3個不同的實驗人員，用不同型號的激勵錘在任意3個不同的激勵點進(jìn)行連續(xù)錘擊，如圖2中（b）所示。由于激勵錘的個體差異性以及試驗人員的相互獨立性，模擬激勵必然具有較強(qiáng)的隨機(jī)性和不可控制性，因此模擬的激勵更為接近真實環(huán)境激勵。

圖2 擋土墻動力測試Fig.2 Dynamic tests on the retaining wall

考慮到充足的測試數(shù)據(jù)是損傷定位精度的保證，在擋墻上布置了26個水平加速度傳感器（941B型拾振器）。信號采集系統(tǒng)為JM3863A型無線振動測試系統(tǒng)，采樣頻率1 024 Hz；振動測試系統(tǒng)將記錄的信號通過網(wǎng)關(guān)同步傳輸?shù)接嬎銠C(jī)進(jìn)行處理，網(wǎng)關(guān)為JM1802型無線網(wǎng)關(guān)；激勵點位置如圖2中（c）中的Ⅰ-Ⅵ點所示。

通過信號處理，得到錘擊脈沖與測點（1-25號測點）響應(yīng)信號間的脈沖響應(yīng)函數(shù)，以及參考點（26號測點）與計算點（1-25號測點）響應(yīng)信號間虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)，采用Daubechies18小波函數(shù)對脈沖響應(yīng)函數(shù)和虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行小波包分解，分解層次為7層，通過閾值（ε0＝95）確定特征頻帶數(shù)量。特征頻帶是否能夠全面反映損傷信息，可以通過特征頻帶相對累積能量比這一指標(biāo)來判斷。以12號測點為例，當(dāng)擋墻無損時，其脈沖響應(yīng)函數(shù)前5階特征頻帶的累積能量比占總能量比的90%～95%，如圖3中（a）所示。這說明，小波包頻帶能量譜的能量主要集中在少數(shù)頻帶上，而多數(shù)頻帶的能量則較小。另一方面，有損擋墻按照無損擋墻的頻帶階次計算相對累積能量比時，前5階頻帶的相對累積能量比與完好擋土墻基本相同。這說明，采用無損擋土墻確定的損傷特征頻帶可以有效地提取擋土墻損傷前后主要頻帶的能量信息，所選取的能量比積累閾值是合適的，由此確定的損傷特征頻帶能夠較好地反映擋土墻的損傷信息。類似的，通過圖3中的（b）也可得到相同的結(jié)論。

2.1 判別擋墻損傷狀態(tài)

基于脈沖響應(yīng)函數(shù)和虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)，構(gòu)建小波包損傷特征向量譜，如圖4-5所示。如前所述，當(dāng)損傷特征向量譜為零向量時，擋墻不存在損傷；當(dāng)損傷特征向量譜為非零向量時，擋墻存在損傷。因此，基于脈沖響應(yīng)函數(shù)和虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)的小波包損傷特征向量譜均可判別擋墻損傷狀態(tài)。然而，受損傷位置以及激勵點位置等因素的影響，不同測點的損傷特征向量譜對損傷的敏感性不盡相同，如：7號測點對損傷的敏感性相對較弱，而位于損傷區(qū)域的12號測點則具有良好的損傷敏感性。

2.2 診斷擋墻損傷位置

圖3 相對累積能量比Fig.3 Relative cumulate energy ratio

圖4 小波包損傷特征向量譜（7號測點）Fig.4 Wavelet packet damage feature vector spectrum（point 7）

對于一個結(jié)構(gòu)動力系統(tǒng)而言，結(jié)構(gòu)局部剛度的變化必然引起系統(tǒng)動力響應(yīng)的變化，且響應(yīng)在局部剛度突變處變化尤為劇烈。同理，基于脈沖響應(yīng)函數(shù)和虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)的損傷指標(biāo)在剛度變化處必然發(fā)生突變，據(jù)此診斷擋墻損傷位置。首先，計算不同損傷程度下25個測點對應(yīng)的特征頻帶能量比偏差，然后根據(jù)（20）式計算損傷指標(biāo)ERSD，可得到25個ERSD值。通過MATLAB程序把這25個ERSD值繪制在一張曲面上，通過曲面的變化特征診斷損傷位置，如圖6-7所示（其中H表示擋墻高度，L表示擋墻長度）。不難發(fā)現(xiàn)，ERSD曲面的峰值坐標(biāo)出現(xiàn)在（L＝1.5 m，H＝1.0 m）附近區(qū)域，而此處正是試驗?zāi)M的損傷中心。因此，通過ERSD曲面的峰值位置可診斷擋墻局部損傷位置。

圖5 小波包損傷特征向量譜（12號測點）Fig.5 Wavelet packet damage feature vector spectrum（point 12）

圖6 損傷指標(biāo)走勢曲面圖（DI＝8.04%）Fig.6 Trend surface of the damage index（DI＝8.04%）

圖7 損傷指標(biāo)走勢曲面圖（DI＝12.06%）Fig.7 Trend surface of the damage index（DI＝12.06%）

2.3 識別擋墻損傷程度

對位于損傷區(qū)域的12號測點在不同激勵位置、相同損傷程度下的損傷指標(biāo)取平均值，記為。直接對損傷程度DI與損傷指標(biāo)進(jìn)行多項式擬合，會導(dǎo)致多項式階數(shù)較高，以及多項式系數(shù)巨大。所以，將相對損傷程度Di與損傷指標(biāo)間的定量關(guān)系進(jìn)行多項式擬合，得到Di與之間的定量關(guān)系式：

式中，Y均表示相對損傷程度 Di，且 Di＝DI×100，x和z分別表示基于脈沖響應(yīng)函數(shù)和虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)的損傷指標(biāo)均值。

損傷指標(biāo)與損傷程度間的關(guān)系曲線，如圖8中（a）所示。不難發(fā)現(xiàn)，擬合曲線具有良好的擬合程度，這表明經(jīng)過多項式擬合得到的定量關(guān)系式能較好地表征擋墻損傷程度與損傷指標(biāo)間的定量關(guān)系。當(dāng)損傷程度與損傷識別指標(biāo)定量關(guān)系已知時，通過損傷識別指標(biāo)可求出損傷程度。以基于虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)的損傷指標(biāo)為例，當(dāng)12號測點的＝1時，相對損傷程度Di＝4.27，絕對損傷程度 DI＝Di/100＝VD/V＝4.27%，當(dāng)V＝6.25×105mm3時，損傷體積VD＝2.67×104mm3。因此，通過該定量關(guān)系式可實現(xiàn)對擋土墻局部損傷程度的定量識別。

受激勵影響，同一損傷程度對應(yīng)的損傷指標(biāo)值具有一定的波動現(xiàn)象。為了刻畫波動的程度，對同一損傷程度下的ERSD進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)差分析，并繪制ERSD標(biāo)準(zhǔn)差曲線，如圖8中（b）-（c）所示。相比之下，基于虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)的損傷指標(biāo)波動較小，基于脈沖響應(yīng)函數(shù)的損傷指標(biāo)波動相對較大。因此，基于虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)的損傷指標(biāo)具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性。

圖8 損傷指標(biāo)與損傷程度關(guān)系曲線Fig.8 Relationship curve between the damage index and damage intensity

3 結(jié) 論

對脈沖響應(yīng)函數(shù)及虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行小波包頻帶能量譜分析，構(gòu)建了損傷特征向量譜，并提出了損傷指標(biāo)。當(dāng)損傷特征向量譜為零向量時，擋墻無損；當(dāng)損傷特征向量譜為非零向量時，擋墻發(fā)生損傷。局部損傷會導(dǎo)致?lián)p傷區(qū)域測點損傷指標(biāo)值突變，通過損傷指標(biāo)走勢曲面圖的變化特征可有效診斷擋墻損傷位置。通過損傷指標(biāo)與損傷程度關(guān)系曲線可定性識別擋墻損傷程度，分析損傷程度與損傷指標(biāo)間的定量關(guān)系，可實現(xiàn)對損傷程度的定量識別?；诿}沖響應(yīng)函數(shù)及虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)的損傷特征向量譜及損傷指標(biāo)均可敏感判別擋墻損傷狀態(tài)，有效診斷擋墻損傷位置以及定量識別擋墻損傷程度。

虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)只與結(jié)構(gòu)響應(yīng)有關(guān)，與外界激勵無關(guān)。因此，基于虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)的損傷指標(biāo)不受外界激勵影響，具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性。受錘擊脈沖激勵時程及激勵位置影響，基于脈沖響應(yīng)函數(shù)的損傷指標(biāo)穩(wěn)定性相對較差。因此，基于虛擬脈沖響應(yīng)函數(shù)的損傷指標(biāo)更適于診斷擋墻損傷。

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