二層流體中圓弧型貫底式防波堤的繞射波浪力*

翟振峰，黃華，詹杰民，張敖

（中山大學(xué)工學(xué)院應(yīng)用力學(xué)與工程系，廣東廣州510275）

防波堤作為一種抵御波浪荷載的重要海工結(jié)構(gòu)，廣泛用于對(duì)海岸與近岸的各種海工設(shè)施以及各類水運(yùn)作業(yè)的防護(hù)。同時(shí)，與之相關(guān)的波浪作用問題也得到了廣泛地關(guān)注，各種研究理論迅速發(fā)展。Wiegel[1]最早展開對(duì)薄壁固立防波堤波浪繞射問題的理論研究。Losada等[2]運(yùn)用特征函數(shù)展開法計(jì)算了有限水深對(duì)垂直薄板型防波堤的波浪荷載作用。Williams[3]應(yīng)用特征函數(shù)展開法對(duì)分離式防波堤周圍的繞射波浪場(chǎng)進(jìn)行了解析求解和計(jì)算。程建生等[4]和楚玉川等[5]分別采用均勻海微幅波模型解析研究了圓弧貫底式防波堤的防浪效果與波浪載荷問題。

部分近海區(qū)域的一些海洋流域中可能存在一定的海水層化現(xiàn)象，二層流體模型是層化海水中最基本和常用的模型之一。例如：海洋水表面受陽光照射使表層升溫，在一定深度水層以下水溫不再升高形成溫度突變的躍變層，該層面在上下方向的微小擾動(dòng)作用下微小密度差可使水體浮力變化而誘發(fā)該層面波動(dòng)，形成二層流體的海水內(nèi)波。內(nèi)波在行進(jìn)過程中可能攜帶大量的能量，從而構(gòu)成了對(duì)該流域內(nèi)水下結(jié)構(gòu)的有別于均勻海表面波的一種潛在危險(xiǎn)。吳建華等[6-8]首先提出了大尺度物體在層化海洋中繞射和散射問題的一般性理論。尤云翔等[9]進(jìn)一步應(yīng)用解析方法研究了兩層流體海水中大直徑密實(shí)圓柱的水動(dòng)力作用問題。付靜等[10-11]分別對(duì)二層流體海水中固立透空單圓柱與雙圓柱的水波繞射問題進(jìn)行了理論分析。黃華等[12]對(duì)作用于二層流體中大直徑透空?qǐng)A環(huán)柱的海水波浪荷載和波浪滲流載荷進(jìn)行了同步的解析計(jì)算與比較，強(qiáng)調(diào)了不可忽視的內(nèi)波作用。朱夢(mèng)華等[13]將二層流體模型應(yīng)用于對(duì)無限長(zhǎng)直立防波堤所受海水表面波和內(nèi)波作用的解析研究。

本文對(duì)現(xiàn)有的均勻海水中的圓弧型貫底式防波堤的微幅波繞射理論加以推廣拓展，引入二層流體海水模式，應(yīng)用特征函數(shù)展開法，解析研究了表面波與內(nèi)波并存條件下波浪對(duì)圓弧型防波堤的繞射作用問題，說明了內(nèi)波作用的重要性。與已有的二層流體中單一圓柱繞射解結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證了本文解析方法的正確性。本文結(jié)果表明：圓弧型防波堤的繞射參數(shù)、張角、半徑、水波入射角和防波堤幾何條件的變化對(duì)波浪作用均有一定影響，而二層流體密度比等海況條件的相對(duì)變化對(duì)表面波和內(nèi)波的波載幅值也存在一定的影響。研究結(jié)果對(duì)層化海水中圓弧型防波堤的實(shí)際設(shè)計(jì)與應(yīng)用具有一定的參考意義。

1 二層流體中的圓弧防波堤的繞射波浪場(chǎng)求解

設(shè)在水深為d的海域中存在二層流體，上層和下層海水密度分別為ρ1和ρ2，厚度分別為h1和h2。固立于海水中的圓弧型貫底式防波堤半徑為a，其平面位置如圖1所示。取坐標(biāo)系oxyz（即坐標(biāo)系orθz），oxy平面位于水底，原點(diǎn)位于圓弧防波堤的圓心處，定義ox軸使防波堤位于θ＝α至θ＝2π α，防波堤對(duì)應(yīng)圓心角為γ＝2π-2α，oz軸垂直向上。入射波為二層流體中的Airy微幅波，入射角（來波方向與正x軸的夾角）為β。以a為半徑劃一圓柱面，可將流場(chǎng)劃分為圓柱外流區(qū)域Ω0和圓柱內(nèi)流區(qū)域Ω1。

圖1 二層流體中的圓弧型貫底式防波堤Fig.1 Arc-shaped bottom-mounted breakwater in two-layer fluid

防波堤為水下大尺度結(jié)構(gòu)，海水可視為無粘的不可壓縮且運(yùn)動(dòng)無旋的理想勢(shì)流，波浪與結(jié)構(gòu)相互作用問題的研究可采用波浪繞射理論。設(shè)對(duì)應(yīng)流域Ωj（j＝0，1）的微幅波入射波勢(shì)為Φ±（j）i，散射波勢(shì)為Φ±（j）s，總波勢(shì)為Φ±（j），對(duì)應(yīng)繞射波勢(shì)的邊值問題的一般提法為：

式（1）-（10）中，φ＋和φ-分別為表面波勢(shì)和內(nèi)波勢(shì)。式（8）-（9）為二層流體分層面條件。式（10）為表面波與內(nèi)波的輻射條件。另，k為入射波波數(shù)，且滿足以下色散關(guān)系：

式中，T1＝tanh（kh1），T2＝tanh（kh2），λ＝ρ1/ρ2。ω＋和ω-分別為表面波和內(nèi)波波頻。對(duì)于二層流體，微幅波入射波勢(shì)可表達(dá)為：

式中，βn＝（2-δn0）in，A＋和A-分別為對(duì)應(yīng)ω＋和ω-的自由面波幅。另有：

依據(jù)式（12），應(yīng)用特征函數(shù)展開法可取總波勢(shì)為：

其中，Jn（x）和分別表示n階第一類Bessel函數(shù)和第一類Hankel函數(shù)。和為待定系數(shù)且設(shè)定

由邊界條件式（5），可得：

對(duì)于（17）式，根據(jù)函數(shù) ｛cos（nθ），0≤ θ≤2π｝和 ｛sin（nθ），0≤ θ≤ 2π｝的正交性，在式（17）兩邊都乘以 cos（mθ）和 sin（mθ）并在區(qū)間 0～2π上積分θ可得：

現(xiàn)定義函數(shù)f±（θ）如下：

式（21）-（22）分別由內(nèi)外流域圓弧分界面條件（5）-（6）式所得。將式（20）在0～2π上進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，可有：

式（29）-（30）分別構(gòu)成了待定系數(shù)A和B±（0）的無限維聯(lián)立代數(shù)方程組，其中已取B±（0）＝B±（1）＝0。實(shí)算中進(jìn)行適度有限維運(yùn)算即可滿足計(jì)算精度要求。進(jìn)一步由式（18）-（19）即可求解待定系數(shù)A±（1）和B±（1）。

在二層流體海水中，防波堤繞射波浪場(chǎng)所致動(dòng)壓分布為：

對(duì)應(yīng)圓弧型貫底式防波堤的表面波與內(nèi)波波浪力及力矩算式分別為：

以上各式中和分別為沿ox軸和oy軸的水平波浪力，和分別為繞ox軸和oy軸的水平波浪力矩，相應(yīng)的總波浪力和力矩分別為：

2 算例與分析

為方便計(jì)，在各結(jié)果圖中將A＋和A-統(tǒng)一用符號(hào)A表示，以ρ表示上層流體密度ρ1，最大表面波與內(nèi)波水平波浪力和力矩分別統(tǒng)一用符號(hào)F（沿x和y方向力的對(duì)應(yīng)符號(hào)為Fx和Fy）和M表示，且分別按因子ρgAad和ρgAad無量綱化。為了驗(yàn)證本文理論方法結(jié)果的可靠性，選取圓弧防波堤的圓心角角度γ＝2π，此時(shí)防波堤化為豎直圓柱。將本文結(jié)果與文獻(xiàn)[10]中直立圓柱的水平波浪力及水平波浪力矩進(jìn)行比較，圖2為比較結(jié)果。圖2中f1＝F/（ρ1gAad）為最大表面波無量綱水平波浪力，f2＝F/（ρ1gAad）為最大內(nèi)波無量綱水平波浪力；m1＝M/（ρ1gAad2）為最大無量綱表面波水平波浪力矩，m2＝M/（ρ1gAad2）為最大無量綱內(nèi)波水平波浪力矩。結(jié)果表明：在相同條件下兩種理論解式所得到的表面波與內(nèi)波波浪載荷結(jié)果均吻合，說明本文應(yīng)用于二層流體海水中圓弧結(jié)構(gòu)波浪繞射的解析方法是合理可靠的。

圖2 對(duì)圓柱的最大無量綱內(nèi)波波浪力和波浪力矩的比較（λ＝0.9，d/a＝1/5，h1/h2 ＝3/2，β＝0，γ＝2π）Fig.2 The comparison of maximum dimensionless internal wave force and moment on vertical circular cylinder

圖3為二層流體中不同水波入射角度β下防波堤的無量綱波浪力（矩）幅值隨參數(shù)kd的變化狀態(tài)。結(jié)果表明：無量綱表面波波浪力和力矩幅值均隨著參數(shù)kd先增大后減小，兩者變化趨勢(shì)和形態(tài)基本相同。無量綱內(nèi)波波浪力幅值隨kd先增大后減小再增大，而內(nèi)波力矩幅值隨kd先增后減，兩者變化形態(tài)略有差異。無量綱表面波與內(nèi)波波浪力（矩）幅值平均而言隨β的增加而減小，其中水波正入射下的力（矩）幅值明顯大于水波45°斜入射下的對(duì)應(yīng)值。由圖3中（c）-（d）可知，在一定條件下，無量綱表面波與內(nèi)波波浪力矩幅值可能具有相同量級(jí)，說明內(nèi)波對(duì)結(jié)構(gòu)的傾覆作用不容忽視。

圖3 最大無量綱內(nèi)波波浪力矩（λ＝0.9，d/a＝1/5，h1/h2 ＝3/2，γ＝2π/3）Fig.3 The maximum dimensionless internal wave moment

圖4為圖3中波浪力沿x和y方向的分量幅值隨kd的變化形態(tài)。如圖所示，x方向無量綱表面波與內(nèi)波波浪力幅值均隨入射角β的增大而減小，而y方向的對(duì)應(yīng)值均隨β的減小而減小。當(dāng)kd＜1時(shí)，表面波與內(nèi)波波浪力幅值的變化形態(tài)相似，當(dāng)kd＞1時(shí)內(nèi)波力隨β的變化差別更為明顯。

圖4 x，y方向最大無量綱內(nèi)波波浪力（λ＝0.9，d/a＝1/5，h1/h2 ＝3/2，γ＝2π/3）Fig.4 The maximum dimensionless internal-wave force in x and y direction

圖5為二層流體中水波正入射下防波堤的最大無量綱波浪力在不同防波堤張角γ下隨參數(shù)kd的變化趨勢(shì)。由圖可知，在一定張角取值范圍內(nèi)，當(dāng)參數(shù)kd較小時(shí)，隨著防波堤張角γ的增大，無量綱表面波與內(nèi)波波浪力幅值均有所增大。而當(dāng)kd＞0.5時(shí)，表面波波浪力幅值隨張角γ的變化不大，而內(nèi)波波浪力幅值隨γ呈交錯(cuò)變化形態(tài)。

圖5 最大無量綱內(nèi)波波浪力（λ＝0.9，d/a＝1/5，h1/h2 ＝3/2，β＝0）Fig.5 The maximum dimensionless internal wave force

圖6為不同半徑水深比下防波堤的無量綱波浪力幅值隨參數(shù)kd的變化趨勢(shì)。結(jié)果表明：當(dāng)參數(shù)kd較小時(shí)（kd＜0.5），隨半徑水深比的增大，無量綱表面波波浪力幅值略為增加，而內(nèi)波波浪力幅值變化不大。當(dāng)kd超過一定值時(shí)（kd＞0.6），隨著半徑水深比的增大，無量綱表面波與內(nèi)波波浪力幅值平均而言均有所減小。

圖7為不同二層流體上下層密度比下防波堤最大無量綱波浪力（矩）隨參數(shù)kd的變化趨勢(shì)。結(jié)果表明：無量綱表面波波浪力幅值隨密度比λ的增加而微略減小，而表面波力矩幅值基本不隨λ而變化。無量綱內(nèi)波波浪力幅值受密度比λ變化的影響較大，即隨λ的減小而明顯增加。內(nèi)波波浪力矩幅值隨λ的變化趨勢(shì)與之相反，而變化幅度明顯減小。由于上下層海水密度比是海水層化的最重要特征參數(shù)之一，所以海水層化性特征參數(shù)變化對(duì)內(nèi)波作用的影響遠(yuǎn)大于對(duì)表面波作用的影響。

圖6 最大無量綱內(nèi)波波浪力（λ＝0.9，h1/h2 ＝3/2，β＝0，γ＝2π/3）Fig.6 The maximum dimensionless internal wave force

4 結(jié) 論

基于二層流體的海洋模型及波浪繞射理論，運(yùn)用特征函數(shù)展開法，推導(dǎo)了二層流體海水中圓弧型固立防波堤的水波繞射波浪場(chǎng)的解析解式，并據(jù)此對(duì)作用于防波堤上的表面波與內(nèi)波的波浪力（矩）進(jìn)行了計(jì)算與比較，取得以下主要結(jié)論：

1）利用本文的二層流體圓弧型防波堤波浪繞射解式，對(duì)張角為2π的特殊情形（對(duì)應(yīng)直立圓柱）進(jìn)行計(jì)算，所得最大無量綱波浪力（矩）與文獻(xiàn)[10]對(duì)直柱直接求解計(jì)算的結(jié)果一致，從而驗(yàn)證了本文理論的正確性。

2）繞射參數(shù)、水波入射角、圓弧型防波堤張角、水深與圓弧半徑比以及二層流體的上下層海水密度比等相關(guān)參數(shù)的變化對(duì)表面波與內(nèi)波的波浪力（矩）幅值均有一定影響。

3）在一定條件下，作用于防波堤上的無量綱表面波與內(nèi)波波浪載荷可能具有相同量級(jí)，說明內(nèi)波對(duì)圓弧型防波堤的波浪作用不容忽視。在這類結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與構(gòu)建中應(yīng)適當(dāng)納入內(nèi)波影響因子。

4）海水上下層密度比變化對(duì)內(nèi)波作用的影響遠(yuǎn)大于對(duì)表面波作用的影響，說明海水層化性特征參數(shù)變化對(duì)內(nèi)波影響更為明顯。

圖7 最大無量綱內(nèi)波波浪力矩Fig.7 The maximum dimensionless internal wave moment

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