從一道高考題探究分析函數(shù)零點問題的基本方法

廣東省汕頭市澄海中學 李立峰

函數(shù)零點是函數(shù)知識的一個重要內(nèi)容，是高考考查的熱點之一，本文主要從一道高考題探究分析解決函數(shù)零點問題的基本方法。

引例（2017年全國卷Ⅰ理科第21題）：已知函數(shù)（a-2）ex-x。

（1）討論 的單調(diào)性；

（2）若 有兩個零點，求a的取值范圍。

（注：本題是高考題，這里不再詳述其解題過程）

從教材函數(shù)零點的知識我們不難看出，函數(shù)的零點、方程的根，函數(shù)圖象與坐標軸的交點這三個不同的數(shù)學概念常統(tǒng)一在一起，它們有區(qū)別，但更多時候是密不可分的，從中我們可以得出分析函數(shù)零點問題的三種思路：

1.解方程，由方程 的根得函數(shù) 的零點。

2.利用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理。

3.數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)題目的函數(shù)、方程，運用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，通過分離參數(shù)法、作差法、拆分法等構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的圖象分析問題。例1 函數(shù)的零點為____________。

分析：都是R上的增函數(shù)，

R上也是增函數(shù)。

又

函數(shù)的零點為x=2。

對于這類超越函數(shù)的零點問題，由于高中教材知識的限制，因此一般通過觀察與分析，利用特殊值代入法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解。

例1這類問題用到思路1，通過尋找方程 的根得到函數(shù)的零點，具體操作中一般借助分解因式或者特殊值代入法。

例2 已知函數(shù)g（x）＝2lnx－x2＋上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍。

故g(x)在x=1處取得極大值，即最大值g（1）=m-1。

所以g（x）在上的最小值是g（e），

故g（x）在上有兩個零點等價于

解得1＜m≤2+所以實數(shù)m的取值范圍是

本題用到思路2，利用函數(shù)單調(diào)性與零點存在性定理，結(jié)合函數(shù)的極值、最值，分析函數(shù)的零點，這是最常用的方法，引例及2016年全國新課標Ⅰ卷理科第21題均用到此法。

例3 設（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的函數(shù)有且僅有6個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

令

由

得

故 的大致圖象如右圖：

方程在上有兩個不同的解時可以滿足題意，

令

則故選D。

“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，本題用到思路3，利用數(shù)形結(jié)合法解決問題。本題運用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想與換元法，構(gòu)造函數(shù) ，利用其導數(shù)畫出函數(shù)的草圖，再借助其圖象輔助分析問題。注意在畫草圖時，不僅要考慮函數(shù)的單調(diào)性和極值，還要研究函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值情況。

雖然函數(shù)零點問題是一個難點，但只要我們理解好三種解題思路的精髓，充分利用好導數(shù)這個工具，注意題型的歸納和積累，多運用轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合法和換元法等數(shù)學思想與方法，克服恐懼心理，大膽嘗試，我們就一定能提高此類題目的得分率。

[1]陳祥國.函數(shù)壓軸尋常見導數(shù)應用有情結(jié)[J].中學數(shù)學教學參考，2016（5）：51-53.

[2]王秀彩.導數(shù)的綜合應用[J].中學數(shù)學教學參考，2016（1-2）：124-128.