用幾何圖形的性質(zhì)巧解圓錐曲線的離心率

陜西省商洛中學(xué) 楊小勇

圓錐曲線的離心率是歷年高考的熱點(diǎn)，求離心率的難點(diǎn)在于如何建立a，b，c 之間的等式，而復(fù)雜的代數(shù)計(jì)算不但費(fèi)時(shí)，而且錯(cuò)誤率高。早在必修2第二章《解析幾何初步》開篇就指出，解析幾何是利用代數(shù)方法來研究幾何圖形的性質(zhì)的一門學(xué)科。所以，如果我們能更好地利用幾何圖形的性質(zhì)，建立關(guān)系，將對(duì)解決離心率問題起到事半功倍的輔助作用。

一、巧用幾何圖形確定點(diǎn)的坐標(biāo)，求解離心率

例1 （2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，11）已知A，B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（ ）

解析：設(shè)雙曲線為如圖，過M做MN⊥X軸于N，在Rt△MNB中，∠MBN=60°，則M點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，在雙曲線上，代入有則a=b，為等軸雙曲線，所以離心率e= ，故選D。

二、巧用幾何圖形建立方程，求離心率

例2 （2017新課標(biāo)全國(guó)II，理15）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)。若∠MAN=60°，則C的離心率為________。

解析：如圖所示，作AP⊥MN，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，則MN為雙曲線的漸近線上的點(diǎn)，設(shè)漸近線的傾斜角為α，則在Rt△APO中，

例3 （2017課標(biāo)III，理11）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸。過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E。若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（ ）

解析：設(shè)OE的中點(diǎn)為N，則有△AFM∽△AOE，△BON∽△BFM，所以由OE=2ON

總之，解析幾何中圓錐曲線的離心率問題，我們利用純代數(shù)的計(jì)算來研究，不但計(jì)算麻煩，更易出錯(cuò)。用華羅庚教授的話來講：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！?/p>

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