恰當(dāng)引人反思內(nèi)容提高解題教學(xué)效益

洪燕剛

摘 要 反思活動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性越來(lái)越受到人們的重視。筆者以反思活動(dòng)對(duì)解題教學(xué)的積極作用為切入點(diǎn)，對(duì)解題教學(xué)中如何引入反思活動(dòng)能更有效地提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，提高解題教學(xué)效益進(jìn)行了一段時(shí)間的實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果在諸多反思內(nèi)容中，以時(shí)效性和可操作性來(lái)衡量。

關(guān)鍵詞 反思 數(shù)學(xué)教學(xué) 提高效益

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1反思兩變，一題多得

學(xué)習(xí)某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答或自己完成某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答后，便能舉一反三，觸類旁通，會(huì)解答由該題目作適當(dāng)變化而得的多個(gè)題目，是師生解題教學(xué)所共同期望的。這就需要把“反思兩變”（即題目已知條件的改變和題目結(jié)論的相應(yīng)變化或反之）作為解題教學(xué)活動(dòng)反思的必要內(nèi)容，使解題教學(xué)“一題多得”的愿望得以實(shí)現(xiàn)。

然而，令人遺憾的是，每每在考試閱卷結(jié)束后，常有教師報(bào)怨自已所教的學(xué)生“腦子笨”、“學(xué)得死”，“考卷上的題目類型大部分在復(fù)習(xí)階段都做過(guò)、講過(guò)，而考題僅只稍作變化，學(xué)生便束手無(wú)策了?！薄@樣把責(zé)任全推給學(xué)生，自然是不公平的。因?yàn)槲覀冏鼋處煹脑谄綍r(shí)的解題教學(xué)活動(dòng)中缺乏對(duì)學(xué)生進(jìn)行“兩變反思”的引導(dǎo)和培養(yǎng)，是導(dǎo)致這種結(jié)果的主要原因之一。教師的解題教學(xué)“就題論題”，督促、調(diào)動(dòng)學(xué)生思維參與的力度不夠，教學(xué)欠缺吸引力，造成主動(dòng)積極思考的學(xué)生數(shù)量有限（僅自制力較強(qiáng)的少數(shù)學(xué)生）。學(xué)生的解題活動(dòng)又“解不思變”，使學(xué)生對(duì)題目的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不清，題目的內(nèi)在聯(lián)系思考不足，這樣做過(guò)、講過(guò)的題目對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)只是記憶的“保留”，難以達(dá)到訓(xùn)練思維，融會(huì)貫通的理想教學(xué)效果。尤其是數(shù)學(xué)水平處于中、下層次的學(xué)生更是如此。他們?cè)诳荚嚂r(shí)能完成做過(guò)、講過(guò)的“原模原樣”的題目就算不錯(cuò)了。因?yàn)橐坏┏霈F(xiàn)遺忘，做過(guò)、講過(guò)的題目他們也奈何不得。對(duì)他們做過(guò)、講過(guò)的題目變化，引申而得的題目，在他們看來(lái)已成“素未蒙面”的“新題”，更只有“望題興嘆”的份了。

因此，教師在平時(shí)的解題教學(xué)活動(dòng)中，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行“反思兩變”的引導(dǎo)和培養(yǎng)，避免學(xué)生做過(guò)，教師講過(guò)的題目隨解答的完畢而變成“死題”，讓這些題目由變而活，讓學(xué)生看清它們的內(nèi)在的本質(zhì)的聯(lián)系。學(xué)生在任何時(shí)候遇到這些問(wèn)題及由它們變化、引申而得的題目時(shí)，才會(huì)看清本質(zhì)，臨陣不亂，游刃有余地解答。

例1（如圖1）：△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？

這是九年制義務(wù)教育教材初中幾何第二冊(cè)P245例4。本例集正方形性質(zhì)、三角形的高、相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元一次方程的解法等諸多基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考察于一身，不失為檢查學(xué)生這部分教學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)水平的一道好題。現(xiàn)以這個(gè)題目為基礎(chǔ)作變化：

1.1以理解、鞏固例題解題方法為目標(biāo)，變?yōu)槟７滦粤?xí)題

（1）如圖2，已知在Rt△ABC內(nèi)有一正方形DFFG，D在AB邊上，G在AC邊上，EF在斜邊BC上，已知AB=6，AC=8，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)。

（2）如圖3，已知DEHG是△ABC的內(nèi)接矩形，DE在BC上，G、F分別在AB、AC上，AH為BC邊上的高，BC=48cm，AH=16cm，EF：DE=5：9，求矩形DHRG的周長(zhǎng)。

（3）如圖4，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，BC=9cm，AD=8cm，EF=5cm，求矩形EHGH的面積。

1.2在理解、掌握例題解題方法的基礎(chǔ)上，以運(yùn)用例題的解題方法為目標(biāo)，變?yōu)樘岣哳}

（1）如圖5，已知矩形EHGH內(nèi)接于△ABC，BD⊥AC，設(shè)AC=b，BD=h，GF=x，四邊形EFGH的面積為y

①試用x表示y，并求出x的取值范圍。②若HE：EF=1：2，AC=18，BD=9，求矩形DEFG的面積。

（2）如圖6，已知△ABC中，∠A=90埃諨EFG為其內(nèi)接正方形。求證：DE2=BDCE。

1.3結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的要求，變?yōu)閼?yīng)用問(wèn)題和開(kāi)放性問(wèn)題

（1）在生產(chǎn)中，為了節(jié)約原材料，加工某些零件時(shí)，常利用些邊角廢料，如圖7所示，△ABC為銳角三角形廢料板，其中BC=12cm，BC邊上的高AD=8cm，在△ABC上截取矩形PQMN，使QM邊與BC邊重合，畫草圖說(shuō)明P、N兩點(diǎn)落在什么位置上，才可能使它的面積最大？求出它的最大值，并求此時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬。

（2）有一批形狀大小相同的不銹鋼片呈直角三角形（如圖8所示）。已知∠C=90埃珹B=5cm， BC= 3cm。試設(shè)計(jì)一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長(zhǎng)。

可由該例題作變化的題目還很多。這些變化而得的題目，既有助于學(xué)生弄清問(wèn)題的本質(zhì)，又可以帶動(dòng)很多知識(shí)的復(fù)習(xí)，一題多得，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，何樂(lè)而不為。

2反思類題，形成模式

“我所解決的每一個(gè)問(wèn)題，將成為一個(gè)模式，以用于解決其他問(wèn)題?！敝麛?shù)學(xué)家笛卡爾的這句話，一語(yǔ)道出了數(shù)學(xué)解題模式的形成及應(yīng)用對(duì)于數(shù)學(xué)解題的重要意義?！笆聦?shí)上，學(xué)生面臨的大多數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題是通過(guò)模式識(shí)別來(lái)解決的，即將陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題，逐步實(shí)施轉(zhuǎn)化，最終變?yōu)樗慕忸}模式，然后再按模式解決。

應(yīng)用模式先得掌握模式。學(xué)生掌握解題模式的多寡取決于師生是否善于在解題教學(xué)活動(dòng)中通過(guò)類題的反思形成盡可能多的解題模式。因此，教師的解題教學(xué)不應(yīng)當(dāng)?shù)贸鼋Y(jié)果而了百了。而應(yīng)把所解答的題目與其他類似的題目進(jìn)行對(duì)比，啟發(fā)學(xué)生觀察、分析這些題目數(shù)式結(jié)構(gòu)、圖形結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、求解（證）結(jié)構(gòu)、解（證）法等諸方面的個(gè)性差異和共性特征，重點(diǎn)是解（證）法的共性特征，結(jié)合教學(xué)和考試要求、教材和學(xué)生實(shí)際歸納概括成解題模式。逐步培養(yǎng)學(xué)生“反思類題，形成模式”的良好反思習(xí)慣，消除他們對(duì)概括歸納解題模式的神秘感，能自主、自覺(jué)、成功地自己概括歸納出自己所能掌握并運(yùn)用于解題實(shí)踐的解題模式，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的提高無(wú)益是十分有益的。

例2：已知，試將根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)。

解：由二次根式的定義，要使有意義，必須，即a-3<0

于是要將a-3移入根號(hào)內(nèi)，就有

本題解答完畢，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以下類似問(wèn)題的解答進(jìn)行反思：

（1）若a<0，下列式子正確的是（C）

（2）將根號(hào)外的式子移到根號(hào)內(nèi)，原式應(yīng)等于：（C）

A、 B、 C、或 D、

（3）把根號(hào)外的因數(shù)移到根號(hào)內(nèi)得 。

（4）把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，得 。

通過(guò)對(duì)以上題目的解答進(jìn)行比較分析，不難發(fā)現(xiàn)此類間題的解答可概括成解題模式：

（1）確定移入因式的符號(hào)（正或負(fù)）。

（2）若移入因式為正，則結(jié)果根號(hào)前符號(hào)不變，被開(kāi)方數(shù)等于移入因式的平方與原被開(kāi)方數(shù)的積；若移入因式為負(fù)，則結(jié)果根號(hào)前符號(hào)改變，被開(kāi)方數(shù)等于移入因式的平方與原被開(kāi)方數(shù)的積。即

需要說(shuō)明的是，不是每一個(gè)題目都可以概括為解題模式。但不能由此而弱化“反思類題，形成模式”的積極性和主動(dòng)性，更不能把這一反思內(nèi)容束之高閣、置之不理。

3反思解題過(guò)程的書面表達(dá)，形成嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的解題風(fēng)格

“數(shù)學(xué)中絕不允許有半點(diǎn)馬虎和輕率行為，……。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中養(yǎng)成縝密、有條理思維方式，有助于培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的工作態(tài)度、敬業(yè)精神和強(qiáng)烈的社會(huì)責(zé)任感?！睂W(xué)生解題過(guò)程的書面表達(dá)是較易看出一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度的。

教學(xué)第一線的數(shù)學(xué)教師大都會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：學(xué)生對(duì)個(gè)題目的解答結(jié)果是正確的，但解題過(guò)程要么得出結(jié)果的理由不充分，如a2=b2，且a、b同號(hào)時(shí)，a=b。而學(xué)生常常僅由a2=b2就得出a=b的結(jié)論；要么不具備條件亂用公式、定理，如；要么數(shù)學(xué)語(yǔ)言的使用不規(guī)范，如“”根號(hào)上下長(zhǎng)度沒(méi)寫夠而寫成“”；“”中根號(hào)左右長(zhǎng)度沒(méi)寫夠而寫成“”；“ABCD”中平行四邊形符號(hào)“”太不規(guī)范，寫成“ 、 ”；等等。這與學(xué)生平時(shí)對(duì)“解題過(guò)程的書面表達(dá)”不夠重視有直接原因，也與教師解題教學(xué)中對(duì)“解題過(guò)程的書面表達(dá)”缺乏有效，正確的引導(dǎo)不無(wú)關(guān)系。

我們把“解題過(guò)程的書面表達(dá)”作為解題教學(xué)反思的內(nèi)容之一，正是要通過(guò)弓引起學(xué)生對(duì)“解題過(guò)程的書面表達(dá)”的重視，使他們?cè)诮忸}時(shí)做到注重正確應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，注重準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，注重解題過(guò)程的邏輯嚴(yán)密性和簡(jiǎn)潔性。避免概念錯(cuò)誤、計(jì)算錯(cuò)誤、畫圖錯(cuò)誤、論證錯(cuò)誤、勿視隱含條件錯(cuò)誤等解題鍇誤的產(chǎn)生，并克服解題過(guò)程重復(fù)累贅、“拖泥帶水”、邏輯混亂等不良現(xiàn)象，使解題過(guò)程嚴(yán)密、簡(jiǎn)潔、正確，形成嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的解題風(fēng)格。這不僅是數(shù)學(xué)解題的需要，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究和發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的需要。

總之，反思活動(dòng)對(duì)解題教學(xué)的積極作用是不容質(zhì)疑的。只要教師結(jié)合題目實(shí)際和教學(xué)目標(biāo)要求恰當(dāng)選擇引入反思內(nèi)容，定能對(duì)解題教學(xué)效益的提高大有幫助。

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