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    中證100股票指數(shù)回歸模型的實證分析

    2018-06-06 08:53:31楊思思
    關(guān)鍵詞:股票指數(shù)中證共線性

    楊思思

    (重慶工商大學(xué)融智學(xué)院 經(jīng)濟學(xué)院,重慶 巴南401320)

    一、引言

    基金經(jīng)理經(jīng)常面臨如何將大額資金快速而方便地投入或撤出股票市場,然而買進或賣出如此大量的個別股票必定會造成價格的劇烈波動,而且也可能違背基金分散投資的宗旨,就要承擔非系統(tǒng)風(fēng)險。因此,市場的流動性與投資組合的結(jié)構(gòu)是大型基金經(jīng)理非常關(guān)心的課題。

    一般情況下,個別股票的操作績效取決于三個因素:整個市場、所屬產(chǎn)業(yè)和個別公司[1]。絕大多數(shù)分析家認為,整體市場的走勢方向最重要,個股績效可能有70%取決于整體市場的走勢。第二個重要因素是產(chǎn)業(yè)的基本面發(fā)展趨勢,個股績效可能有20%來自于這方面的影響。所以,個別股票的操作績效大約只有10%來自于特定公司的營運表現(xiàn)。此外,當重大經(jīng)濟事件發(fā)生的時候,通常很容易預(yù)測整體股票市場受到的影響,卻難以判別個股反應(yīng)。為了實現(xiàn)對“整個市場”進行交易,而不是個別股票,金融市場發(fā)展出了新的交易工具——股指期貨。不同于其他期貨合約,由于經(jīng)常劇烈波動,給期貨持有者帶來巨大風(fēng)險,指數(shù)期貨便應(yīng)運而生。這些產(chǎn)品讓基金經(jīng)理得以針對市場而不是個別股票來進行交易。于是,各種股票指數(shù)與其權(quán)重股的研究備受關(guān)注[2-3],能更準確地對實際市場波動情況進行擬合,以及更加真實地反映上證指數(shù)的市場風(fēng)險特性成為建立上證指數(shù)模型的重要目標[4]。

    本文以中證100股票數(shù)據(jù)為研究對象,建立中證100股票指數(shù)與其成分股的線性回歸模型,利用嶺估計和彈性約束估計分別探討模型中嚴重存在的多重共線性。再通過限定最低門限修正彈性約束估計回歸模型結(jié)果,解決模型中部分估計系數(shù)為負值的問題。然后去除系數(shù)估計值為最低門限值的回歸變量,得到中證100股票指數(shù)模型。

    二、數(shù)據(jù)相關(guān)性分析

    數(shù)據(jù)來自大智慧軟件,選取中證100指數(shù)從2014年6月16日到2014年12月12日之間的日線數(shù)據(jù)。利用R軟件分析數(shù)據(jù)并建立模型。

    金融市場中的很多變量是相互依存的,但是沒有嚴格的函數(shù)關(guān)系。線性回歸模型常用來刻畫證券市場眾多的變量關(guān)系。然而分析變量間的相關(guān)性是建立線性回歸模型的首要任務(wù),于是利用R軟件對因變量Y(中證100指數(shù))與各成分股X1,X2,…,X100之間的相關(guān)性進行分析,得到Y(jié)與X1,X2,…,X100的相關(guān)系數(shù),結(jié)果表明有75%的相關(guān)系數(shù)均大于0.8。因此,建立因變量Y與自變量X1,X2,…,X100的線性回歸模型的初步設(shè)想是合理的。

    三、建立和診斷模型

    (一)建立模型

    中證100指數(shù)與大多數(shù)成分股存在較強的相關(guān)關(guān)系,因此可以建立中證100指數(shù)與各只股票間的線性回歸模型:

    將樣本數(shù)據(jù)代入上述回歸模型,基于最小二乘法[5],得到回歸系數(shù)β的最小二乘估計值。進一步用模型F檢驗得到p=2.2×10-16,說明模型整體擬合效果不錯,但是仍然存在很多回歸系數(shù)無法通過顯著性檢驗。此外,回歸模型中回歸系數(shù)估計值出現(xiàn)負值,這顯然與實際意義不符。

    (二)診斷模型

    線性回歸模型的建立是基于殘差項服從正態(tài)分布的假設(shè)。為了驗證線性回歸模型(1)的正態(tài)假定是否合理,需要對其殘差做夏皮羅-威爾克(Shapiro-Wilk)正態(tài)性檢驗[6]。通過R程序計算得到W=0.995 8,顯著概率為0.977,結(jié)果表明殘差滿足正態(tài)性假設(shè)。

    另一方面,自變量相關(guān)系數(shù)矩陣的條件數(shù)是度量多重共線性嚴重程度的一個重要指標。實際經(jīng)驗表明,如果條件數(shù)小于100,則認為變量間多重共線性程度較輕微,當條件數(shù)大于1 000,則認為存在嚴重的多重共線性。

    經(jīng)計算,模型(1)的100個自變量間相關(guān)矩陣的條件數(shù)為10 084 240,遠遠大于1 000。再計算其特征值,得到最大特征值為7.55,最小特征值僅為0.000 036 8,均表明模型(1)存在嚴重的多重共線性。此外,計算得到模型的均方誤差(MSE)為429 794。

    綜上所述,說明基于所有自變量X1,X2,…,X100的線性回歸模型效果不好,因此需要進一步對模型進行改進。

    (三)改進模型

    因為模型存在嚴重的多重共線性,所以必須對模型進行改進,而有偏估計是解決多重共線性最直接的方法。其中最常用的是Hoerl和Kennard提出的嶺估計[7]。

    嶺估計含有一個參數(shù)k,需要利用嶺跡法來選擇參數(shù)。其原理在于:嶺估計得到的每個回歸系數(shù)βi(k)(i=1,…,100)均是k的函數(shù),當k在[0,+∞)變化時,在平面直角坐標系所描出圖形稱為嶺跡,將100個βi(k)的嶺跡畫在同一個圖上,選擇k使得每個回歸系數(shù)的值大體穩(wěn)定,并且兼顧殘差平方和上升不太多等約束。

    通過R程序,繪出嶺跡圖如圖1所示。當k=0.2時,各條曲線基本趨于穩(wěn)定。

    圖1 嶺跡圖

    進一步通過函數(shù)Select計算,得到如下三種嶺參數(shù):HKB的k值是0.04,L-W的k值是0.004,GCV的最小值是0.04。三種k值均小于0.2,但是L-W的k值太小,計算出來的MSE仍然會很大,于是選擇k=0.04,得到如下的經(jīng)驗線性回歸方程:

    計算得到殘差平方和為81.27,MSE為5 669.44,即表明嶺估計得到的線性回歸方程能夠很好地刻畫中證100股指的趨勢。但是從方程的系數(shù)來看,負系數(shù)估計值仍然較多并且其絕對值較大,說明模型仍然有待進一步調(diào)整。

    (四)彈性約束(Elastic net)估計

    證券市場中的很多變量是相互依存的,導(dǎo)致多重共線性。因此沒有必要將高度關(guān)聯(lián)的自變量均考慮到線性回歸模型的建立中。反映在股票上,同一行業(yè)內(nèi)的股票具有很強的相關(guān)性,應(yīng)當選取該行業(yè)內(nèi)具有代表性的一支或者幾支來實現(xiàn)股票指數(shù)跟蹤。另一方面,各只股票對指數(shù)的影響程度不同,對于影響甚微的股票,沒有必用其成分股來模擬中證100指數(shù)。

    2005年Zou和Hastie通過合并嶺回歸和LASSO[8-9],提出了彈性約束估計(Elastic net)正好可以解決上述問題。利用R軟件中的Glmnlet程序包計算得到上述線性回歸模型的彈性約束估計,經(jīng)過CV交叉驗證[10],確定最佳λ值為4.53。于是得到含25個自變量的線性回歸模型:

    在實際投資實踐中,基金經(jīng)理需要用最少的股票達到對股票指數(shù)的跟蹤。這里通過彈性約束估計得到的最優(yōu)解僅僅包含了25支成分股,已經(jīng)能夠滿足持股和利用股指期貨實現(xiàn)風(fēng)險對沖的目的。此外,計算得到殘差平方和為7 144.95,彈性約束估計殘差圖如圖2所示。因此,根據(jù)彈性約束估計建立的線性回歸模型基本上可以模擬出中證100指數(shù)的實際走勢,但是擬合效果仍然不是很好。

    圖2 彈性約束估計殘差圖

    (五)修正模型結(jié)果

    利用彈性約束估計從100只股票中選出了25只,下面將進一步建立股票指數(shù)與25只股票的最小二乘線性回歸方程并檢驗其顯著性。

    計算結(jié)果表明F檢驗高度顯著,大部分變量通過了顯著性檢驗。此外,通過殘差正態(tài)性檢驗得到對數(shù)正態(tài)QQ圖,如圖3所示,只有第60日和第115日的數(shù)據(jù)不在虛線上。經(jīng)查看第60日的股票價格和指數(shù)并無太多異常,但第115日下一日的股價和指數(shù)出現(xiàn)了異常的全體上漲??傮w上,修正后的線性回歸模型擬合效果整體不錯,但不足之處在于部分回歸系數(shù)仍為負值。

    圖3 對數(shù)正態(tài)QQ圖

    而根據(jù)實際情況,中證100指數(shù)是其成分股走勢的線性組合,受成分股走勢的影響應(yīng)該為正的。下面對選出來的25個變量建立正回歸,限定最低門限為0.001 36。利用R軟件計算,得到如下的線性回歸模型:

    該模型的殘差平方和為3 432,表明模型(4)明顯好于修正前的彈性約束估計模型(3)。

    此外,模型(4)中有7個變量的回歸系數(shù)是最低門限值,即這7個變量在中證100指數(shù)追蹤中所起的作用不是特別明顯。于是嘗試將其舍去,用剩下的18個變量建立中證100指數(shù)線性回歸模型為:

    模型(5)的F檢驗高度顯著,只有3個變量未通過p=0.01的顯著性檢驗,并且所有回歸系數(shù)估計值均為正數(shù)。此外,殘差平方和為1 956,表明它比25支成分股建立的線性回歸模型的效果好。均方誤差(MSE)為142 904,遠遠小于最初100個變量建立的線性回歸模型的MSE。綜上所述,經(jīng)過此次修正后的股票指數(shù)線性回歸模型是最可行有效的。表1是中證100指數(shù)回歸模型中成分股股票以及對應(yīng)的回歸系數(shù)。圖4是其股指追蹤效果圖,表明這18只股票可以有效地模擬出指數(shù)的實際走勢。

    表1 中證100指數(shù)回歸模型成分股的權(quán)重系數(shù)

    圖4 股指追蹤圖

    三、結(jié)論

    本文以中證100股票指數(shù)及其成分股為研究對象,結(jié)合模型檢驗并不斷修正模型結(jié)果,得到了可行有效、總體效果最佳的中證100股票指數(shù)回歸模型。實證分析表明,本文所建立的中證100股票指數(shù)回歸模型具有很好的股指追蹤模擬效果,對投資者具有較高的參考價值,能夠在一定程度上降低投資風(fēng)險,提高股票投資的持續(xù)性和穩(wěn)定性。

    [1]彭春.權(quán)重股對股票指數(shù)影響的實證分析[J].科技經(jīng)濟市場,2010(9):57-58.

    [2]孫秀琳,宋軍.基于權(quán)重股的股指期貨操縱模式研究:2007—2008交易數(shù)據(jù)的實證檢驗[J].世界經(jīng)濟情況,2009(1):81-89.

    [3]楊先明,梁任敏.貨幣供應(yīng)量對我國股票價格影響的實證分析[M].昆明:云南大學(xué)出版社,2013.

    [4]周炳均,王沁,鄭興.基于兩種分布下的SV模型與GARCH模型的VAR比較[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報(社會科學(xué)版),2016(5):133-137.

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    [6]SHAPIRO S S,WILK M B.An analysis of variance test for normality(complete samples)[J].Biometrika,1965(3-4):591-611.

    [7]HOERL A E,KENNARD R W.Ridge regression:Biased estimation for nonorthogonal problems[J].Technometrics,1970(1):55-67.

    [8]ZOU H,HASTIE T.Regularization and variable selection via the elastic net[J].Journal of the Royal Statistical Society:Series B,2005(2):301-320.

    [9]TIBSHIRANI R.Regression shrinkage and selection via the lasso[J].Journal of the Royal Statistical Society:Series B,1996(1):267-288.

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