文氏圖在計量統(tǒng)計類課程教學中的應用
——以多重共線性內容為例

陳 軍

（新疆師范大學商學院，新疆 烏魯木齊 830017）

在多元線性回歸中，通常采用OLS（最小二乘法）作為估計回歸模型參數(shù)的方法，但需滿足若干基本假定，包括關于變量和模型的假定和關于隨機擾動項統(tǒng)計分布的假定。其中假設之一就是解釋變量間不存在多重共線性，但在實際研究中，模型中的解釋變量間往往存在不同程度的共線性問題，對此情形需要進行相應的消除解決，再行應用OLS。多重共線性的內容在“統(tǒng)計學”“計量經濟學”課程中都有涉及，也是教學中的一個重點和難點。在教學實踐中，一般采用定義數(shù)學方程、矩陣等講授，但涉及數(shù)學知識點多，理論講解相對費時，如果學生數(shù)學基礎不扎實，那么對這部分的內容理解起來就相對吃力。通過引入文氏圖，可有助于這部分內容講解和學生的理解。

文氏圖屬于集合論數(shù)學分支，用于展示不同集合（群組）之間的數(shù)學或邏輯關系，常被用于集合（類）運算。一般用矩形框表示論域，矩形框的內部區(qū)域即論域范圍，可視為全集，即所有可能事物的空間。單個集合用圓或橢圓表示，若兩個圓或橢圓相交，相交部分則是兩個集合所包含的公共元素；若兩個圓或橢圓不相交，則表明兩集合無公共元素。需要說明的是，文氏圖與其它的圖示法一樣，它不能準確表示一個集合（或類）中到底有哪些元素。下圖為集合A, B的文氏圖。

圖1 集合A, B的文氏圖

一、文氏圖在“多重共線性”定義及分類講解時的應用

變量λ1x1+λ2x2+…+λkxk=0之間共線性的情形有三種，分別是完全共線性、不完全多重共線性和無多重共線性。

（一）基于數(shù)學理論的多重共線性定義及分類

1.完全共線性

變量間存在完全共線性，即對于變量x1，x2，…，xk，如果存在不全為零的常數(shù)λ1，λ2，…，λk，使得下式成立：

則稱解釋變量x1，x2，…，xk之間存在完全共線性。

2.不完全共線性

變量間存在不完全共線性，即對于變量x1，x2，…，xk，如果存在不全為零的常數(shù)λ1，λ2，…，λk，使得下式成立：

則稱解釋變量x1，x2，…，xk之間存在不完全共線性，其中μ為隨機誤差項。與完全共線性不同的是，不完全共線性反映出變量間是近似線性關系，而非函數(shù)關系。因而，不完全共線性也稱近似的多重共線性，實際經濟問題的大多數(shù)情況呈現(xiàn)這種情形。

3.無多重共線性

無多重共線性是指解釋變量x1，x2，…，xk之間，既不滿足式（1），也不滿足式（2）的情形。矩陣x為滿秩矩陣，即rank(X)=k+1。應該注意到，解釋變量x1，x2，…，xk之間不存在線性相關，并不說明不存在非線性相關。由于各解釋變量x1，x2，…，xk之間往往在時間上存在同向變動趨勢，且存在不同程度關聯(lián)度，無多重共線性情形一般很少。

（二）基于文氏圖的多重共線性定義及分類——以二元線性回歸模型為例

基于文氏圖的多重共線性可分三種情形：無多重共線性、不完全共線性及完全共線性，如圖2所示。

1.完全共線性

假設線性回歸模型有兩個解釋變量x1，x2，各自代表相應變量信息。若存在常數(shù)λ1，λ2，滿足λ1x1+λ2x2=0，即解釋變量x1，x2之間存在完全共線性。用文氏圖可表示為如圖2(c)，說明變量x1反映的信息和x2反映的信息，雖然形式不同，但兩者信息是完全重復的。

2.不完全共線性

假設線性回歸模型有兩個解釋變量x1，x2，各自代表相應變量信息。若存在常數(shù)λ1，λ2，滿足λ1x1+λ2x2+μ=0，即解釋變量x1，x2之間存在不完全共線性。用文氏圖可表示為如圖2(b)情形，說明變量x1反映的信息和x2反映的信息，雖然形式不同，但兩者信息部分是重復的。變量間相關程度越大，圖形中x1，x2重復的部分越多。

3.無多重共線性

假設線性回歸模型有兩個解釋變量x1，x2，各自代表相應變量信息。若既不存在常數(shù)λ1，λ2，滿足λ1x1+λ2x2=0，也不滿足λ1x1+λ2x2+μ=0，這時解釋變量x1，x2之間不存在共線性。用文氏圖可表示為如圖2(a)情形，說明變量x1反映的信息和x2反映的信息，無交集，即解釋變量x1，x2之間線性相關系數(shù)為零，各自提供的信息無重合部分。

圖2 共線性分類的文氏圖表示

二、文氏圖在講解多重共線性檢驗時的應用

多元線性回歸模型中，如果解釋變量間存在多重共線性，但仍采用OLS方法估計模型參數(shù)，一般將產生較為嚴重的后果。以二元線性回歸模型為例，在完全共線性情形下，參數(shù)估計量將不存在，表現(xiàn)在參數(shù)估計量 和 為不定式，且方差為無窮大；而在不完全共線性的情形下，則呈現(xiàn)出參數(shù)估計量 和

的方差、置信區(qū)間伴隨x1，x2共線性程度增加而增加，同時t檢驗失效、預測精度降低、回歸模型缺乏穩(wěn)定性等影響。因此，在進行模型回歸前，一般要進行多重共線性的檢驗，主要檢驗方法包括相關系數(shù)檢驗、F-G檢驗、特征值檢驗、方差膨脹因子（VIF）檢驗等。

在實際應用中，往往考慮如下方法研判：R2或其修正值很高（F值也相應高），但某些解釋變量系數(shù)的t值卻不顯著或偏低。這時，我們就可初步判斷解釋變量x1，x2，…，xk之間可能存在多重共線性。這種結果看似矛盾，其實不然。F檢驗表明因變量與解釋變量之間的線性關系是顯著的，即因變量和解釋變量中的一個變量間的線性關系顯著，并不代表和每個解釋變量之間的線性關系都顯著。為了便于理解，可借助文氏圖3表示。

圖3 多重共線性檢驗的文氏圖表示

上圖中，X1、X2、X3分別表示多元線性回歸模型中三個解釋變量對因變量的解釋貢獻度，F(xiàn)檢驗值可理解為X1、X2、X3三個集合形成的面積。由于共線性的存在，導致無法區(qū)分X1、X2、X3對因變量的具體解釋貢獻度，盡管單獨對每個解釋變量回歸，系數(shù)呈現(xiàn)顯著性。某些解釋變量的貢獻度和另一些解釋變量的貢獻度相互重疊了。借助文氏圖，對于講授這個知識點，學生更容易理解。

三、文氏圖在線性回歸模型多重共線性分析的例題應用

為完整體現(xiàn)文氏圖在線性回歸模型多重共線性分析方面的應用，下面結合一個具體的案例來說明。

例：根據(jù)理論和經驗分析，影響國內旅游市場收入Y的主要因素，除了國內旅游人數(shù)和旅游支出之外，還可能與相關基礎設施有關。為此，考慮的影響因素主要有國內旅游人數(shù)X1，城鎮(zhèn)居民人均旅游支出X2，農村居民人均旅游支出X3，并以公路里程X4和鐵路里程X5作為相關基礎設施的代表。統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表1所示。要求建立國內旅游市場收入的多元線性回歸預測模型，并檢測共線性情況。

分析本例題模型中的變量，公路里程（X4）和鐵路里程(X5)兩個變量反映的信息應有重疊，而國內旅游人數(shù)（X1）、城鎮(zhèn)居民人均旅游支出（X2）、農村居民人均旅游支出(X3）等三個變量反映的信息應有重疊（通過相關系數(shù)矩陣也可得出），考慮模型中解釋變量間可能存在共線性問題。模型中解釋變量及隨機誤差項反映信息用圖4文氏圖表示。

本例以SPSS作為數(shù)據(jù)處理軟件，采用逐步回歸法解決多重共線性問題，實操步驟描述如下。

圖4 解釋變量及隨機誤差項反映信息的圖示

Step1：輸入數(shù)據(jù)；依次選擇“分析（A）”→“回歸（R）”→“線性（L）”進入線性回歸對話框。在“線性回歸”對話框中，將左側框內的“Y”“X1”“X2”“X3”“X4”“X5”分別移入右側“因變量（D）”和“自變量（I）”框內，對話框界面同前例。并在“方法”下選擇“逐步”。

Step2：點擊“選項”，并在“步進方法標準”下選擇“使用F的概率”，并輸入增加變量所要求的的顯著性水平（默認值為0.05）；在“刪除”框中輸入剔除變量所要求的顯著性水平（默認值為0.10）。點擊“繼續(xù)”回到主對話框。

Step3：點擊“確定”。得到部分結果如表2、3。

表2 輸入／移去的變量

表3 系數(shù)

上表給出了參數(shù)的估計值和用于檢驗的t統(tǒng)計量和p值。由此得到回歸模型：

從結果可以看出，首先被選入的變量是城鎮(zhèn)居民人均旅游支出（X2），后依次選入的變量是公路里程（X4）和農村居民人均旅游支出(X3），即在消除共線性的情形下，剔除了變量X1和X5。從經濟意義解釋，就是公路里程（X4）信息更多涵蓋鐵路里程(X5)，城鎮(zhèn)居民人均旅游支出（X2）和農村居民人均旅游支出(X3）反映的信息更多涵蓋國內旅游人數(shù)（X1），用文氏圖可表示為圖5。

圖5 回歸模型變量間文氏圖

四、結束語

通過上文分析，可以看到文氏圖在多重共線性內容講授時的優(yōu)點，主要體現(xiàn)在多重共線性定義及分類、共線性檢驗及回歸結果分析上。通過借助文氏圖，可有效提高教師的教學效果和學生對此內容的理解掌握。