初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例
——探析一次函數(shù)的圖象（第一課時）

江蘇省南京市旭東中學(xué) 丁 偉

一、教學(xué)前期準(zhǔn)備

（一）學(xué)生學(xué)情分析

《一次函數(shù)》是蘇教版八年級數(shù)學(xué)上冊第5章的內(nèi)容，在七年級的時候，學(xué)生就已經(jīng)學(xué)過“變量之間的關(guān)系”，對利用圖表來表示變量之間的關(guān)系已經(jīng)有了一些認(rèn)識，并且也能從圖象中獲取一些信息，但是對函數(shù)和圖象之間的聯(lián)系還是比較陌生，這就需要教師重點(diǎn)引導(dǎo)，幫助學(xué)生確立函數(shù)和圖象之間的對應(yīng)關(guān)系。

（二）教學(xué)任務(wù)分析

《一次函數(shù)的圖象》是在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的基本概念之后引入學(xué)習(xí)的第三節(jié)內(nèi)容，本節(jié)內(nèi)容主要介紹了正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象以及兩者之間的關(guān)系。因?yàn)榻虒W(xué)任務(wù)繁多，筆者將這節(jié)內(nèi)容劃分成了兩個課時。本課時著重講解正比例函數(shù)的圖象。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.了解一次函數(shù)的圖象是一條直線，并熟練畫出一次函數(shù)的圖象。

2.初步了解繪制函數(shù)圖象的步驟：列表、描點(diǎn)、連線。

3.理解一次函數(shù)表達(dá)式與圖象之間的對應(yīng)關(guān)系。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

1.一次函數(shù)圖象的作圖步驟；

2.一次函數(shù)圖象特征與解析式的聯(lián)系規(guī)律。

四、教學(xué)方法

合作─探究；總結(jié)─歸納。

五、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

一天，小紅離開家去上學(xué)，速度是80米/分，設(shè)小紅離家的距離為S（米），小紅出發(fā)的時間為t（分），那么S和t之間有著怎樣的關(guān)系？它是我們今天要學(xué)習(xí)的一次函數(shù)么？

我們假設(shè)t=0，那么S=0；如果t=1,那么S=80。這樣，就可以列出函數(shù)表達(dá)式：S=80t（t≥0）,而這恰恰是我們今天所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：一次函數(shù)圖象中的特殊情況——正比例函數(shù)圖象。

【小結(jié)】這個環(huán)節(jié)借助了學(xué)生較為熟悉的生活場景，讓學(xué)生在一一對應(yīng)關(guān)系中畫出圖象，得出關(guān)系式，初步感受一次函數(shù)的表達(dá)式與圖象之間的聯(lián)系，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）動手操作，自主探索

1.首先我們來學(xué)習(xí)什么是函數(shù)的圖象？

把一個函數(shù)的自變量x與對應(yīng)的因變量y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫作該函數(shù)的圖象。

例1 請畫出正比例函數(shù)y=3x的圖象。

解：列表:

描點(diǎn)：將表格中的x、y值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，將其在直角坐標(biāo)系中標(biāo)記出來。

連線：把剛剛標(biāo)記出來的點(diǎn)用直尺依次連接，這樣就可以得到函數(shù)y=3x的圖象了。

由上面的例子我們可以發(fā)現(xiàn)，畫一個函數(shù)圖象大致需要三個步驟：一是列表；二是描點(diǎn)；三是連線。

【小結(jié)】例1環(huán)節(jié)的設(shè)定，是想讓學(xué)生大致了解畫函數(shù)圖象的基本步驟，并試著自己作一個函數(shù)圖象，同時腦海里留下正比例函數(shù)圖象是一條直線的概念。

2.（1）畫出正比例函數(shù)y=-2x的圖象。

（2）在畫好的圖象上隨機(jī)取幾個點(diǎn)，找出相對應(yīng)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，記錄下來，看看其是否滿足關(guān)系式y(tǒng)=-2x。

教師將班級學(xué)生劃分為若干小組，以小組為活動單位，探究下面的幾個問題，并記錄相關(guān)結(jié)論：

（1）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-2x中的x,y所對應(yīng)的點(diǎn)，是不是都在y=-2x這個正比例函數(shù)圖象上？

（2）正比例函數(shù)y=-2x的圖象上的點(diǎn)（x，y）都滿足關(guān)系式y(tǒng)=-2x嗎？

（3）正比例函數(shù)y=k x（k≠0）的圖象有什么樣的特點(diǎn)？

解析:由上面的探究我們可以得到：正比例函數(shù)的表達(dá)式和所畫圖象是一一對應(yīng)的關(guān)系，也就是說滿足代數(shù)表達(dá)式中所有對應(yīng)的(x，y）值都在圖象上；滿足圖象上的所有點(diǎn)（x,y）都能代入檢驗(yàn)正比例函數(shù)表達(dá)式。我們可以總結(jié)出正比例函數(shù)y=k x（k≠0）的圖象是一條過原點(diǎn)的直線。

小組討論：從上面可知，正比例函數(shù)y=k x（k≠0）的圖象是一條過原點(diǎn)的直線。那么在作圖的時候有什么簡單的方法？

眾所周知，兩點(diǎn)確定一條直線，也就是說，在畫函數(shù)y=k x（k≠0）的圖象時，只需要描出直線上的兩個點(diǎn)就可以了，而有一個點(diǎn)（0,0）是已知的，只需要再確定一個點(diǎn)（1，k）就可以了。

例2 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=x,y=4x,y=-2x,y=-3x的圖象。

解：列表：

過點(diǎn)（0，0）和（1，1）作直線，則這條直線就是函數(shù)y=x的圖象。

過點(diǎn)（0，0）和（1，4）作直線，則這條直線就是函數(shù)y=4x的圖象。

過點(diǎn)（0，0）和（1，-2）作直線，則這條直線就是函數(shù)y=-2x的圖象。

過點(diǎn)（0，0）和（1，-3）作直線，則這條直線就是函數(shù)y=-3x的圖象。

【小結(jié)】這個環(huán)節(jié)的內(nèi)容主要是讓學(xué)生熟悉和掌握繪制正比例函數(shù)圖象的方法，同時引導(dǎo)學(xué)生在這幾個函數(shù)圖象中總結(jié)正比例函數(shù)的性質(zhì)以及k值對直線傾斜程度的影響。

（三）鞏固練習(xí)，加強(qiáng)理解

練習(xí)1：在同一直角坐標(biāo)系中分別做出函數(shù)y=3x與y=-4x的圖象。

練習(xí)2：對于函數(shù)y=-2x的兩個確定的值x1、x2來說，當(dāng)x1＜x2時，對應(yīng)的函數(shù)值y1與y2的關(guān)系是( )

A. y1＜ y2B. y1= y2C. y1＞ y2D. 無法確定

（四）課堂總結(jié)

提問：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們都積累了哪些知識點(diǎn)？又有哪些問題需要解答呢？

（五）課外延伸

已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，-2），則正比例函數(shù)的解析式為________ ，函數(shù)值隨著自變量的增大而_______ 。

【小結(jié)】這個環(huán)節(jié)的設(shè)計可以讓學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好的學(xué)生有另外的發(fā)展空間，讓他們的學(xué)習(xí)能力得到進(jìn)一步的提升與發(fā)展。

六、教學(xué)反思

通過對一次函數(shù)圖象第一課時的學(xué)習(xí)，我們充分了解了正比例函數(shù)表達(dá)式和圖象之間的對應(yīng)關(guān)系。教師通過數(shù)形結(jié)合的方式，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生對于正比例函數(shù)圖象的探究興趣，并給予學(xué)生親自探索和實(shí)踐的機(jī)會，讓學(xué)生得到正比例函數(shù)圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線的結(jié)論。此外，教師在鞏固練習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題，不斷提升學(xué)生解決問題的能力。