聚焦“方程和不等式”應(yīng)用型問題分析

江蘇省海門市能仁中學(xué) 花永平

在課程改革和課標(biāo)理念的指導(dǎo)下，中考命題出現(xiàn)了能力立意和題型創(chuàng)新的新型試題，考試的基本核心不僅對基本知識和基本方法的考查，更加注重了對考生學(xué)習(xí)潛能的考查，并注重為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全面提高，切實提升現(xiàn)代學(xué)生的核心素養(yǎng)，全面提高學(xué)生的應(yīng)試能力。本文結(jié)合具體例子對方程與不等式，從其綜合生長的角度涵蓋三個方面：（1）用函數(shù)圖象求方程的解和不等式的解集。（2）用幾何融合探索方程的解和不等式的解集。（3）用流程圖涵蓋方程的解和不等式的解集。幫助大家將所學(xué)知識進(jìn)行合理的串聯(lián)和有效的融合，從而對方程和不等式知識有一個再認(rèn)識、再提升的過程

一、用函數(shù)圖象求方程的解和不等式的解集

用函數(shù)圖象來求方程的解和不等式的解集。重點是關(guān)注這條直線與x軸交點的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)方程的解。而求不等式的解集就是看這條直線在x軸上方或者下方部分對應(yīng)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合即為不等式的解集。

例1 在平面直角坐標(biāo)系中，畫出的圖象，從圖象中可以發(fā)現(xiàn)哪些信息？

【分析】可以發(fā)現(xiàn)信息：

（1）直線和x軸、y軸的交點分別為A（-3，0）、B（0，4）；

（2）直線經(jīng)過一、二、三象限，并且從左向右呈上升趨勢；

（3）△AOB的面積；

（4）的解，即為A點的橫坐標(biāo)；

（5）當(dāng)x﹥-3時，y﹥0；當(dāng)x﹤-3時，y﹤0。

【點撥】以上信息都是從圖象中直觀得出來的，你發(fā)現(xiàn)了嗎？

你還能發(fā)現(xiàn)什么或提出什么問題？如：

（1）當(dāng)x滿足什么條件時，y﹥2？（在圖中找出對應(yīng)的直線在y=2的上方部分對應(yīng)的x的范圍，即為不等的解集）

（2）方的解為正數(shù)，求k的取值范圍？（在圖中找出對應(yīng)的直線與y=k的交點橫坐標(biāo)大于0時，找k的取值范圍）

（3有兩解，且有一解大于-1，求k的取值范圍？

【點撥】對于以上問題，注重開放，考查探究能力和創(chuàng)新能力。每年的中考題會出現(xiàn)一些讓人耳目一新的題，他們的精巧的構(gòu)思、生機(jī)盎然地呈現(xiàn)形式讓人注目。這些題常中見拙，拙中見巧，為不同程度的學(xué)生提供展示自己才華的平臺。假如從方程本身去思考，需分類討論；假如借助函數(shù)圖象，解題更直觀清晰。

二、用幾何融合探索方程的解和不等式的解集

例2 市區(qū)某中學(xué)九年級學(xué)生步行到郊外春游。一班的學(xué)生組成前隊，速度為4km/h，二班的學(xué)生組成后隊，速度為6 km/h。前隊出發(fā)1 h后，后隊才出發(fā)，同時，后隊派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12 km/h。若不計隊伍的長度，聯(lián)絡(luò)員在行進(jìn)過程中，離前隊的路程y（km）與后隊行進(jìn)時間x（h）之間存在著某種函數(shù)關(guān)系。

（1）求后隊追到前隊所用的時間的值；

（2）聯(lián)絡(luò)員從出發(fā)到他折返后第一次與后隊相遇的過程中，求此函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，并在直角坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象；

（3）聯(lián)絡(luò)員從出發(fā)到他折返后第一次與后隊相遇的過程中，當(dāng)x為何值時，他離前隊的路程與他離后隊的路程相等？

【分析】（1）當(dāng)x=0時，一班組成的前隊出發(fā)1小時，二班組成的后隊準(zhǔn)備出發(fā)，兩隊相差4 km，接著后隊和前隊進(jìn)行追及問題，只要簡單構(gòu)建方程就行了。

后隊追及前隊：4+4x=6x。

聯(lián)絡(luò)員追及前隊：4+4x=12x 解得x=0.5，故AC長度為6 km。

（2）當(dāng)x=0.5時，聯(lián)絡(luò)員開始折返，他與后隊進(jìn)行的是相遇運動，后前隊做的是背向運動。

聯(lián)絡(luò)員和后隊作相遇運動，他們的相遇時間：6x+12（x-0.5）=6，解

聯(lián)絡(luò)員和前隊作背向運動，他們的相距的距離：y=(4+12)(x-0.5) 。

（3）要看聯(lián)絡(luò)員在追上前隊前，還是在追上前隊返回過程中，他離前隊的路程與他離后隊的路程相等，我們可以利用直線圖，合理構(gòu)造方程即可。

【點撥】針對上述問題，所涉及的數(shù)學(xué)量比較多，信息量比較大，運動關(guān)系比較復(fù)雜，對于這一類問題，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用觀察、畫圖、計算等手段，合理求解。

【思考】同學(xué)可以想一想：聯(lián)絡(luò)員從出發(fā)到他折返后第一次與后隊相遇的過程中，當(dāng)x為何值時，他離前隊的路程大于他離后隊的路程（他離前隊的路程小于他離后隊的路程）？

【點撥】用函數(shù)的圖象來解決該問題也不失為一個很好的方法。

三、用流程圖涵蓋方程的解和不等式的解集

例3 對一個實數(shù)按如圖所示的流程圖進(jìn)行操作，規(guī)定程序運行從“輸入一個實數(shù)x”至“判斷結(jié)果是否大于244”為一次操作。

（1）若輸入實數(shù)x=11，則輸出的結(jié)果是__________；

（2）輸出的結(jié)果可能會是352嗎？

（3）若操作恰好進(jìn)行四次才停止，求x的取值范圍；

【分析】第一次：3x-2，第二次：3（3x-2）-2=9x-8，第三次：3（9x-8）-2=27x-26，第四次：3（27x-26）-2=81x-80，第五次：……

第二問：用方程思想去解答（需要分類討論）： 若是一次出結(jié)果3x-2=352，則x=118。若是兩次出結(jié)果9x-8=352，則x=40；若是三次出結(jié)果27x-26=352，則x=14；若是四次出結(jié)果81x-80=352，則x=5.333（舍去）。

第三問：建立不等式解答：27x-26≤244且 81x-80 ＞352，解得4＜x≤10。

【點撥】本題的流程圖，看似沒有方程和不等式，其實它考查的本質(zhì)就是方程和不等式，而同學(xué)們在解題就是時要抓住問題的本質(zhì)，追本溯源解決問題。

總之，我們教師應(yīng)針對初中課數(shù)學(xué)課程改革和中考的命題，在學(xué)生備考試題時要有的放矢，注意關(guān)注中考信息，認(rèn)真分析考點考什么，學(xué)生做什么，考到哪個層次，就把訓(xùn)練的標(biāo)準(zhǔn)定到哪個層次，做到以課本為基礎(chǔ)，讓學(xué)生終身學(xué)習(xí)到生活中必須的數(shù)學(xué)知識和科學(xué)的數(shù)學(xué)方法，在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的能力，真正切實提高學(xué)生運用知識解決問題的能力。方程、不等式的試題多樣，形式多變，方法多用，而解決該類問題的關(guān)鍵是弄清問題中所涉及的數(shù)量關(guān)系，選取適當(dāng)?shù)姆椒?，這樣離解決問題就近在咫尺了。這樣，學(xué)生在中考的舞臺上就能大展拳腳。