圍繞概念的核心方法設(shè)計(jì)問題

江蘇省靖江市第一高級(jí)中學(xué) 王國軍

理解概念是一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)。如果學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不清楚，就無法進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。因此我們除了要重視概念新授課的教學(xué)外，在后續(xù)的教學(xué)活動(dòng)中，特別是高三復(fù)習(xí)時(shí)還必須強(qiáng)化核心概念的復(fù)習(xí)。筆者的做法是圍繞數(shù)學(xué)概念的核心內(nèi)涵、核心思想和核心方法設(shè)計(jì)有價(jià)值的問題，以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生厘清概念的內(nèi)涵和外延，完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。下面對(duì)一節(jié)高三復(fù)習(xí)課的課堂觀察加以分析。

一、“直線與平面平行（復(fù)習(xí)）”教學(xué)案例及分析

師：今天我們復(fù)習(xí)直線與平面平行。請(qǐng)同學(xué)們完成剛發(fā)下去的導(dǎo)學(xué)案中的“知識(shí)回顧”模塊。

知識(shí)回顧：

1.直線和平面位置關(guān)系有___ 、___、___三種。

課堂觀察：少數(shù)學(xué)生回答的是平行、相交、垂直。教師強(qiáng)調(diào)垂直是相交的特殊情形。

2.填表：

___位置_______關(guān)系_____直線________在平面內(nèi)_直線與平面相交 直線與平面平行____________________________________________________________公共點(diǎn)___符______________________________________________________號(hào)表示___圖______________________________________________________形表示

3.直線與平面平行的判定定理：

文字語言：___________________________________________________ 。

符號(hào)語言：___________________________________________________ 。

圖形語言：___________________________________________________ 。

教師強(qiáng)調(diào)：“平面外”“平面內(nèi)”“平行”這三個(gè)關(guān)鍵詞。

4.直線與平面平行的性質(zhì)定理：

文字語言：___________________________________________________ 。

符號(hào)語言：___________________________________________________ 。

圖形語言：___________________________________________________ 。

筆者觀察到只有少數(shù)學(xué)生能熟練地寫出來，大部分學(xué)生只是將課本上的內(nèi)容抄到講義上。

師：根據(jù)判定定理可知，由“線線平行”可得“線面平行”；根據(jù)性質(zhì)定理可知，由“線面平行”可得“線線平行”，即“線線平行?線面平行”。將空間問題化歸為平面問題是處理立體幾何問題的重要思想。

基礎(chǔ)檢測(cè)：

1.判斷下列命題的真假，并說明理由：

①如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與該平面平行。

②過直線外一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面與這條直線平行。

③一直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則這條直線與該平面平行。

④若一直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則這條直線與該平面平行。

⑤若一直線與平面內(nèi)任意一條直線都不相交，則這條直線與該平面平行。

課堂觀察：學(xué)生在第③、第⑤兩小題的出錯(cuò)率較高。

2.已知直線a,b和平面a，則下列命題中正確的是____________。

（

（（3）

課堂觀察：學(xué)生在第（1）（3）問上出現(xiàn)錯(cuò)誤。

4.已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，求證AC∥平面EFGH。

課堂觀察：學(xué)生能順利完成這兩道題。

分析：這種“簡(jiǎn)單羅列概念+幾道基礎(chǔ)檢測(cè)題”的方式是目前高三概念復(fù)習(xí)課中比較普遍的模式。實(shí)踐證明，這種復(fù)習(xí)方式的效率不高。在復(fù)習(xí)直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，教師首先應(yīng)問學(xué)生分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么，然后引導(dǎo)學(xué)生做出正確分類?？臻g兩條直線的位置關(guān)系是通過兩次分類（是否共面、是否有公共點(diǎn)）得出兩條直線的三種位置關(guān)系的，類比到直線和平面中，也可以通過兩次分類（線是否在面內(nèi)、是否有公共點(diǎn)）得到三種位置關(guān)系，其次強(qiáng)調(diào)定義的關(guān)鍵點(diǎn)在于公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

另外，在新授課時(shí)，學(xué)生是通過直觀感知、操作確認(rèn)獲得對(duì)判定定理的認(rèn)識(shí)，并沒有給出嚴(yán)格的邏輯證明，高三復(fù)習(xí)時(shí)我們必須補(bǔ)上。原因有二：（1）數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)要求。數(shù)學(xué)定理是推出來的，而不是看出來的；（2）學(xué)生已具備這樣的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。高二階段已經(jīng)學(xué)過間接證明，對(duì)反證法的原理、步驟也比較熟悉，因此學(xué)生完全能夠接受和理解。筆者以為，除了給出證明外，教師還應(yīng)當(dāng)向?qū)W生解釋為什么可以通過“線線平行”推出“面面平行”?！熬€面平行”的判定定理的源泉是“線面平行”的定義，在判定定理中，之所以可以用平面內(nèi)的某一條直線來代替該平面，是因?yàn)椤熬€動(dòng)成面”：平面可以看成是由這條直線平行移動(dòng)而形成的。因此將這組平行線中的一條“移”到平面外（即線線平行），就可以保證它與該平面沒有交點(diǎn)（即線面平行）。這就是判定定理的本質(zhì)。

例題解析：

例1 已知α，β，γ是平面，設(shè)

例2 如圖1，在四棱錐中，四邊形ABCD是平行四邊形，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，求證：MN∥平面PAD。

圖1

圖2

教師展示學(xué)生的思路。

思路一：如圖2，取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，通過證明四邊形AMNE為平行四邊形，得到MN∥AE，從而得到MN∥平面PAD。

思路二：如圖3，連接CM并延長交DA的延長線于點(diǎn)Q，連接PQ。通過證明MN∥PQ得到結(jié)論。

思路三：如圖4，取CD的中點(diǎn)F，連接MF，NF，通過證明平面MNF與平面PAD平行，得到MN∥平面PAD。

圖3

圖4

課堂觀察：對(duì)于例1，少數(shù)學(xué)生混淆了判定定理和性質(zhì)定理。對(duì)于例2，大部分學(xué)生能想到思路一，少部分學(xué)生想到思路三。想到思路二的同學(xué)中，有一些學(xué)生連接CM后與PA相交。

教師強(qiáng)調(diào)：證明直線和平面平行的問題，只要在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行?？梢酝ㄟ^構(gòu)造平行四邊形，或?qū)ふ胰切?。另外，還可以作輔助平面，轉(zhuǎn)化為平面與平面平行的問題。

鞏固練習(xí)：如圖5，在正方點(diǎn)N在線段平面AC1B。

圖5

圖6

課堂觀察：學(xué)生的思路有如下幾種：

（1）受思維定式的影響，大部分學(xué)生試圖構(gòu)造平行四邊形，但思路受挫；

（2）有學(xué)生想到連接并延長A1B1交于點(diǎn)E，連接AE，如圖6，

同理，AM=2ME，由相似三角形知識(shí)可

由判定定理可知，MN∥平面AC1B。

（3）有一些學(xué)生想到構(gòu)造輔助平面，通過面面平行得到線面平行。思路如下：

如圖7，作NE∥A1B1，交A1D1于點(diǎn)E，作MF∥A1B1，交AA1于點(diǎn)F，連接EF，接下去不會(huì)證明平面MNEF∥平面AC1B。

圖7

師：思路二有沒有問題？

（學(xué)生搖頭）

師：A，M，E三點(diǎn)共線嗎？換句話說，直線在平面內(nèi)嗎？

學(xué)生：必須證明三點(diǎn)共線。

師：怎么證明？

學(xué)生：假設(shè)AE，A1B交于點(diǎn)M'，只要證明兩點(diǎn)M,M'重合。

師：思路三接下去怎么做？

學(xué)生：可以先證明EF∥AD1，因?yàn)锳D1∥BC1，所以EF∥BC1，就可以證得平面MNEF∥平面AC1B。

師：很好。請(qǐng)同學(xué)們自己訂正。

分析：直覺思維能力不足常導(dǎo)致學(xué)生對(duì)定理之間、定理與其他知識(shí)聯(lián)系薄弱，往往會(huì)出現(xiàn)無從下手或思維中斷，或在思辨論證時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤的現(xiàn)象，久而久之，學(xué)生就會(huì)對(duì)自己的推理能力喪失信心。因此，在教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)讓學(xué)生多觀察、多思辨，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律?？臻g問題平面化的思想是解決立體幾何中證明平行問題的核心方法，因此平面的尋找或構(gòu)造就顯得尤為重要，而學(xué)生的尋找往往表現(xiàn)出盲目性和投機(jī)性，這是教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)解決的問題。從教學(xué)過程中學(xué)生反饋的信息來看，學(xué)生更習(xí)慣于尋找平行四邊形或三角形中位線、這符合學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，因?yàn)椤捌叫芯€分線段成比例定理”在初中教材中已刪去，移到高中選修4系列“平面幾何證明選講”中，高中教師必須關(guān)注到這點(diǎn)。

二、案例的改進(jìn)

“直線與平面平行”是立體幾何中的核心概念之一，它是學(xué)習(xí)“平面與平面平行”的基礎(chǔ)。其核心思想是轉(zhuǎn)化思想（即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題），核心方法是“搭平面、得交線、線線平行”。高三復(fù)習(xí)課時(shí)，教師可以圍繞一根主線設(shè)置一些旨在揭示核心思想和核心方法的問題。通過問題引領(lǐng)，讓學(xué)生牢固樹立構(gòu)造輔助平面的意識(shí)，掌握“搭平面”的方法。本案例在兩個(gè)定理的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)可做如下改進(jìn)：

問題1：已知直線和平面平行，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)你在平面內(nèi)過點(diǎn)P作出直線的平行線，并說明理由。

問題2：如圖8是一個(gè)長方體實(shí)心木塊，要經(jīng)過平面A1C1內(nèi)一點(diǎn)P和棱BC將木塊鋸開，應(yīng)該怎樣畫線？

圖8

設(shè)計(jì)意圖：從簡(jiǎn)單問題和實(shí)際問題出發(fā)，一方面讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉“確定平面的條件”， 掌握“搭平面”的方法，另一方面強(qiáng)化問題化歸意識(shí)，通過問題引領(lǐng)學(xué)生把已有的數(shù)學(xué)知識(shí)梳理成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，理解知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)學(xué)知識(shí)與方法聯(lián)系成鏈，有助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化并完善補(bǔ)充。

在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生完成導(dǎo)學(xué)案上兩個(gè)定理部分的復(fù)習(xí)。

問題3：將一本書打開，如圖9所示放在桌面上，則書與桌面的交線互相平行，為什么?

問題4：將一本書打開豎立在桌面上（如圖10），P，Q分別是AC,BE上的點(diǎn)，請(qǐng)思考：（1）若P,Q分別是AC,BE上的中點(diǎn)，試判斷直線PQ與桌面的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AP=BQ，上述結(jié)論還成立嗎？

圖9

圖10

設(shè)計(jì)意圖：“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨認(rèn)證、度量計(jì)算”是我們探索和認(rèn)識(shí)空間圖形及其性質(zhì)的主要方法，對(duì)立體幾何中核心概念的復(fù)習(xí)依然必須遵循這個(gè)原則。這兩個(gè)問題實(shí)質(zhì)上就是案例中的兩個(gè)例題，只不過圍繞“書本的擺放”這根主線，將它們串起來，顯得結(jié)構(gòu)緊湊。問題3是判定定理和性質(zhì)定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用，有了問題1和2的鋪墊，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠順利完成。教學(xué)時(shí)教師要注意引導(dǎo)學(xué)生將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言。關(guān)于問題4的處理，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度探究解決方案，同時(shí)幫助學(xué)生固化“搭平面”的方法：“直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面”“兩條相交直線可以確定一個(gè)平面”“兩條平行直線可以確定一個(gè)平面”等，準(zhǔn)確地畫出兩個(gè)平面的交線是難點(diǎn)。對(duì)于文科生和基礎(chǔ)不太好的理科生，教學(xué)時(shí)可以適當(dāng)安排幾道畫兩個(gè)平面交線的練習(xí)題，幫助學(xué)生克服這個(gè)難點(diǎn)。

學(xué)生練習(xí)：

1.如圖11，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,N分別是A1B和CC1的中點(diǎn)，求證：MN∥平面ABCD。

2.如圖12，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是AB上一點(diǎn)，且AM∶MB=1∶2，試問在PC上是否存在一點(diǎn)N，使得MN∥平面PAD？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)N的位置；若不存在，說明理由。

3.案例中的鞏固練習(xí)題。

圖11

圖12

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這組練習(xí)的目的是為了鞏固與深化定理的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力，讓學(xué)生在不同的圖形背景中體驗(yàn)和感悟共性的東西，掌握不同問題的相同解法，逐步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，形成有效的解題策略，積累解題經(jīng)驗(yàn)。練習(xí)2將證明題改成探究題，進(jìn)一步幫助學(xué)生掌握“搭平面”的方法。

基于對(duì)螺旋式課程的認(rèn)識(shí)，筆者在案例改進(jìn)中，緊緊圍繞其核心方法，將教材中的一些問題精心改編成相應(yīng)的問題串，引導(dǎo)學(xué)生思考、概括、提煉數(shù)學(xué)方法，不僅能讓學(xué)生熟練地解答本模塊的常見問題，還可以幫助學(xué)生對(duì)教材中一些有重要應(yīng)用的基本圖形和解題方法形成基本模式，養(yǎng)成從常見問題發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的習(xí)慣和能力。在問題解決過程中，教師要在學(xué)生思維的基礎(chǔ)上適時(shí)介入，幫助學(xué)生明確思維走向、清除思維障礙、糾正錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)真正的有效教學(xué)。

[1]陸學(xué)政.“直線與平面平行的判定”的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2014（3）.

【備注：基金項(xiàng)目——江蘇省教育科學(xué)十二五規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)核心概念后續(xù)教學(xué)的實(shí)踐研究”（B—a/2013/02/038）】