淺談唯物辯證思想在高等數(shù)學教學中的滲透

高大成

摘 要：數(shù)學蘊含著豐富的唯物辯證思想?，F(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式是數(shù)學主要研究對象，事物都在運動和變化之中，運動和變化是一個量變到質(zhì)變的過程。教師可以通過對無窮小、拐點、曲線的切線和變速直線運動的路程等概念和方法的分析，闡述高等數(shù)學教學中唯物辯證思維方法的滲透。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學教學；唯物辯證思想；滲透

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）16-0006-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.16.002

高等數(shù)學具有的高度抽象性、嚴謹?shù)倪壿嬓院蛻玫膹V泛性等特點，數(shù)學思想內(nèi)容深刻，處理問題方法巧妙，悠久的歷史和辨證的思維特點決定了具有對學生進行唯物辯證思想教育的很好基礎(chǔ)。作為教師要依據(jù)教材，以學生為本設(shè)計教學方案，匠心獨運地創(chuàng)設(shè)出對學生進行唯物辯證思想教育的滲透點，把握時機、創(chuàng)設(shè)氛圍，把唯物辯證思想在數(shù)學教學中的滲透工作做到實處。

一、唯物辯證思想與高等數(shù)學

恩格斯說過：“要辨證而又唯物地了解自然，就必須掌握數(shù)學?！爆F(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式是數(shù)學主要研究對象，事物都在運動和變化之中，運動和變化是一個量變到質(zhì)變的過程。事物量的變化以及量與量之間關(guān)系的變化都可以由數(shù)學來刻畫和研究，對事物空間存在形式的研究同樣離不開數(shù)學。

法國著名數(shù)學家家笛卡兒將變量引入了數(shù)學，創(chuàng)造了坐標的概念，創(chuàng)建了解析幾何學，用代數(shù)的方法可以證明幾何定理及解決相關(guān)問題，并且利用直觀的幾何概念有力推動解析幾何的研究和發(fā)展，這得到了恩格斯的高度評價：“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學；有了變數(shù)，微分和積分也就成為必要的了?！钡芽柕慕馕鰩缀螌W在數(shù)學史上做出了劃時代的改變，推動了唯物辯證思想的發(fā)展。

關(guān)于微積分學的創(chuàng)立，做出重大貢獻的是英國科學家牛頓和德國科學家萊布尼茨，他們在深入研究的基礎(chǔ)上各自獨立地創(chuàng)立了微積分，恩格斯指出：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分學的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了。”“只有微積分學才能使自然科學有可能用數(shù)學來不僅表明狀態(tài)，并且也表明過程、運動”。馬克思、恩格斯從數(shù)學中挖掘出固有的辯證思想并進行了哲學意義上的闡發(fā)。

二、極限方法在微積分中的應用

對于微積分，極限概念及其應用起了基礎(chǔ)性的作用。例如，作為數(shù)量變化過程或趨勢的無窮?。╪趨于∞），在其變化過程中，其特征是可以任意小。但在任何固定時刻，對于一個非負自然數(shù)n無論有多大，是一個確定的正數(shù)，當n趨于∞時，對于任意小的正數(shù)ε，我們可以確定相應的正整數(shù)N，使得當n>N時，常數(shù)<ε成立，這時我們說當n趨于∞時，=0?！唉?N”和“ε- δ”語言是微積分的理論基礎(chǔ)，這些“有限和無限”及其變化充分體現(xiàn)了唯物辯證思想。

在求曲線y=f（x）的切線教學中，首先是求曲線在點M處的切線的斜率，方法是在曲線上取M外的一點P，確定割線MP的斜率，在點P沿曲線無限地趨近點M的過程中割線MP的極限位置就是曲線在點M處的切線，就是說在此變化過程中割線MP斜率的極限就是曲線y=f（x）在M處切線的斜率.體現(xiàn)了事物的變化是從量變開始，量變是質(zhì)變的必要準備，質(zhì)變是量變的必然結(jié)果這一唯物辯證思想。

在微積分中作為連續(xù)曲線上凹凸分界點的拐點概念，在一定范圍內(nèi)，凹凸不會改變，但是一旦突破這個范圍，凹凸就會改變。一切事物都是數(shù)量和質(zhì)量的統(tǒng)一體，量變是質(zhì)變的必要準備，質(zhì)變是量變的必然結(jié)果，兩者相互滲透，相互依存，事物的發(fā)展遵循質(zhì)量互變、有限與無限的對立統(tǒng)一

三、在用極限方法求變速直線運動的路程中滲透唯物辯證思維方法

已知運動物體進行變速線性運動，其速度ν是時間t的函數(shù)ν（t），求物體從時間t=0到t=t0經(jīng)過的路程S。我們可以通過有限而無限的相互轉(zhuǎn)化來解決“變”與“不變”的矛盾，就是極限方法。

1.“化整為零”進行分割：

把時間區(qū)間[0，t0]被分成n個小區(qū)間，表示為t0，t0（i=1，2，......，n），每個小區(qū)間長度為？駐t=，每個區(qū)間內(nèi)物體運動距離分別表示為？駐Si（i=1，2，......，n）。

2.近似替換的“勻代非勻”

在每個小區(qū)域內(nèi)，以勻速直線運動的距離近似代替變速度運動距離，在t0，t0上任取時刻？孜i（i=1，2，......，n），用在時間？孜i處的速度V（？孜i）近似代替物體在第i個小區(qū)間的速度，每個小區(qū)間中物體的行進距離可表示為？駐Si≈ν（？孜i）？駐t（i=1，2，......，n）。

3.進行化整為零的反過程

物體在時間區(qū)間[0，t0]移動的距離S用分割為n個小區(qū)間上做n個勻速直線運動的路程和近似代替，即S=？駐Si≈ν（？孜i）？駐t；

4.取極限，“量變到質(zhì)變”：求和式ν（？孜i）？駐t的極限：當所分時間越短，和式的值就越接近S，因此，當n→∞時，即

？駐t=→0時S=ν（？孜i）？駐t，就是物體在時間間隔[0，t0]內(nèi)行進的距離，解決此類問題的共同特點是用極限方法處理如“曲”與“直”“變”與“不變”等問題，反映了事物發(fā)展變化的否定過程。從有限中認識無限，把握無限。在此思想方法中，需把握有限向無限的轉(zhuǎn)化，以及無限轉(zhuǎn)化為有限。在高等數(shù)學教學中，教師應重視唯物辯證思維方法的運用和滲透，充分認識過程與結(jié)果、有限與無限、常量與變量、量變與質(zhì)變等的對立統(tǒng)一。

類似的例子我們可以舉出好多，從導數(shù)、定積分、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分等相關(guān)內(nèi)容中隨處可以滲透唯物辯證思想的教育。例如，定積分和不定積分，不定積分指的是所有原函數(shù)，定積分是一個數(shù)，是一個和式的極限，兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系，可用馬克思主義哲學中的普遍聯(lián)系的觀點進行剖析。