BR0代數(shù)的猶豫模糊濾子與理想

彭家寅

PENG Jiayin

內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641199

School of Mathematics and Information Science,Neijiang Normal University,Neijiang,Sichuan 641199,China

1 引言

現(xiàn)實(shí)世界中存在著許許多多的不確定型與不精確問(wèn)題，而建立在Contor集合論上的經(jīng)典數(shù)學(xué)工具卻很難甚至無(wú)法處理這類問(wèn)題。1965年，Zadeh對(duì)Contor的集合進(jìn)行了推廣，提出模糊集理論[1]，在某種程度上有效地解決了一些不確定問(wèn)題。隨后，模糊集理論得到了迅速發(fā)展，研究者們提出了直覺(jué)模糊集理論[2]、vague理論[3]、區(qū)間數(shù)理論[4]等等作為數(shù)學(xué)工具來(lái)處理嵌入在系統(tǒng)中不同類型的不確定性和不精確性問(wèn)題，豐富和發(fā)展了經(jīng)典的模糊集理論。然而，這些理論都存在一定的局限性[5]，在較多決策問(wèn)題中，許多決策者在做決策時(shí)常常是猶豫的，在幾個(gè)可能方案之間徘徊，并且不同決策者的可能方案數(shù)目通常是不同的，像這樣的問(wèn)題用上述理論模型很難準(zhǔn)確描述。為此，Torra[5]引入了猶豫模糊集，從一個(gè)新的角度擴(kuò)展了Zadeh經(jīng)典模糊集理論，它允許其元素的隸屬度有多個(gè)可能值。猶豫模糊集引起了國(guó)內(nèi)外研究者們的濃厚興趣，其理論與應(yīng)用得到了快速發(fā)展[6-14]。

1993年C.Elkan博士在美國(guó)第十一屆人工智能年會(huì)上的一篇報(bào)告“模糊邏輯似是而非的成功”引起了學(xué)者們關(guān)于模糊邏輯的意義和應(yīng)用的一場(chǎng)激烈的爭(zhēng)論。這場(chǎng)爭(zhēng)論的各方都或多或少，有意無(wú)意地觸及到了模糊控制的核心“部件”——“模糊推理”。為了將模糊推理納入到嚴(yán)格的邏輯框架之中，王國(guó)俊教授[15]建立了一種模糊命題演算的形式演繹系統(tǒng)L?和與之在語(yǔ)義上相匹配的R0代數(shù)。吳洪博教授在此基礎(chǔ)上提出了基礎(chǔ)L?系統(tǒng)和基礎(chǔ)R0代數(shù)，即BL?系統(tǒng)和BR0代數(shù)[16]，文獻(xiàn)[17-18]進(jìn)一步探究基礎(chǔ)L?系統(tǒng)和基礎(chǔ)R0代數(shù)問(wèn)題。從文獻(xiàn)[16-18]可以看出MV代數(shù)是BR0-代數(shù)的特例，Lukasiewicz模糊命題演算系統(tǒng)是BL?系統(tǒng)的擴(kuò)張，并且BR0代數(shù)與Hajek[19-20]提出的BL代數(shù)有本質(zhì)的不同，這就意味著對(duì)BR0代數(shù)的研究是很有意義的工作。眾所周知，濾子理論與理想理論在邏輯代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)研究中扮演著十分重要的角色。文獻(xiàn)[21]引入了BR0代數(shù)的模糊濾子與模糊素濾子的概念，研究了其相關(guān)性質(zhì)。文獻(xiàn)[22]提出了BR0代數(shù)的模糊理想和模糊素理想的概念，研究了它們的基本性質(zhì)，給出了BR0代數(shù)的模糊集構(gòu)成模糊理想的條件。本文，將猶豫模糊集應(yīng)用于BR0代數(shù)中，建立擬BR0代數(shù)的猶豫模糊濾子與理想理論，研究其性質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征。

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]設(shè)X為一個(gè)給定的集合，一個(gè)X上的猶豫模糊集的定義如下：

其中是由區(qū)間[0，1]上若干個(gè)不同值構(gòu)成的集合，表示X中的元素x屬于集合的若干種可能隸屬度。

設(shè)為X上的猶豫模糊集，P([0,1])為區(qū)間[0,1]的冪集。稱集合

為猶豫水平集，其中γ∈P([0,1])。

定義2[16]設(shè) X是(?,∨,→)型代數(shù)，如果 X 上有偏序≤使(X,≤)成為有界分配格，且∨是關(guān)于序≤的上確界運(yùn)算，?是關(guān)于序≤的逆序?qū)蠈?duì)應(yīng)，且

其中1是(X,≤)的最大元，則稱X為基礎(chǔ)R0代數(shù)，記為BR0代數(shù)，并記0=?1。以下用符號(hào)'表示?，并在BR0代數(shù) X 中引入圈乘運(yùn)算：?:x?y=(x→y′)′，可以證明圈乘運(yùn)算?和蘊(yùn)涵算子→構(gòu)成伴隨對(duì)。

定義3[23]設(shè)X為BR0代數(shù)且F?X，稱F為X的濾子，如果對(duì)任意x,y∈X，有

若F為X的濾子且F≠X，則稱F為X的真濾子。

定義4[23]設(shè)X為BR0代數(shù)且I?X，稱I為X的理想，如果對(duì)任意x,y∈X，有

若I為X的理想且1?I，則稱I為X的真理想；進(jìn)一步，當(dāng) x∧y∈I有 x∈I或 y∈I，則稱I為X的素理想。

3 BR0代數(shù)的猶豫模糊濾子

定義5BR0代數(shù)X上的一個(gè)猶豫模糊集叫作X的一個(gè)猶豫模糊濾子，如果它滿足

設(shè)為X的一個(gè)猶豫模糊濾子，若存在x∈X使得，則稱為 X 的一個(gè)猶豫模糊真濾子。

定理1設(shè)為BR0代數(shù)X的一個(gè)猶豫模糊濾子，如果 x,y∈X 使得 x≤y ，那么。

證明設(shè) x,y∈X使得 x≤y，則 x→y=1。由為 X 的一個(gè)猶豫模糊濾子，所以

定理2設(shè)為BR0代數(shù)X的猶豫模糊真濾子，則

證明若，因1是X 的最大元及?為逆序?qū)系?，故?duì)任意 x∈X ，x′≤1，0=1′，進(jìn)而 x′→1=1，

0′=1 。由定理1和定義5（2）可以得知，。結(jié)合定義 5（1）有，，這與為 X 的猶豫模糊真濾子矛盾，所以。

定理3設(shè)為BR0代數(shù)X上的猶豫模糊集，則為X的猶豫模糊濾子的充要條件是對(duì)任意γ∈P([0,1])，當(dāng)時(shí)，X,γ)為 X 的濾子。

證明假設(shè)為X的猶豫模糊濾子，γ∈P([0,1])且，則存在 x∈X 使得。由定義5（1）知，，故 γ ? h(1)，即。假設(shè)且，則且。由定義5（2）知，。按定義3，X(,γ)為 X 的濾子。

反之，假設(shè)對(duì)任意 γ∈P([0,1])，當(dāng)時(shí)，X(,γ)為 X 的濾子。對(duì)任意 x∈X ，記，則 x∈X(,γ)且 X(,γ)為 X 的濾子。于是 1∈X(,γ)，也就是，即定義5（1）成立。對(duì)任意 x,y ∈X ，記，，則

且為 X 的濾子。由定義3可知，y∈X(,α?β)，進(jìn)而

即定義5（2）成立。綜上所述，為X的猶豫模糊濾子。

推論1設(shè)為BR0代數(shù)X的猶豫模糊濾子，則為 X 的濾子。

推論2設(shè)為BR0代數(shù) X的猶豫模糊濾子且a∈X ，則為 X 的濾子。

推論3設(shè)A為BR0代數(shù)X的濾子，且α,β∈P([0,1])使得α?β。定義X上的猶豫模糊集如下：

則為X的猶豫模糊濾子。

定理4設(shè)和為BR0代數(shù)X的猶豫模糊濾子，則?是X的猶豫模糊濾子。

證明對(duì)任意x∈X，

又任意x,y∈X，都有：

所以?是X的猶豫模糊濾子。

定義6設(shè)X和Y都是BR0代數(shù)，f是BR0代數(shù)X到BR0代數(shù)Y的同態(tài)映射，與分別是X和Y上的猶豫模糊集，則由 f可誘導(dǎo)出兩個(gè)猶豫模糊集f()和 f-1()：

注：hf()的定義等價(jià)于：對(duì)于任意

定理5設(shè)X和Y都是BR0代數(shù)，f是BR0代數(shù)X到BR0代數(shù)Y的同態(tài)映射。

（1）若為X的猶豫模糊濾子，且 f是同構(gòu)映射，則 f()為Y的猶豫模糊濾子。

（2）若為Y 的猶豫模糊濾子，則 f-1()為 X 的猶豫模糊濾子。

證明（1）?y∈Y ，因 f同構(gòu)，故

這里1X和1Y分別是X和Y中的最大元。對(duì)任意y1,y2∈Y，因 f為同構(gòu)映射，所以分別存在 x1,x2∈X使得f(x1)=y1，f(x2)=y2。于是 f(x1→x2)=y1→y2，故

所以 f()為Y的猶豫模糊濾子。

（2）因 f為同態(tài)映射，f(1X)=1Y。對(duì)任意x∈X都有，。對(duì)任意 x1,x2∈X ，令 f(x1)=y1，f(x2)=y2，則 y1,y2∈Y且

故

所以 f-1()為X的猶豫模糊濾子。

4 BR0代數(shù)的猶豫模糊理想

定義7設(shè)為BR0代數(shù)X的猶豫模糊集，稱為X的猶豫模糊理想，如果它滿足

設(shè)為 X的猶豫模糊理想，若存在 x∈X使得，則稱為 X 的猶豫模糊真理想。

定理6設(shè)為BR0代數(shù)X的猶豫模糊理想，若x,y∈X 使得 x≤y ，則。

證明設(shè) x,y∈X 且 x≤y，則 x→y=1。又為X的猶豫模糊理想，依定義7有：

所以結(jié)論成立。

定理7設(shè)為 X的猶豫模糊真理想，則

證明若，則對(duì)任意 x∈X ，由定義 7知 ，h(0)=h(0)，結(jié)合定義7（1）知，h(x)=h(0)對(duì)任意 x ∈X都成立，這與為X的猶豫模糊真理想矛盾，所以h(1)≠h(0)。

定理8設(shè)為BR0代數(shù)X的猶豫模糊集，則為X的猶豫模糊理想的充要條件是：對(duì)任意γ∈P([0,1])，當(dāng) X(,γ)≠? 時(shí)，X(,γ)為 X 的理想。

證明假設(shè)為X的猶豫模糊理想，γ∈P([0,1])且 X(,γ)≠? ，則存在 x∈X 使得 h(x)? γ ，由定義7（1）知，h(0)? h(x)?γ ，所以 0∈X(,γ)。假設(shè) y∈X(,γ)，(x → y)′∈ X(,γ)，則 h(y)? γ 且 h((x → y)′)?γ 。 由 定 義 7（2）知 ，h(x)? h(y) ?h((x → y)′)?γ?γ=γ ，所以 x∈X(,γ)，因此 X(,γ)為 X 的理想。

反 之 ，設(shè) 任 意 γ∈P([0,1])，當(dāng) X(,γ)≠? 時(shí) ，X(,γ)為 X 的理想。對(duì)任意 x∈X ，記 h(x)=γ ，則x∈X(,γ)且 X(,γ)為 X 的理想。由定義 4（1）知，0∈X(,γ)，于是 h(0)?γ=h(x)，即定義 7（1）成立。對(duì) 任 意 x,y∈X ，記 h(y)=α ，h((x→y)′)=β ，則y∈X(,α?β)且 (x→y)′∈ X(,α?β)。因 X(,α?β)為 X 的理想，則 x∈ X(,α?β)，從而 h(x)?α?β=h(y)? h((x → y)′)，即定義7（2）成立。綜上所述，為X的猶豫模糊理想。

推論4設(shè)I為BR0代數(shù)X的理想，且α,β∈P([0,1])使得α?β。定義X上的猶豫模糊集如下：

則為X的猶豫模糊理想。

推論5設(shè)為BR0代數(shù)X的猶豫模糊理想，則{x ∈ X|h(x)=h(0)}為 X 的理想。

推論6設(shè)為BR0代數(shù) X的猶豫模糊理想且a∈X ，則 {x∈X|h(a)?h(x)}為 X 的理想。

定理9設(shè)和都是BR0代數(shù)X的猶豫模糊理想，則?也是X的猶豫模糊理想。

證明對(duì)任意x∈X，有

對(duì)任意x,y∈X，有

這就表明?是X的猶豫模糊理想。

注若和都是BR0代數(shù)X的猶豫模糊理想，但?未必是X的猶豫模糊理想。例如，令X={a,b,c}，則(2X;?,∨,→)為 BR0代數(shù)，其中2X為 X 的冪集，任意A,B?X，?A=X-A，A∨B=A?B，A→B=?A∨B。定義2X的猶豫模糊集和為：

可以驗(yàn)證和都是BR0代數(shù)2X的猶豫模糊理想，但?不是2X的猶豫模糊理想，這是因?yàn)椋虼?/p>

定理10設(shè)X和Y都是BR0代數(shù)，f是BR0代數(shù)X到BR0代數(shù)Y的同態(tài)映射。

（1）若為X的猶豫模糊理想，且 f是同構(gòu)映射，則 f()為Y的猶豫模糊理想。

（2）若為Y 的猶豫模糊理想，則 f-1()為 X 的猶豫模糊理想。

證明（1）對(duì)任意y∈Y，總有

這里0X∈X，0Y∈Y。又對(duì)任意y1,y2∈Y，因?yàn)?f為同態(tài)映射，所以存在x1,x2∈X使得f-1(y1)={x1}，f-1(y2)={x2}并且

于是

所以 f()為Y的猶豫模糊理想。

（2）因f為同態(tài)映射，所以f(0X)=0Y。對(duì)任意x∈X,有即定義7（1）成立。對(duì)任意x1,x2∈X，因?yàn)閅的猶豫模糊理想，故因 f是同態(tài)映射，所以

按照定義6關(guān)于猶豫模糊集 f-1()的定義知，。 綜 上 所 述 ，f-1()為X的猶豫模糊理想。

定義8設(shè)為BR0代數(shù)X的猶豫模糊真理想，如果滿足：對(duì)任意 x,y∈X ，都有 h(x∧y)?h(x)?h(y)，則稱為 X 的猶豫模糊素理想。

定理11設(shè)為BR0代數(shù)X的猶豫模糊真理想，則為X的猶豫模糊素理想的充要條件是：對(duì)任意x,y ∈ X ，有 h(x ∧y)=h(x)? h(y)。

證明充分性：顯然成立。

必要性：由定義8知，h(x∧y)? h(x)? h(y)對(duì)任意x,y∈X成立。又因?yàn)閄的猶豫模糊理想，依定理6知，h(x ∧y)? h(x)且 h(x ∧y)? h(y)，故

所以

定理12設(shè)為BR0代數(shù)X的猶豫模糊素理想，則 h(x ∨ y)=h(x ∧ y)。

證明因?yàn)閄的猶豫模糊素理想，由定義7（2）知，

結(jié)合定理6有，h(x ∨ y)? h(x)且h(x ∨ y)? h(y)，所以 h(x ∨ y)? h(x)? h(y)=h(x ∧ y)，故 h(x ∨y)=h(x ∧y)。

定理13設(shè)為BR0代數(shù)X的猶豫模糊素理想，則對(duì)任意 γ ∈P([0,1])，當(dāng) X(,γ)≠? 時(shí)，X(,γ)為 X的素理想。

證明因?yàn)閄的猶豫模糊理想，由定理8知，對(duì)任意 γ ∈P([0,1])，當(dāng) X(,γ)≠? 時(shí)，X(,γ)為 X 的理想。設(shè) x∧y∈X(,γ)，則h(x∧y)?γ，由定理11知，h(x)?h(y)? γ ，故 h(x)? γ 且 h(y)? γ ，即 x ∈ X(,γ)，y∈X(,γ)，因此 X(,γ)是 X 的素理想。

注定理13的逆命題不真。對(duì)任意γ∈P([0,1])，當(dāng)X(,γ)≠? 時(shí)，X(,γ)為 X 的素理想。由定理8知，為X的猶豫模糊理想。令X={0,a,b,1}，X上的序關(guān)系為0≤a≤b≤1，可以證明X為BR0代數(shù)。定義X上的猶豫模糊集:X → P([0,1])，滿足 h(0)? h(a)? h(b)?h(1)，令 γ =h(a)，則 X(,γ)={0,a}為 X 的素理想。但h(a ∧ b)=h(a)? h(b)，所以 h(a ∧ b)? h(a)? h(b)，故為X的猶豫模糊素理想。

定理14設(shè)為BR0代數(shù)X的猶豫模糊素理想，記 F={x∈X|h(x)=h(0)}，則 F 為 X 的素理想。

證明由推論5知，F(xiàn)為X的理想。設(shè)x∧y∈F，則 h(x∧y)=h(0)。因?yàn)?BR0代數(shù) X 的猶豫模糊素理想，所以 h(x)∧ h(y)=h(x ∧ y)=h(0)，于是 h(x)?h(0)且 h(y)? h(0)。由定義7（1）知，h(x)? h(0)且h(y)? h(0)，因此h(x)=h(0)=h(y)，故 x ∈ F，y ∈ F，這表明F為X的素理想。

類似于定理10的證明，可以得到如下定理。

定理15設(shè)X和Y都是BR0代數(shù)，f是BR0代數(shù)X到BR0代數(shù)Y的同態(tài)映射。

（1）若為X的猶豫模糊素理想，且 f是同構(gòu)映射，則 f()為Y 的猶豫模糊素理想。

（2）若為Y 的猶豫模糊素理想，則 f-1()為 X的猶豫模糊素理想。

5 結(jié)論

不確定性常常出現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)世界的許多問(wèn)題中，模糊集及其擴(kuò)展為處理這些不同問(wèn)題的不確定性提供了成功理論與方法。猶豫模糊集就是其中一個(gè)為處理猶豫情境下不確定性問(wèn)題的拓展版，并且已成功地應(yīng)用于決策問(wèn)題中，然而用之探究代數(shù)結(jié)構(gòu)的文獻(xiàn)不多。另一方面，BR0代數(shù)中模糊理想理論的研究在技術(shù)上是比較困難的，到目前為止研究文獻(xiàn)很少。為此，本文將猶豫模糊集應(yīng)用于BR0代數(shù)的理想理論中，引入了猶豫模糊濾子、猶豫模糊理想和猶豫模糊素理想的概念，研究它們基本性質(zhì)，給出了BR0代數(shù)的猶豫模糊集成為猶豫模糊濾子、猶豫模糊理想和猶豫模糊素理想條件。說(shuō)明了猶豫模糊素理想的任何非空子集是素理想，但反之不然。證明了猶豫模糊濾子、猶豫模糊理想及猶豫模糊素理想在交運(yùn)算及BR0代數(shù)同構(gòu)運(yùn)算下的不變性。用猶豫模糊集去研究BR0代數(shù)結(jié)構(gòu)的這一思想方法，也可以用于研究MV-代數(shù)、格蘊(yùn)涵代數(shù)、MTL-代數(shù)、Heyting代數(shù)、BCK-代數(shù)等邏輯代數(shù)結(jié)構(gòu)，乃至群、環(huán)、域等一般代數(shù)結(jié)構(gòu)討論中。

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