同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像位置關(guān)系探究

☉湖北省武漢市武漢中學(xué) 劉志江

三個(gè)函數(shù)y=ax、y=x和y=logax有哪些位置關(guān)系？當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=ax的圖像恒在直線y=x的上方嗎？答案是否定的.事實(shí)上，對(duì)于y=2x，y=3x的圖像來說，它們?cè)谥本€y=x的上方，但是，像y=1.2x，當(dāng)x=2時(shí)，y=1.22=1.44＜2，即可知f（x）=1.2x不是恒在直線y=x的上方.下面我們利用對(duì)函數(shù)y=ax、y=logax與y=x的圖像之間的位置關(guān)系進(jìn)行探討.

一、函數(shù)y=ax與y=x的圖像的位置關(guān)系

令f（x）=ax-x，則f′（x）=axln a-1.

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f′（x）=axln a-1＜0，函數(shù)f（x）=ax-x在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，因?yàn)閒（0）=a0-0=1＞0，f（1）=a-1＜0，所以f（0）f（1）＜0，故在區(qū)間（0，1）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=ax與函數(shù)y=x在區(qū)間（0，1）有且僅有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)a＞1時(shí)，若f′（x）=axln a-1=0，則x=-loga（ln a）存在，此時(shí)f（-loga（ln a））=a-loga（lna）+loga（ln a）=logae+loga（ln a）=loga（eln a）.

當(dāng)a＞1時(shí)，列表如下：

x（-∞，-log a（ln a））-log a（ln a）（-log a（ln a），+∞）f′（x）=ax ln a-1-0+f（x）=ax-x減函數(shù)最小值log a（eln a）增函數(shù)

若最小值log（aeln a）＞0，即eln a＞1，得這就是說時(shí)，函數(shù)（fx）=ax-x沒有零點(diǎn)，即y=ax與y=x相離；

若最大值log（aeln a）=0，即eln a=1，得，這就是說當(dāng)時(shí)，函數(shù)（fx）=ax-x只有一個(gè)零點(diǎn)，即y=ax與y=x相切，此時(shí)x=-log（aln a）=e，即切點(diǎn)為點(diǎn)（e，e）；

若最大值log（aeln a）＜0，即eln a＜1，得這就是說當(dāng)時(shí)，函數(shù)（fx）=ax-x有兩個(gè)零點(diǎn)，即y=ax與y=x相交.

二、函數(shù)y=log ax與y=x圖像的位置關(guān)系

令g（x）=logax-x，其中x∈（0，+∞）.

因?yàn)間（′x），所以討論如下：

1.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，＜0，函數(shù)g（x）=logx-x在a（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，由于g1-a＞0，所以g，故在區(qū)間）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=logax與y=x在區(qū)間有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

2.當(dāng)a＞1時(shí)，則x=log e＞0存在，a

當(dāng)a＞1時(shí)，列表如下：

x （0，log a e） log a e （log a e，+∞）g′（x）=log a e x-1 + 0 -g（x）=log ax-x 增函數(shù)最大值log a（ ）1 e log a e 減函數(shù)

（1）若最大值這就是說當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）=logax-x沒有零點(diǎn)，即函數(shù)y=logax與y=x的圖像相離；

（2）若最大值這就是說當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）=logax-x有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=logax與y=x的圖像相切，此時(shí)x=logae=e，切點(diǎn)為點(diǎn)（e，e）；

（3）若最大值，這就是說當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）=logax-x有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=logax與y=x的圖像相交.

三、函數(shù)y=ax與y=log ax的圖像之間的位置關(guān)系

由于函數(shù)y=ax與y=logax互為反函數(shù)，所以由以上的討論可知：

2.當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=ax與y=logax的圖像都和直線y=x相切于點(diǎn)（e，e）.

3.當(dāng)，由以上討論可知，函數(shù)y=ax與y=logax的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，并且這兩個(gè)交點(diǎn)都在直線y=x上.

4.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=ax與y=logax的圖像之間有怎樣的位置關(guān)系？它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn)嗎？為此，我們構(gòu)造函數(shù)如下：

令h（x）=ax-logax，其中x∈（0，+∞）.

即xax-（logae）2=0.

為了判斷上式根的個(gè)數(shù)，即判斷出方程logax+x=loga（logae）2根的個(gè)數(shù)，為此再次構(gòu)造函數(shù)k（x）=logax+x-

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，列表如下：

x （0，-log a e） -log a e （-log a e，+∞）k′（x）=log a e x +1 - 0 +k（x）=log ax+x-log a（log a e）2減函數(shù)最小值-log a（-elog a e）增函數(shù)

所以h（x）=ax-logax在x∈（0，+∞）上是增函數(shù).

因?yàn)閔（a）=aa-logaa=aa-1=aa-a0＜0，h（1）=a-loga1=a＞0，所以h（a）h（1）＜0.

因此，時(shí)，函數(shù)h（x）=ax-logx在x∈（0，+∞）a上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=ax與函數(shù)y=logax在區(qū)間（a，1）內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).

5.下面討論當(dāng)0＜時(shí)y=ax與函數(shù)y=logx交點(diǎn)情況：a

函數(shù)k（x）=logax+x-log（alogae）2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（x1，0）與B（x2，0），0＜x1＜-logae＜x2，所以h（x）=ax-logax在x∈（0，x1）和x∈（x2，+∞）上是增函數(shù)，在（x1，x2）上是減函數(shù)，所以在x=x1處，函數(shù)h（x）=ax-logax有極大值，在x=x2處，函數(shù)h（x）=ax-logax有極小值.

由于x→0，h（x）=ax-logax＜0，x→+∞，h（x）=ax-logax→+∞；

由于函數(shù)h（x）在（x1，x2）上是減函數(shù)，

所以h（x1）＞h（-logae）＞h（x2），

即h（x1）＞0＞h（x2），因此函數(shù)y=h（x）在x∈（0，x1）和x∈（x2，+∞）上各有一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間（x1，x2）也有一個(gè)零點(diǎn)，從而得到：

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間（0，x），區(qū)間（x，x）和（x，+∞）1122上各有一個(gè)交點(diǎn)，這就是說函數(shù)y=ax與函數(shù)y=logax在區(qū)間（0，x1），區(qū)間（x1，x2）和（x2，+∞）各有一個(gè)交點(diǎn)，其中在區(qū)間（x1，x2）內(nèi)它們的交點(diǎn)在直線y=x上，因此0＜函數(shù)y=ax與函數(shù)y=logax有三個(gè)不同的交點(diǎn).

綜上所述，我們有如下結(jié)論：

a的范圍 0＜a＜1 111 1＜a＜e e a=e e a＞e e y=ax與y=x 一個(gè)交點(diǎn) 兩個(gè)交點(diǎn) 一個(gè)交點(diǎn) 沒有交點(diǎn)y=log ax與y=x 一個(gè)交點(diǎn) 兩個(gè)交點(diǎn) 一個(gè)交點(diǎn) 沒有交點(diǎn)

a的范圍 0＜a＜ 1 e 1 1 1 e 1 ee≤a＜1 1＜a＜e e a=e e a＞e e y=ax與y=log ax 三個(gè)交點(diǎn) 一個(gè)交點(diǎn) 兩個(gè)交點(diǎn) 一個(gè)交點(diǎn) 沒有交點(diǎn)

1.錢佩玲，邵光華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué).北京師范大學(xué)出版社，2000（3）.

2.宗敏，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的再探討.考試周刊，2010（3）.H