淺談高中數(shù)學課堂上啟發(fā)性教學方法的應(yīng)用
——以“直線與圓的位置關(guān)系”（人教版必修2）為例

☉安徽省六安第二中學 易 歡

一、引言

高中數(shù)學教學相對于初中數(shù)學教學而言，無論是教學內(nèi)容還是教學廣度和教學深度都明顯增加.知識點多而分散是高中數(shù)學教材的一大特點，因此高中學生學習高中數(shù)學知識有一定難度，教師的教學之路任重道遠.雖然教師授課時間有限，但是可以帶領(lǐng)學生找到數(shù)學學習的規(guī)律，理解記憶，整理分類，總結(jié)歸納.這樣不僅可以提高學生的邏輯思維能力，而且可以讓學生將各個學習過程中所學知識串聯(lián)起來，形成完整的知識體系.本文以人教版高一數(shù)學必修2教材中第四章第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系為例，淺談高中數(shù)學教學啟發(fā).

二、高中數(shù)學直線與圓的位置關(guān)系

通過計算直線與圓的交點，我們可以將直線與圓的位置關(guān)系總結(jié)為：如果一條直線與一個圓有兩個交點，那么我們認為這條直線與這個圓相交；如果一條直線與一個圓有且只有一個交點，那么我們認為這條直線與這個圓相切；如果一條直線與一個圓沒有任何交點，那么我們認為這條直線與這個圓相離.需要補充的是：在直線與圓相交時，通常將這條直線叫做這個圓的割線；在直線與圓相切時，通常稱這條直線為這個圓的切線，直線與圓的公共點叫切點.

三、高中數(shù)學直線與圓的位置關(guān)系的啟發(fā)性教學方法

（一）明確目標，理清重難點

教師在進行每個章節(jié)的數(shù)學知識教學時，要明確教學目標，為學生理清重點和難點.就直線與圓的位置關(guān)系這一小節(jié)而言，教學目標是讓學生能夠概括其定義，并且會使用定義來判斷和應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系；教學重點是幫助學生理解并掌握直線與圓的相切、相離、相交三種位置關(guān)系；教學難點是引導學生運用并掌握直線與圓的判定方法.在明確教學目標和理清重難點之后，有助于教師通過講解具體的案例，培養(yǎng)學生認知和理解直線與圓的三種位置關(guān)系的能力；有助于教師通過將點與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系進行對比講解，加深學生對直線與圓的位置和數(shù)量關(guān)系的理解.

（二）講練結(jié)合，應(yīng)用新知識

數(shù)學教學的展開離不開例題講解，學生結(jié)合課堂練習與教師講解，能夠及時運用和消化新知識，鞏固已經(jīng)學過的知識.這個階段需要發(fā)揮教師的主導作用，充分發(fā)揮課堂教學的激勵和調(diào)控功能.但是，教師在進行講練結(jié)合的時候也應(yīng)該注意，應(yīng)該層層遞進，慢慢加深學生對新知識的理解.

案例1 如圖1，Rt△ABC中的斜邊BC=10cm，直角邊AC=6cm.那么試判斷：以A為圓心，半徑分別為2cm、4cm的兩個圓與直線BC有怎樣的位置關(guān)系？以A為圓心的圓半徑r多長時，才能判定直線BC與⊙A相切？以A為圓心的圓半徑r多長時，才能判定直線BC與⊙A相交？

解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=8cm，所以BC邊上的高為4.8cm.

因為4.8cm＞4cm＞2cm，故以A為圓心，半徑分別為2cm、4cm的兩個圓與直線BC相離；以A為圓心的圓半徑r為4.8cm時，才能判定直線BC與⊙A相切；以A為圓心的圓半徑r大于4.8cm時，才能判定直線BC與⊙A相切.

評析：該例題看起來簡單容易，只需將直角三角形斜邊上的高計算出來，問題就迎刃而解.但是，無論任何學科，基礎(chǔ)知識是關(guān)鍵.實際上，這個題目將圓與直線的位置關(guān)系的定義與判定都囊括其中.然而，越是簡單基礎(chǔ)的問題，學生在練習時就越容易出錯.所以，教師在進行例題講解時需要重視這類基礎(chǔ)例題，學生在進行課堂練習或完成課下習題的過程中也不能松懈基礎(chǔ)訓練.因此，教師在課上講解這類簡單例題時，一方面，很容易被學生接受，快速結(jié)合課堂知識進行練習并告訴老師答案；另一方面，能夠?qū)⒔虒W目標與重難點結(jié)合起來，通過學生的課堂練習反饋進行進一步教學.

案例2 在平面直角坐標系中，已知圓的方程為圓心為P，現(xiàn)有過點Q（0，2）且斜率為k的直線，若與圓P相交于A、B兩點，求斜率k的取值范圍；若與圓P沒有交點時

圖1

，k的取值范圍又為多少？

解析：根據(jù)已知條件可以得到圓P的圓心坐標為（6，0），半徑是2.

設(shè)過點Q的直線為y=kx+2.

想要滿足題目中直線與圓相交于兩點，則需要圓心到直線之間的距離小于半徑，根據(jù)所學點到直線的距離為d，d＜2.即可解出k的取值范圍為

若與圓P沒有交點，則圓心到直線的距離需要大于半徑

評析：案例2比案例1的難度有了提高，做到了層層深入.將圓與直線的位置關(guān)系放在了直角坐標系中，若此題采用代數(shù)方法，將直線方程代入圓的方程，根據(jù)解的個數(shù)，采取判定式作答，則此題計算量較大.但是學生若可以做到將代數(shù)與幾何知識巧妙地融合，則大大減少了計算量，提高了解題效率.通過這種綜合性的訓練，可以提高學生的綜合解題能力.將新知識與舊知識進行結(jié)合，達到融會貫通的目的.

（三）尋找規(guī)律，總結(jié)歸納

高中數(shù)學雖然知識點羅列散亂，但是仍然有規(guī)律可循.學生要將眾多知識點理解并掌握，離不開總結(jié)歸納.然而，高中數(shù)學知識也不僅僅局限于書本，學生還應(yīng)該善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)各個知識點的規(guī)律，這就需要教師在教學過程中引導學生養(yǎng)成自主學習、善于思考總結(jié)的好習慣.

案例3 如圖2，已知直線PB與⊙O相交于點A，割線為直線PAB，并且有以下條件：PA=7cm，AB=5cm，PO=10cm，試求⊙O的半徑.

圖2

圖3

解析：延長PO交⊙O于點D，因為⊙O的割線為直線PAB，由割線定理知PA·PB=PC·PD. 因為PC·PD=（POCO）（PO+OD），所以PA·PB=（PO-CO）（PO+OD），因為PA=7cm，AB=5cm，PO=10cm，OD=CO，將數(shù)據(jù)代入PA·PB=（PO-CO）（PO+OD）中，解得CO=4cm.所以⊙O的半徑為4cm.

評析：這類題型比較復雜，因為人教版高中數(shù)學必修2的教材中沒有給出割線定理的具體表達式.但同時，這類題型立足于直線與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)之上，以直線與圓相交的性質(zhì)為出發(fā)點，又在考查割線的性質(zhì)和定理.這需要教師在數(shù)學課堂教學中發(fā)揮學生的主動學習作用，通過例題練習和講解，引導學生總結(jié)出割線定理，加深學生對割線定理的理解與應(yīng)用，便于學生在以后涉及割線定理的題型中快速完成解答.

案例4 已知直線表達式為Ax+By+C=0，圓的表達式為x2+y2+Dx+Ey+F=0.判定直線與圓的位置關(guān)系.

思路一：已知直線表達式為Ax+By+C=0，圓的表達式可以化為（x-a）2+（y-b）2=r2，通過判斷圓心（a，b）到直線的距離可以判定直線與圓的位置關(guān)系.

圓心（a，b）到直線的距離可以表示為后判斷d與圓的半徑r的大小關(guān)系，即可得到直線與圓的位置關(guān)系：如果d=r，則直線與圓相切；如果d＜r，則直線與圓相交；如果d＞r，則直線與圓相離.

思路二：已知直線表達式為Ax+By+C=0，圓的表達式為x2+y2+Dx+Ey+F=0.將這兩個方程聯(lián)立消元后得到一個方程ax2+by2+cx+dy+e=0.然后根據(jù)方程的判別式作答.若判別式大于零，則表示方程有兩個解，即圓與直線有兩個交點；若判別式等于零，則表示方程有一個解，即圓與直線有一個交點，直線與圓相切；若判別式小于零，則方程無解，圓與直線沒有交點.

評析：這個案例考查的就是直線與圓的位置關(guān)系的兩種判別方法：幾何法和代數(shù)法.思路一就是幾何法，通過比較圓的半徑與圓心到直線的距離的大小，判定直線與圓的位置關(guān)系；思路二就是代數(shù)法，結(jié)合直線與圓的數(shù)學表達式，消元之后得到一個一元二次方程，通過計算這個一元二次方程的判別式與零的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.這兩種方法在人教版高中數(shù)學必修2的教材中都有提到過，但是需要教師引導學生進行總結(jié)歸納，使學生不至于在面對不同的題型時混淆方法，便于學生對直線與圓的位置關(guān)系的判別方法理解的更加扎實和掌握的更加牢固.

四、總結(jié)

面對應(yīng)試教育和素質(zhì)教育，高中數(shù)學教學任務(wù)艱巨，學生學習壓力巨大.但是，教無定法，教學有法.教師的使命是教學，教授學生知識和幫助學生學習，因此教學方法顯得尤為重要.通過人教版高一數(shù)學必修2教材中第四章第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系的教學，針對高中數(shù)學教學，我們可以得到三點啟發(fā)：第一，“明確目標，理清重難點”的教學方式，有助于學生快速吸收課堂知識，高效學習數(shù)學知識的重難點；第二，“講練結(jié)合，應(yīng)用新知識”的教學策略，有助于學生鞏固課堂基礎(chǔ)知識，并將新知識學以致用；第三，“尋找規(guī)律，總結(jié)歸納”的引導教學，有助于學生對高中數(shù)學知識點理解的更加透徹，掌握的更加牢固.F