數形結合思想在圓錐曲線問題解答中的應用

摘 要：本文分析全國1卷2015-2017年關于圓錐曲線的考試試題，探討高考考查的重點、難點和共同點，了解高考圓錐曲線的考查方向以及考查內容的內在聯系，領會數形相結合思想在解題中應用，對廣大考生把握考查的難點、有效地掌握考查的關鍵點具有一定的借鑒意義。

關鍵詞：圓錐曲線；橢圓；拋物線；韋達定理

作者簡介：吳紫云，安徽省祁門縣第一中學教師。（安徽 祁門 100013）

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2018）06-0083-04

一、題目的提出

1. 2015年全國1卷第20題。

在直角坐標系xoy中，曲線C：y=與直線y=kx+a（a>0）交于M、N兩點。

（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。

2. 2016年全國1卷第20題。

設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E。

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（II）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

3. 2017年全國1卷第20題。

已知橢圓C：+=1（a>b>0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上。

（I）求C的方程；

（II）設直線l不經過點P2且與C相交于A，B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點。

二、題目的欣賞

1. 選材。這三題都來源于近三年全國1卷理科數學試卷的第20題，這些題涉及中學數學的多個主干知識。例如，橢圓的方程及性質、拋物線、直線、斜率、導數、切線方程、圓、直線與圓、直線與橢圓、直線與拋物線等內容，這些都是《考試說明》中的B、C等級要求的內容，體現了重點內容重點考查的命題理念，同時，這些知識點內容巧妙組合，自然交匯。

2. 題目源自課本。第二題（2016年高考題）來源于“人教版”A版選修教材2-1的第二章第二節(jié)的課后習題，在課本2-1的第49頁的第7題；第三題（2017年高考題）來源于“人教版”A版必修2的第四章的第一節(jié)的課后習題，在課本的第124頁的第6題。這些高考題，有些是題型、有些是方法來源于課本，都是課本中的重要內容，體現命題源自課本，而課本是學習的基礎。

3. 設問。這些題目都設兩個問題，對于第一個問題大部分學生都是很熟悉的，自然比較容易得分。例如第一題的第一問，給出了參數k=0時，求切線方程。給出了參數的具體數值，問題便簡單了，但還有一個參數a，又要求學生有一定的代數推理和規(guī)范表達的能力，所以說第一題即使送分也不是完全送分的。對于第二題，給出兩個角相等，要求學生有轉化的數學思想，把兩角相等轉化成斜率之和等于0，能考慮到這一點的學生就不多了。然后利用直線與拋物線的關系及一元二次方程根與系數的關系找到相等關系，從而求出定點P的坐標。要算出最后答案，且其中有兩個參數k和a，這里的代數推理運算要求很高，對于不少學生來說是一道有難度的題，也恰恰是一道壓軸題。

4. 解法。

（1）2015年全國1卷第20題。

【解析】（Ⅰ）由題設可得M（2，a），N（-2，a），或M（-2，a），N（2，a）

∴ y'=x，故y=在x=2a處的導數值為，C在（2，a）處的切線方程為y-a=（x-2），即x-y-a=0

故y=在x=-2a處的導數數值為-，C在（-2，a）處的切線方程為y-a=-（x+2），即x+y=a=0.

故所求切線方程為x-y-a=0或x+y=a=0

（Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下：設P（0，b）為復合題意得點，M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為k1，k2

將y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0

∴ x1+x2=4k，x1x2=-4a

∴ k1+k2=+==

由∠OPM=∠OPN，得直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，則有k1+k2=0所以b=-a，故P（0，-a）。

（2）2016年全國1卷第20題。

解析：（Ⅰ）因為|AD|=|AC|，EB|| AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+

|EB|=|EA|+|ED|=|AD|

又圓A的標準方程為（x+1）2+y2=16，從而|AD|=4所以|EA|+|EB|=4

由橢圓定義可得點E的軌跡方程為：+=1（y≠0）

（Ⅱ）當l與軸x不垂直時，設l的方程為y =k（x-1）（k≠0），M（x1+y1），N（x2+y2）

由y=k（x-1）+=1得（4k2+3）-8k2x+4k2-12=0

則x1+x2=，x1x2=

所以|MN|=|x1-x2|

=·

=

過點B（1，0）且與l垂直的直線m：y=-（x-1），A到m的距離為，所以|PQ|=2=4

故四邊形MPNQ的面積S=|MN||PQ|=12

可得當l與x軸不垂直時，由k2>0得四邊形MPNQ面積的取值范圍為（12，8）。

當l與x軸垂直時，其方程為x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四邊形MPNQ的面積為12。綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12，8）。

（3）2017年全國1卷第20題。

解析：（I）由于P3，P4兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過P3，P4兩點。

又由+>+知，C不經過點P1，所以點P2在C上。

因此=1+=1，解得a2=4b2=1

故C的方程為+y2=1

（Ⅱ）設直線P2 A與直線P2 B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標分別為（t，），（t，-）。

則k1+k2=-=-1，得t=2，不符合題設。從而可設l：y=kx+m（m≠1），將y=kx+m代入+y2=1得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0

由題設可知△=16（4k2-m2+1）>0 （1）

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-，x1x2=

而k1+k2=+=+=

由題設k1+k2=-1，故（2k+1）x1x2 + （m-1）（x1+x2） =0

即（2k+1）·+（m-1）·=0

解得k=-

當且僅當m>-1時，△>0，欲使l：y-=-x+m，即y+1=-（x-2），所以l過定點（2，-1）。

5. 抓住共同處，分析共同點。這三道題中，有不少共同之處，值得與大家分享。其一，都有直線方程、直線的斜率。其二，都有直線與圓錐曲線的聯立，都有韋達定理的使用。其三，三道題就有兩題跟橢圓有關，只有一題跟拋物線有關，說明橢圓還是考查的重點。其四，第一問主要是以求曲線方程為主，第二問主要是求范圍問題和定點問題。從這些共同處，不難看出以后教學學習的重要內容和重要題型。

三、教學啟示

1. 重視基礎知識的生成，公式的靈活運用。圓錐曲線的問題，是高考的必考點，主要考查橢圓、拋物線、直線方程、以及圓等內容，這一部分基礎知識點多，且之間又有緊密的聯系。學好這一部分內容，必須領會橢圓、圓、拋物線等概念，掌握各個性質形成過程，不要死記硬背，死記硬背肯定是不行的。在平時的教學中，教師要重視知識的產生發(fā)展過程，幫助學生建立和領會知識體系的網絡結構，能讓學生領會和掌握主干知識的交匯處。同時，這一章節(jié)有特別多的公式，比如“兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、橢圓的標準方程、拋物線的標準方程、離心率公式、弦長公式”等內容，學生不僅要知道這些公式是如何產生的，也要掌握這些公式、會運用這些公式，它們就是我們手上的“工具”或“武器”，沒有了它們，我們很難解決數學里的曲線問題。靈活運用它們是教師要思考的，也是學生學好圓錐曲線的保障。

2. 重視方法的總結和升華。在日常的教學中，對問題的總結，對方法的歸納都是有必要的。直線與橢圓或拋物線的聯系，利用一元二次方程根與系數的關系可以求弦長問題；中點弦問題、直線的斜率問題也可以轉化到兩根的關系上來。比如，第一題的第二問，由∠OPM=∠OPN到k1+k2=0，再由k1+k2=+===0得出b=-a。第三題的第二問，由k1+k2=-1和k1+k2=+==0，可得到（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0，再把根與系數的關系，即韋達定理帶入即可等到（2k+1）·+（m-1）·=0，化簡就能得到k=-，最后問題得以解決。從這些都可以看出，直線與圓錐曲線問題，常?？梢詫⒅本€與圓錐曲線聯立，再利用韋達定理以及判別式，把題目中的幾何問題或直線的斜率、弦長公式帶入得以展開。

對于數學思想方法，需要教師在日常的教學和訓練中，不斷地概括、提煉、比較、歸納、總結、反思、體會。相對于基礎題來說，解答時，不能靠記憶或背來解決問題，不然，學生就失去了理解、領會題目的機會，也沒有得到總結和歸納，升華成自己的東西。所以，在日常教學中，教師一定要注重方法的歸納和總結，最好讓學生自己領會，這樣得到的方法、思想才是自己的。

3. 重視運算能力和分析能力的訓練。近三年全國I卷理科數學試卷的第20題，也是必做題的倒數第2題，是有一定難度的，特別是第二個問，涉及的運算很多，再加上還需要分析它們內在的聯系，以及圖像和代數的關系，需要很強的分析能力和思維能力。解析幾何的核心是利用代數方法解決幾何問題，所以代數運算是重要的一環(huán)。從學生的認知發(fā)展來說，小學只要求在有理數范圍內會加減乘除，初中要求會在實數范圍的加減乘除，還有冪的一些簡單運算，到了高中，不僅要會具體數字的運算，還有冪、對數、帶字母的運算，這里還有許多公式的靈活運用，要求高了不少。教師在教學中，重視加強學生的運算能力的培養(yǎng)，創(chuàng)造機會讓他們自己去運算，提高運算能力。

分析能力就是對回答問題的一種反應，遇到某些條件，能有及時有效的反應，這里面還要利用圖形分析問題，因為圖像比較直觀，便于觀察。一般的，在理解題目后，把問題畫在圖形上，利用圖形分析問題，思考如何解決。例如第二題的第一個問，證明

|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程，經過畫圖分析，可知點E的軌跡是一個橢圓，同時要留意題中的點“直線l過點B（1，0）且與x軸不重合”，即要去掉橢圓上與x軸相交的點。對其他有關直線問題，也都要留意斜率存在和不存在的兩種不同情形，這些都需要教師在日常教學中，創(chuàng)造機會讓學生自己發(fā)現、領會、掌握和總結歸納。

學生解題能力是在學習過程中通過不斷地分析問題，轉化分解問題，通過不斷的聽懂、反思、感悟、領會、內化、遷移等過程中提高的，所以教學中，教師要幫助學生尋找問題的切入點，轉化的有效點，運算方法的優(yōu)劣，讓學生體會到困惑、反思、理解、內化等過程。

參考文獻

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[2] 李秀蓮.論高中數學教學有效策略選擇——以2013年高考數學山東卷為例[J].當代教育科學.2013，（22）：46-47.

責任編輯 黃 晶