函數(shù)單調(diào)性的判定方法 及其在高考題中的應(yīng)用探究

陳楨

【摘 要】本文分析函數(shù)的單調(diào)性在高考中的考查情況，概述函數(shù)單調(diào)性的判定方法，以例講解有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的解題方法。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)單調(diào)性 增函數(shù) 減函數(shù) 判定方法

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）01B-0156-03

函數(shù)單調(diào)性這部分內(nèi)容是中學(xué)教學(xué)的重點之一，它的相關(guān)知識在初中、高中乃至大學(xué)都能運用到。函數(shù)的單調(diào)性作為函數(shù)的一個基本性質(zhì)，同樣也成了高考的熱點，在高考的選擇題、填空題、解答題中都出現(xiàn)過，有容易、中等、較難不同的難度層次，所占比分也跟著它的難度不同，有高低之分。本文將對函數(shù)單調(diào)性在高考中的考查進行分析，從而探討函數(shù)單調(diào)性的判定方法及其應(yīng)用。目的在于使學(xué)生對高中函數(shù)單調(diào)性這部分內(nèi)容有更深刻的理解和更全面的把握，為將來的進一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

一、函數(shù)單調(diào)性在高考中考查的分析

（一）高考題中有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的考查形式。函數(shù)單調(diào)性作為高考的熱點，常出現(xiàn)在高考的選擇題、填空題、解答題中。

（二）考點分析。分析歷年來的高考試題發(fā)現(xiàn)，函數(shù)單調(diào)性的各考點出現(xiàn)在解答題中的頻率比出現(xiàn)在選擇題、填空題中的頻率高，下面對函數(shù)單調(diào)性各考點進行分析。

1.函數(shù)的單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用。函數(shù)的單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用，即證明不等式或解不等式。從 2009 年到 2011 年這三年考題中可看出，證明不等式或解不等式都成了必考內(nèi)容。用什么樣的方法來做題，我們可根據(jù)題設(shè)所給的條件來選擇。在高考的時候，講究的是做題效率，每個同學(xué)都在和時間作戰(zhàn)，所以會選擇簡單的方法。

2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值或參數(shù)值的取值范圍。對于這個考點，根據(jù)統(tǒng)計，在 2010 年許多省份都考了此考點。這樣的題型我們可根據(jù)題設(shè)所給出的條件來選擇做題方法，簡單地利用求導(dǎo)就可解決問題。難度高的題一般會利用求導(dǎo)、函數(shù)的單調(diào)性來解決，但這樣的考點一般都是出現(xiàn)在后面的大題中，分值跟其難度有關(guān)。

3.求函數(shù)的極值、最值、零點。求函數(shù)的零點這個考點很少出現(xiàn)，出現(xiàn)較多的是求函數(shù)的極值、最值，而且都是在后面的大題里出現(xiàn)。遇見這樣的題型，根據(jù)我們的做題經(jīng)驗，先利用求導(dǎo)的辦法，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來解決問題。

4.討論函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。這樣的題型直接就是把函數(shù)的單調(diào)性作為一個考點，而不是把函數(shù)的單調(diào)性作為橋梁去解決其他考點，做題方法就是把求導(dǎo)作為橋梁來解決問題。當(dāng)然，判斷一個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，也可以利用其定義來判定，所以選擇哪種方法就得看題設(shè)所給出的條件。

二、淺析函數(shù)單調(diào)性的判定及函數(shù)單調(diào)性在考題中的應(yīng)用

（一）函數(shù)單調(diào)性的判定。函數(shù)的單調(diào)性，揭示的是絕對上升或下降的趨勢，這是函數(shù)單調(diào)性的特征。從本質(zhì)上看，函數(shù)單調(diào)性揭示的是一種變化趨勢。

所謂函數(shù)的單調(diào)性是指一般地，設(shè)函數(shù) f（x）的定義域為 I，如果對于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間 D 上的任意兩個自變量的值 x1，x2，當(dāng) x1f（x2）），那么就說函數(shù) f（x）在區(qū)間 D 上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。我們在判斷函數(shù)單調(diào)性時，可以從兩個方面進行分析：

1.簡單函數(shù)的判定。對于簡單函數(shù)的判定有三種方法。

第一種方法是定義法。根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，我們可以得出用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：首先設(shè)元，任取 x1，x2D 且 x1

例如，用定義法證明函數(shù) f（x）=x3+x+1 在（-∞，+∞）是增函數(shù)。根據(jù)步驟，我們首先設(shè)元，設(shè)任意的 x1，x2（-∞，+∞），且 x10，所以（x1-x2）<0，即 f（x1）

第二種方法是導(dǎo)數(shù)法。所謂導(dǎo)數(shù)法即設(shè)函數(shù) y=f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，如果在（a，b）內(nèi)有<0（或>0），那么函數(shù) y=f（x）在[a，b]上單調(diào)減少（或單調(diào)增加）。因為中學(xué)所學(xué)的函數(shù)基本上都是連續(xù)函數(shù)，所以高中階段并未討論函數(shù)連續(xù)，繼而我們在高中用導(dǎo)數(shù)法時，可以不用討論函數(shù)是否連續(xù)。例如，試證當(dāng) x>0 時，f（x）=1n（1+x）-x 是減函數(shù)。根據(jù)題目，我們可判斷 f（x）在[0，+∞）是連續(xù)的，在（0，+∞）是可導(dǎo)的，所以 。之后判斷 的符號，因為 x>0，所以 <1，所以 <0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)法的定義，我們即判定函數(shù) f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)。與定義法相比，導(dǎo)數(shù)法比較簡便，但它們各有優(yōu)勢，我們可根據(jù)題目來選擇用哪種方法。

第三種方法是圖象法。所謂圖象法就是觀察圖象，從左向右，圖象上升即為增函數(shù)，圖象下降即為減函數(shù)。

2.復(fù)合函數(shù)的判定。復(fù)合函數(shù)在中學(xué)課本中并未提出，但在題目中會遇到，所以這部分內(nèi)容是由教師補充給學(xué)生講的。

對復(fù)合函數(shù)來說，復(fù)合函數(shù) y=f（g（x）），設(shè) u=g（x），則 y=f（u）。若 u=g（x）和 y=f（u）單調(diào)性相同，則 f（g（x））為增函數(shù)；若 u=g（x）和 y=f（u）單調(diào)性相反，則 y=f（g（x））為減函數(shù)；若 f（x），g（x）都為增（或減）函數(shù)，則 f（x）+g（x）為增（或減）函數(shù)；若 f（x）為增函數(shù)，g（x）為減函數(shù)，則 f（x）-g（x）為增函數(shù)，若 f（x）為減函數(shù)，g（x）為增函數(shù)，則 f（x）-g（x）為減函數(shù)。

（二）函數(shù)單調(diào)性在高考題中的應(yīng)用實例。關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的考查，在高考題中有利用函數(shù)的單調(diào)性作為橋梁來解題的，也有直接把函數(shù)單調(diào)性作為一個考點的。有的是一題考查一個考點，如選擇題或填空題；有的則是一個題包含著幾個考點，如后面的大題。下面筆者用高考題來對考點進行分析。

例 1（2011 年，遼寧卷，11 題）函數(shù) f（x）的定義域為 R，f（-1）=2，對任意 x∈R，>2，則 f（x）>2x+4 的解集為（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，+∞） C.（-∞，1） D.（-∞，+∞）

我們首先可觀察題設(shè)所給的條件，對于此類題，我們可以構(gòu)造一個新函數(shù)，即令 g（x）=f（x）-2x-4。根據(jù)題設(shè)給出的信息，我們可對新函數(shù)求導(dǎo)，即 -2>0，所以函數(shù) g（x）在 R 上是增函數(shù)；又因為 f（-1）=2，所以 g（-1）= f（-1）+2-4=0，故 g（x）>g（-1）。由函數(shù) g（x）的單調(diào)性可得 x > -1，所以選 B。

此題的考點是解不等式。分析題意，不能直接解此不等式，所以可以考慮構(gòu)造函數(shù)。再看題設(shè)所給條件，便知可先用求導(dǎo)來判定函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性使自變量間的大小關(guān)系與函數(shù)值之間的大小關(guān)系，得出不等式的解集。此題看似考不等式，其實它是考查函數(shù)單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用。它既考查了求導(dǎo)，又考查了函數(shù)單調(diào)性的判定。做這樣的題許多學(xué)生不知靈活運用題目中所給信息，導(dǎo)致做題受阻。

例 2（2010 年，遼寧卷，21 題）已知函數(shù) f（x）=（a+1）·1nx+ax2+1。

（1）討論函數(shù) f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè) a<-1，如果對任意 x1，x2∈（0，+∞），│f（x1）-f（x2）│ 4│x1-x2│，求 a 的取值范圍。

題（1）是討論函數(shù)的單調(diào)性。關(guān)于討論函數(shù)的單調(diào)性，首先確定其定義域。此題我們一眼就可看出它的定義域，即 x∈（0，+∞），接下來對原函數(shù)求導(dǎo)，即 。因為 a 的取值范圍影響了 的正負，所以要對 a 的取值范圍進行討論。當(dāng) a0 時，有 >0，所以 f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增。當(dāng) a-1 時，<0，故 f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減。當(dāng) -10；當(dāng) 時，有<0；所以 f（x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減。題（2）給出了條件 a﹤-1，不妨假設(shè) x1x2，根據(jù)（1）知 f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而任意的 x1，x2∈（0，+∞），│f（x1）-f（x2）│4│x1-x2│，等價于任意 x1，x2∈（0，+∞），+4f（x2） f（x1）+4x1；我們不妨令 g（x）= f（x）+4x，所以 g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，得 +2ax+40，從而 。故 a 的取值范圍為（-∞，2]。

此大題包含了兩個小題，這兩個題看似沒有什么關(guān)聯(lián)，題（1）是討論函數(shù)的單調(diào)性，題（2）是求參數(shù) a 的取值范圍，其實不然。根據(jù)題（1）得出的結(jié)論：當(dāng) a-1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，題（2）就要利用這個條件得出等價變換，從而將題（2）的條件簡單化，最后得出結(jié)果。所以兩個小題是一題緊扣一題。對于此類題型，考生容易忽視兩點：第一，函數(shù)的定義域。忽視此點會造成單調(diào)區(qū)間不是定義域子集的錯誤。第二，題與題之間的聯(lián)系。此題如果學(xué)生忽視題（1）得出的結(jié)論，就會造成無從下手或是浪費大量的時間去討論去絕對值后正負的問題，浪費大量的時間。

根據(jù)上面的兩個例題，我們可以看出，并不全是一個題考查一個考點，考點與考點間是相互聯(lián)系的，掌握這樣的規(guī)律后，就會降低解題的難度，同時節(jié)約做題的時間。

三、函數(shù)單調(diào)性在中學(xué)教學(xué)中的特點

在教學(xué)中，函數(shù)的單調(diào)性是研究當(dāng)自變量 x 變化時，它的函數(shù)值 f（x）的變化情況。進入高一后，課本就明確給出了函數(shù)單調(diào)性的定義，這是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)。從圖形上觀察，從左到右，圖象上升，則函數(shù)是單調(diào)遞增的；圖象下降，則函數(shù)是單調(diào)遞減的。如果從這個角度來描述函數(shù)單調(diào)性的特征，學(xué)生并不難理解，難理解的是把具體函數(shù)單調(diào)性的特征抽象出來，如何用含數(shù)學(xué)符號的數(shù)學(xué)語言來描述，即在函數(shù)的定義域內(nèi)任意的 x1，x2，且 x1x2），有 f（x1）< f（x2）（或 f（x1）> f（x2）），則說明函數(shù)是單調(diào)增加的，即圖象是上升的；若 f（x1）> f（x2）或（f（x1）< f（x2）），則函數(shù)是單調(diào)遞減的，即圖象是下降的。學(xué)生可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，通過練習(xí)來理解。

通過以上對 2009—2011 年高考題的分析及對函數(shù)單調(diào)性的判定和應(yīng)用的分析，要想正確理解函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用，可以從這幾點入手。首先，要熟悉函數(shù)單調(diào)性判定的幾種方法，其中定義法和導(dǎo)數(shù)法是常用的方法；其次，一般關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的考慮，都會聯(lián)系到導(dǎo)數(shù)的運算，所以對導(dǎo)數(shù)也應(yīng)該了解；再次，在解決有關(guān)不等式方面時，最常用的方法是構(gòu)造函數(shù)，然后對新函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)其單調(diào)性來解決問題；最后，對函數(shù)的定義域不能忽視，以免造成單調(diào)區(qū)間不是定義域的子集的錯誤。

【參考文獻】

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007

[2]陳光曙.面向新世紀(jì)課程教材大學(xué)數(shù)學(xué)[M].上海：同濟大學(xué)出版社，2007

[3]薛 彬.全日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊[M].北京：人民教育出版社，2006

（責(zé)編 盧建龍）