探究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題

郭雨萌

(河北省衡水第一中學(xué) 053000)

對于復(fù)合函數(shù)h(x)=g[f(x)]，本文研究它的單調(diào)性與其內(nèi)層函數(shù)u=f(x)以及外層函數(shù)y=g(u)的單調(diào)性之間有何必然聯(lián)系.

情形1:f(x)是增函數(shù)，g(u)也是增函數(shù).

定義法：任取x1,x2,且x1

情形2:f(x)是增函數(shù)，g(u)是減函數(shù)，同上可得h(x)為減函數(shù).

情形3：f(x)是減函數(shù)，g(u)是增函數(shù)，同上可得h(x)為減函數(shù).

情形4：f(x)是減函數(shù)，g(u)也是減函數(shù)，同上可得h(x)為增函數(shù).

將以上四種情形匯總為如下表格：

內(nèi)層函數(shù)u=f(x)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)外層函數(shù)y=g(u)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)復(fù)合函數(shù)y=g[f(x)]增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

由上表可知，當(dāng)內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的單調(diào)性相同時，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的單調(diào)性相反時，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．簡稱“同增異減”．當(dāng)有三個或者多個函數(shù)復(fù)合時，可以運用上述規(guī)律，將其不斷轉(zhuǎn)化為兩兩復(fù)合．

例1 已知函數(shù)f(x)=2x，g(x)=|2x-1|+|x+3|，求f(g(x))的單調(diào)區(qū)間．

分析f(g(x))是一個復(fù)合函數(shù)，且外層函數(shù)是一個增函數(shù)，故欲求其單調(diào)增區(qū)間只需求內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，內(nèi)層函數(shù)是一個絕對值函數(shù)，應(yīng)先將其變成分段函數(shù)來研究內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，求出其單調(diào)區(qū)間．

解內(nèi)層函數(shù)g(x)=|2x-1|+|x+3|可化為

點評本題考點是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法.由于本題是一個二層復(fù)合的函數(shù)，故其判斷規(guī)則是同增異減，即內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性相同時復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)，不同時是減函數(shù)．應(yīng)熟練掌握此判斷規(guī)則，并在解題中靈活運用之．

例2已知y=2x2-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上的最小值是f(a)，試求f(a)的解析式，并說明當(dāng)a∈[-2，1]時，g(a)=log1/2f(a)的單調(diào)性．

點評本題考點是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，用分類討論的方法研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性問題.本題綜合考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則，綜合性較強．

綜上即實數(shù)a的取值范圍是(1，3]∪(-∞，0)．

點評對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，本題不僅要關(guān)注單調(diào)性，更要關(guān)注定義域；因為單調(diào)性必須在定義域的子區(qū)間上討論，做題時要建立定義域優(yōu)先的原則．由復(fù)合函數(shù)的定義知，內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)定義域的子集，所以外層函數(shù)的單調(diào)性是在內(nèi)層函數(shù)的值域上討論的．