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    輔助線在解高中立體幾何問題中的有效運(yùn)用

    2018-05-24 12:04:52馬凌莎
    環(huán)球市場信息導(dǎo)報 2018年2期
    關(guān)鍵詞:三棱錐輔助線垂線

    馬凌莎

    作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容,高中立體幾何是每年高考都會考查的知識點(diǎn),而且立體幾何還能夠與函數(shù)和數(shù)列相結(jié)合,題目的難度較大?;诖耍P者從個人學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和解題經(jīng)驗(yàn)出發(fā),分析了解答立體幾何問題中,輔助線的有效運(yùn)用,首先給出了正確添加輔助線的方法,然后分析了輔助線的運(yùn)用思路,意在幫助同學(xué)們更加容易且正確地解答出立體幾何問題,提升數(shù)學(xué)成績。

    觀察高中立體幾何問題可以發(fā)現(xiàn),解題方式大都靈活多樣,思路也比較寬泛,而且經(jīng)常需要添加輔助線,使立體幾何題目的解答更加容易。但是在實(shí)際的題目訓(xùn)練中,很多同學(xué)都不了解輔助線的重要作用,即使知道題目需要添加輔助線,也不明確輔助線的具體添加位置,使得立體幾何問題的解答效率極低。因此,對于輔助線在解高中立體幾何問題中的有效運(yùn)用是很有必要的。

    一、正確添加輔助線的方法

    在實(shí)際的解題過程中,輔助線的添加具有一定的規(guī)則與思路,首先,要了解題目中的已知條件,并明確已知條件之間的關(guān)聯(lián);然后,盡量將空間問題轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎲栴},使不同空間的直線轉(zhuǎn)化為同一平面或者平行方向的直線;最后,根據(jù)已知的定理添加輔助線。對于高中立體幾何問題來說,能夠添加的輔助線種類非常多,需要根據(jù)實(shí)際的題目需求選擇正確的輔助線進(jìn)行添加。接下來,主要分析立體幾何中垂線以及平行線的添加方法。

    首先,垂線的添加方法,通過立體幾何知識學(xué)習(xí)可知,其中的很多概念與基礎(chǔ)知識都和垂線聯(lián)系密切,比如,線面角和面面之間的距離等數(shù)學(xué)概念。因此,在解答立體幾何題目時,如果題目中包含這些數(shù)學(xué)概念,就可以將已知條件中沒有提及的垂線繪制出來,通過垂線的添加,構(gòu)建空間三維坐標(biāo),再應(yīng)用與垂線相關(guān)的數(shù)學(xué)定理,解答立體幾何問題。

    然后,平行線的添加方法,在立體幾何中添加平行線的方法主要有三種:其一,面面平行,根據(jù)題目中已知的條件,作一個與已知面平行的面,從而使已知條件之中的線、平面相互平行;其二,線線平行,在已知的平面中,找到一條直線,使該直線能夠與已知的直線相互平行,從而能夠得出直線與平面相互平行的結(jié)論。其三,中位線法,這種方法是立體幾何中應(yīng)用最為廣泛的輔助線添加法,這種方法主要應(yīng)用于已知條件中包含中點(diǎn)的情況下,在三角形中作中位線,從而明確立體幾何中直線與面之間的關(guān)系。

    二、輔助線在解高中立體幾何問題中的有效運(yùn)用

    簡化復(fù)雜的立體幾何問題。我們在解答立體幾何問題的時候,經(jīng)常會找不到解題的思路,感覺立體幾何問題比較復(fù)雜,找不到突破口,而輔助線能夠幫助我們簡化復(fù)雜的立體幾何問題,找到解題的突破口。比如下面一道例題,在三棱錐O-ABC中,三條棱OA、OB與oc的長度相等,且兩兩垂直,底邊AB中有一中點(diǎn)M,求OM和平面ABC之間的夾角大小。觀察題意我們可以發(fā)現(xiàn),這道題目主要是求直線和平面之間的夾角大小,首先出現(xiàn)在腦海里的解法應(yīng)該是通過向量進(jìn)行計(jì)算。但是根據(jù)題目的已知條件,構(gòu)建坐標(biāo)和向量過于繁瑣,計(jì)算也十分困難。

    我們可以通過添加輔助線的方法,將問題中的直線與平面夾角轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與直線的夾角,這樣求解的過程要更為方便。如圖1所示,我們可以根據(jù)三棱錐的性質(zhì),從O點(diǎn)出發(fā),做一條垂直于平面ABC的垂線,垂足為點(diǎn)D,我們以此得到直角三角形ODM與直角三角形ODC,那么問題中OM和平面ABC之間的夾角就可以轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€OM與直線CM之間的夾角,將三棱錐的棱長設(shè)為a,那么AB、AC與BC均為a,根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算公式可得,該三棱錐的體積為1/6a3,由此計(jì)算出,。由于M是AB邊中點(diǎn),MC=,D是三角形ABC中心,由此可以計(jì)算,根據(jù)正切定義可以,OM和平面ABC之間的夾角滿足公式,由此得出OM和平面ABC之間的夾角為。由此可以看出,在解高中立體幾何問題的時候,不能將思維禁錮在空間向量上,如果根據(jù)題目已知條件發(fā)現(xiàn)存在線面角、線面垂直或者面面角與面面垂直的時候,就可以通過添加輔助垂線的方式,簡化立體幾何題目,求得正確的答案。

    提升空間想象力。我們最早接觸幾何是在初中,對幾何有了初步的了解,等升到高中,幾何知識要更為深入,呈現(xiàn)出較強(qiáng)的空間感。但是很多同學(xué)在學(xué)習(xí)立體幾何知識的時候,仍舊將自己的思維停留在初中階段,在解答立體幾何題目的時候,非常容易受到平面思維的影響,導(dǎo)致解題出現(xiàn)失誤。除此之外,高中立體幾何知識的難度也比初中的高一個層次,在初步了解立體幾何知識之后,我們發(fā)現(xiàn)初中的很多定理僅適用于平面幾何,立體幾何知識要更為復(fù)雜,不僅包括計(jì)算與證明,還能夠與函數(shù)和數(shù)列等知識相聯(lián)系。我們可以通過添加輔助線的方式,更加容易地理解立體幾何知識,正確解答立體幾何題目,比如,立方體就是正方形通過向上平移,再將四個面連接成正方形而成,這樣能夠有效提升我們的空間想象力,為解答立體幾何題目打下良好的基礎(chǔ)。

    解釋立體幾何的圖形特點(diǎn)。在高中立體幾何題目中,有很多題目為了加大難度,都會將已知信息進(jìn)行隱藏,大多數(shù)同學(xué)都不能完全地將題目中隱含的信息提煉出來,使得題目解答出現(xiàn)錯誤。根據(jù)個人解題經(jīng)驗(yàn),對于立體幾何題目而言,大部分隱藏信息都會體現(xiàn)在圖形中,而輔助線則可以幫助我們找到圖形中的隱藏條件。比如下面一道例題中:正方體ABCD-AIBICID1中,E、F、G分別為AB邊、AD邊和CID1邊的中點(diǎn),試證明平面DIEF∥平面BDG。在這道題目中,為了證明面與面平行,首先要確定結(jié)論中的平面,需要作輔助線連接BD、EF、DIF、DIE、BG和DG, 如圖2所示。通過連接輔助線后可以采用線面平行方法進(jìn)行證明,由于E和F分別是AB和AD的中點(diǎn),可以得到EF∥BD,進(jìn)而證明EF∥平面BDG。由于四邊形DIGBE中有D1G∥BE,且D1G-BE,可證明四邊形D1GBE為平行四邊形,進(jìn)而得出BG∥D1E。EF和D1E為平面D1EF中的兩條相交直線,且都與平面BDG平行,由此可以得出平面D1EF∥平面BDG。

    綜上所述,輔助線的應(yīng)用可以有效降低立體幾何問題的解答難度,幫助同學(xué)們找到解題的思路。分析可得,通過對輔助線在解高中立體幾何問題中的有效運(yùn)用分析可知,我們需要認(rèn)識到輔助線的重要作用,認(rèn)真研讀立體幾何題目,在充分了解題目已知條件的基礎(chǔ)上,正確添加輔助線,這樣才能提高解答立體幾何問題的效率,獲取更高的分?jǐn)?shù)。希望本文的探究可以為同學(xué)們解答立體幾何問題提供幫助。

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