坐標(biāo)空間中構(gòu)造的Breit夸克勢(shì)與介子和夸克偶素的質(zhì)量劈裂?

吉日木圖 敖登 薛康

(內(nèi)蒙古醫(yī)科大學(xué)計(jì)算機(jī)信息學(xué)院,呼和浩特 010110)

1 引 言

夸克間的相互作用是復(fù)雜的,表示這種相互作用的理論模型也比較多見(jiàn)[1?5],到底何種模型能夠準(zhǔn)確無(wú)誤地表達(dá)這種相互作用,至今尚未定論.這其中比較流行且常用的是非相對(duì)論夸克勢(shì)模型,如常見(jiàn)的Breit勢(shì)函數(shù)[1,2,6?8].這種夸克勢(shì)模型認(rèn)為強(qiáng)子內(nèi)夸克的運(yùn)動(dòng)是非相對(duì)論的,因此它(夸克的運(yùn)動(dòng))可以用薛定諤方程很好地描述.雖然這種模型對(duì)輕夸克的描述不盡合理,但它對(duì)強(qiáng)子束縛態(tài)和散射方面的計(jì)算都取得了較大的成功[1,6?17],因此人們一直用非相對(duì)論性夸克勢(shì)模型來(lái)描述包括輕夸克在內(nèi)的夸克之間的相互作用[5,10,16?21],并且與其他方法相比,這種模型在束縛態(tài)的計(jì)算方面顯現(xiàn)得更加優(yōu)越[22].這些實(shí)事和成功促使人們對(duì)它進(jìn)行更為廣泛和深入的研究,使之變得更加完善精確,從而構(gòu)造出新的勢(shì)函數(shù)[10,16?21].

由于在微觀的強(qiáng)相互作用中,勢(shì)函數(shù)的厄米性和非定域性(含兩變量坐標(biāo)和動(dòng)量)是一個(gè)不可忽視的重要特征.因此構(gòu)造新勢(shì)函數(shù)不能簡(jiǎn)單隨意刪改現(xiàn)有勢(shì)函數(shù)中的某幾項(xiàng)[10?15,18]來(lái)實(shí)現(xiàn),不恰當(dāng)?shù)膭h改就會(huì)破壞勢(shì)函數(shù)應(yīng)有的完整性、厄米性和非定域性.

眾所周知Breit勢(shì)中包含r?3的奇異項(xiàng)[2,20],要構(gòu)造一個(gè)有效穩(wěn)定的勢(shì)函數(shù),其出發(fā)點(diǎn)應(yīng)該是要消除Breit勢(shì)的奇異性.文獻(xiàn)[10,15,17—19]直接在坐標(biāo)空間中通過(guò)簡(jiǎn)單的刪改或替代方法不同程度地消除Breit勢(shì)中的奇異因子來(lái)實(shí)現(xiàn)構(gòu)造勢(shì)函數(shù).

在微觀領(lǐng)域中原子尺寸范圍內(nèi)極小程度地提高精度都很艱難.文獻(xiàn)[19]中,ηc的實(shí)驗(yàn)質(zhì)量和理論質(zhì)量分別是2.979和3.025 GeV,J/ψ的實(shí)驗(yàn)質(zhì)量和理論質(zhì)量分別是3.097和3.052 GeV,相應(yīng)的屏蔽質(zhì)量μ值為0.894 GeV,這也是π-ρ劈裂時(shí)的μ值.在宏觀領(lǐng)域,此種情況可認(rèn)為理論和實(shí)驗(yàn)值嚴(yán)格相等,但在微觀領(lǐng)域,想縮小這微小的差距并非易事.首先保證構(gòu)造勢(shì)有效,然后是合理有效地構(gòu)造屏蔽質(zhì)量μ的解析式.若構(gòu)造勢(shì)有效,但數(shù)值計(jì)算技能不恰當(dāng)?shù)那闆r下,也就無(wú)法證明構(gòu)造勢(shì)有效.因此每一環(huán)節(jié)都非常重要且艱難,且缺一不可.對(duì)于文獻(xiàn)[19],經(jīng)過(guò)一系列的計(jì)算發(fā)現(xiàn),幾個(gè)重要夸克偶素ηc,J/ψ,χc0,χc1,χc2之間無(wú)法質(zhì)量劈裂.由此斷定文獻(xiàn)[19]構(gòu)造的勢(shì)函數(shù)(16)式的有效度并不高.

在先前研究基礎(chǔ)上如何重新組合、怎樣有效合理搭配各項(xiàng),是構(gòu)造有效勢(shì)函數(shù)的關(guān)鍵,也是難點(diǎn),還需保證勢(shì)函數(shù)的整體形式從前沒(méi)有出現(xiàn)過(guò).文獻(xiàn)[19]中(16)式不能計(jì)算劈裂除了(16)式的各項(xiàng)選取和搭配并非合理外,還有一個(gè)原因是文獻(xiàn)[19]中(3)式的自旋-自旋耦合項(xiàng)(σi·σj)的系數(shù)是2/3(勢(shì)函數(shù)直接取自文獻(xiàn)[2]),而在本文中這個(gè)系數(shù)是3/3(勢(shì)函數(shù)是從動(dòng)量空間得到),這個(gè)系數(shù)的不同對(duì)計(jì)算劈裂影響較大.

鑒于上述,本文是在文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上重新合理選取并有效搭配各項(xiàng)而構(gòu)造形成勢(shì)函數(shù).通過(guò)一系列的分析討論可知,并非每一種構(gòu)造方法都可以得到有效勢(shì)函數(shù).

本文對(duì)完整的坐標(biāo)空間中的Breit勢(shì)的各項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)替代處理,這樣重新得到的勢(shì)函數(shù)在坐標(biāo)空間中不再含r?3的奇異項(xiàng).計(jì)算結(jié)果表明,用本文的替代方案可以消除Breit勢(shì)的奇異性,得到比以往更加穩(wěn)定和高精度的介子質(zhì)量譜,從而構(gòu)造出一個(gè)有效的夸克勢(shì)模型(函數(shù)).

2 坐標(biāo)空間中的Breit勢(shì)

用傅里葉變換把動(dòng)量空間中的Breit勢(shì)函數(shù)[1,6?8,20,21]變換到坐標(biāo)空間中,得到的勢(shì)函數(shù)與直接在坐標(biāo)空間中給出的Breit勢(shì)函數(shù)[2]有所出入,所以我們對(duì)Breit勢(shì)的改進(jìn)還是從動(dòng)量空間開(kāi)始.把動(dòng)量空間中的Breit勢(shì)函數(shù)稍加整理(合并同類項(xiàng))得到

(1)式中各項(xiàng)的具體表達(dá)式如下:

其中,是散射道色矩陣[10];αs是量子色動(dòng)力學(xué)耦合常數(shù);mi和mj是夸克i和夸克j的組分質(zhì)量;σi是夸克i的Pauli矩陣;最后一項(xiàng)V7(p,q)是常數(shù)項(xiàng)勢(shì),用以求解薛定諤方程時(shí)調(diào)整介子質(zhì)量而增加的項(xiàng)[10,20];p和q的意義與文獻(xiàn)[20]相同.

然后用傅里葉變換公式

把勢(shì)函數(shù)(1)的每一項(xiàng)變換到坐標(biāo)空間中,再加到一起,就得到坐標(biāo)空間中的Breit勢(shì)函數(shù):

(3)式中各項(xiàng)的具體表達(dá)式如下:

其中,L=r×p是介子軌道角動(dòng)量算符,是張量力算符.

3 在坐標(biāo)空間中構(gòu)造新的Breit勢(shì)

根據(jù)文獻(xiàn)[23],在坐標(biāo)空間中勢(shì)函數(shù)的某一項(xiàng)關(guān)于r的漸近行為如果是r?3,那么該項(xiàng)就是奇異項(xiàng).由文獻(xiàn)[20]可知,δ(r)函數(shù)及動(dòng)量p的漸近行為是δ(r)～r?3和p～r?1.由此勢(shì)函數(shù)(3)式各項(xiàng)的漸近行為如下:V1(r)～r?1,V2(r)～r?3,V3(r)～r?3,V4(r)～r?3,V5(r)～r?3,V6(r)～r?3,所以V2(r)至V6(r)項(xiàng)都是奇異項(xiàng),需要修改重新構(gòu)造.

為了兼顧計(jì)算精度和穩(wěn)定度,并結(jié)合文獻(xiàn)[19]的方法,除了勢(shì)函數(shù)(3)式的第一項(xiàng)庫(kù)侖勢(shì)V1(r)和第七項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)勢(shì)V7(r)外,對(duì)其他的各項(xiàng)都得進(jìn)行如下的不同的逐項(xiàng)替代.把Vi(r)(i=2,3,4,5,6)進(jìn)行替代后得到的項(xiàng)記作則新構(gòu)造的勢(shì)函數(shù)各項(xiàng)的具體表達(dá)式如下:

由于V2(r)～δ(r),該式表示介子內(nèi)兩夸克只有當(dāng)距離很近(r→0)時(shí)才有作用,并且無(wú)限大(絕對(duì)值),否則就無(wú)作用.這顯然不符合物理量隨距離的增大而逐漸衰減的普遍原理,需要修改.已知

并結(jié)合文獻(xiàn)[5,10,17,19]的方法及數(shù)值計(jì)算精度,把勢(shì)函數(shù)(3)式中的δ(r)函數(shù)用如下的變換來(lái)替代:

得到坐標(biāo)空間中新的V2(r),

由(7)式可直接看出r=0已不再是奇異點(diǎn),從而消除了奇異.第(7)式中出現(xiàn)的參量μ是可調(diào)參量,也稱屏蔽質(zhì)量.根據(jù)文獻(xiàn)[20,21,24],μ并非一個(gè)簡(jiǎn)單的常數(shù),而應(yīng)該是與夸克質(zhì)量mi,mj有關(guān),這將在后面詳細(xì)討論.

由(7)式可知,當(dāng)屏蔽質(zhì)量μ>0時(shí)隨距離的增大而逐漸衰減,最后變成零.r=0時(shí)作用最大μ3/(8π)(絕對(duì)值),并且屏蔽質(zhì)量μ越大此作用越大.同理,在后面討論的V4(r)的替代與V2(r)相同,相關(guān)的討論結(jié)果也相同.

把勢(shì)函數(shù)(3)式中的第三項(xiàng)稍加改寫(xiě)為

(對(duì)重復(fù)腳標(biāo)k求和),很容易看到,如果能消除因子1/r的奇異性,那么第三項(xiàng)V3(r)為非奇異項(xiàng).

勢(shì)函數(shù)(3)的第三項(xiàng)V3(r)有奇異點(diǎn),當(dāng)r=0時(shí)發(fā)散.所以修改的出發(fā)點(diǎn)應(yīng)該是當(dāng)r=0時(shí)使之收斂.有如下的漸近行為:

因此做如下替代:

這樣無(wú)論r→0還是r→∞,變換(10)式能消除奇異點(diǎn).考慮到勢(shì)函數(shù)的厄米性,把勢(shì)函數(shù)(3)式的第三項(xiàng)V3(r)重新構(gòu)造如下:

重新構(gòu)造出的是非奇異項(xiàng).

綜上可知,當(dāng)屏蔽質(zhì)量μ=0時(shí)對(duì)任意的r直接有1/r→0,當(dāng)屏蔽質(zhì)量μ<0時(shí)1/r?e?μr/r直接發(fā)散,因此必須有μ>0,這已表明構(gòu)造兩種不同方法之下所引進(jìn)的屏蔽質(zhì)量μ(認(rèn)為在各個(gè)環(huán)節(jié)中μ是同一的)的性質(zhì)很自然地統(tǒng)一到一起,也在一定程度上證實(shí)了所構(gòu)造的的正確性.

第四項(xiàng)V4(r)的改進(jìn)方法同第二項(xiàng)V2(r)的改進(jìn)方法,用到變換(6)式,得到

勢(shì)函數(shù)(3)式的第五、六項(xiàng)V5(r),V6(r)也是奇異項(xiàng).第五項(xiàng)V5(r)的改進(jìn)方法要結(jié)合第三項(xiàng)V3(r)的改進(jìn)方法.由(10)式得到如下替代公式:

而有

因?yàn)橐髣?shì)函數(shù)只含e?μr的一次冪,所以把(14)式中的因子3(1?e?μr)+e?2μr進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi),并忽略μr的二次冪及以上的高階項(xiàng),得到近似公式:

把(15)式代入(13)式,得到替代公式:

將V5(r)和V6(r)中的1/r3用(16)式替代,得到新的第五項(xiàng)和第六項(xiàng),

由(17)和(18)式可知,V5(r)與V6(r)變換前后關(guān)于r的空間部分相同的性質(zhì)不變,因此(17),(18)式是合理的.

下面分析(17)或(18)式是否消除了奇異.因?yàn)槠渲幸汛雃?μr的級(jí)數(shù)展開(kāi)式,由此可知表明或是非奇異項(xiàng).

把(4),(7),(11),(12),(17),(18)式進(jìn)行相加,得到一個(gè)重新組合的非奇異的、有效的夸克勢(shì)模型在坐標(biāo)空間中的形式:

禁閉勢(shì)采用文獻(xiàn)[10,20]線性禁閉勢(shì),

將(19)和(20)式相加得到總勢(shì)函數(shù)

4 新構(gòu)造勢(shì)的矩陣元

計(jì)算矩陣元時(shí)直接采用文獻(xiàn)[21]給出的一般公式第(26)和(27)式,并只給出l=0,1和l′=l時(shí)的矩陣元,其中出現(xiàn)的參量wn,Al的定義與文獻(xiàn)[21]中的第(31)和(33)式相同,可通過(guò)計(jì)算得到勢(shì)函數(shù)(19)式的各項(xiàng)矩陣元,其中第一項(xiàng)庫(kù)侖勢(shì)矩陣元第七項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)勢(shì)矩陣元和禁閉勢(shì)矩陣元分別由文獻(xiàn)[21]中的第(34),(40)和(41)式給出,在這里不一一列出.

第三項(xiàng)是軌道-軌道耦合項(xiàng):

第五項(xiàng)是自旋-軌道耦合項(xiàng):

第六項(xiàng)是張量力項(xiàng):

(23)式中出現(xiàn)的矩陣元(V3)mn,(25)和(26)式中出現(xiàn)的空間積分分別由文獻(xiàn)[21]中的第(42)和(44)式給出,在這里不一一列出.至此把勢(shì)函數(shù)(19)的每一項(xiàng)矩陣元一一計(jì)算完畢.

5 屏蔽質(zhì)量μ與夸克質(zhì)量mi,mj有關(guān)

屏蔽質(zhì)量μ到底與哪些量有關(guān),可從勢(shì)函數(shù)(19)或(21)式所含的可調(diào)參量出發(fā)研究,包括弦張力系數(shù)b,常數(shù)項(xiàng)勢(shì)V0,五種夸克質(zhì)量mu(mu=md),ms,mc,mb以及屏蔽質(zhì)量μ.如果問(wèn)題中μ并非常數(shù)(也可以是各個(gè)介子μ值相同的常數(shù)),是變量(各個(gè)介子μ值不同)的話,它不可能與b,V0有關(guān),因?yàn)閎,V0并非勢(shì)函數(shù)常含量,所以只能說(shuō)μ應(yīng)該與夸克質(zhì)量mi,mj有關(guān),這是最早的思路[20,24].

夸克質(zhì)量有兩個(gè)mi,mj,即兩個(gè)變量,此時(shí)μ是關(guān)于mi,mj的二元函數(shù),此時(shí)使用極不方便.因此可將mi,mj先進(jìn)行簡(jiǎn)單組合構(gòu)造一個(gè)新自變量,然后用這個(gè)新自變量再表達(dá)μ,可實(shí)現(xiàn)μ是一元函數(shù)的構(gòu)想,這些都是當(dāng)時(shí)的思路.

組合這個(gè)新自變量時(shí)需滿足如下要求:新變量對(duì)mi,mj的交換是對(duì)稱的.常用的新自變量有折合質(zhì)量μr=mimj/(mi+mj),平均質(zhì)量μa=(mi+mj)/2,應(yīng)該還有其他形式的新自變量,這里不予以給出.

文獻(xiàn)[5,24]中取μ與折合質(zhì)量μr成正比的特簡(jiǎn)單的形式,即μ=cμr.如果計(jì)算數(shù)目龐大的一組介子質(zhì)量,那么此關(guān)系式應(yīng)該遠(yuǎn)不是這么簡(jiǎn)單的形式,并且自變量不一定是μr.所以文獻(xiàn)[5,24]中提到的勢(shì)函數(shù)所附帶的屏蔽質(zhì)量μ的正確形式是另外一種,只有計(jì)算數(shù)目龐大的一組介子質(zhì)量時(shí)才能找到,僅憑物理意義很難找到關(guān)系式.

本課題組相關(guān)工作[20,21]中都取μ是折合質(zhì)量μr的函數(shù),并且形式遠(yuǎn)不是成正比這么簡(jiǎn)單,是通過(guò)計(jì)算來(lái)確定的.不同的勢(shì)函數(shù)所需要的μ不同,不但函數(shù)形式不同,而且有可能自變量也不同.對(duì)于本文計(jì)算,首選自變量為折合質(zhì)量μr,但無(wú)論怎么計(jì)算,數(shù)值計(jì)算精度都很差,因此改用平均質(zhì)量μa作為自變量構(gòu)造屏蔽質(zhì)量μ,計(jì)算精度比以往更高,相關(guān)數(shù)據(jù)列于表1.

構(gòu)造屏蔽質(zhì)量μ的有效表達(dá)式是比構(gòu)造勢(shì)函數(shù)還要艱難且難度極大的問(wèn)題,根據(jù)以往的推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算,對(duì)于一般的勢(shì)函數(shù),不可能簡(jiǎn)單地成正比關(guān)系.除了勢(shì)函數(shù)有效和特定的μ值外,還需要較高的數(shù)學(xué)技能和數(shù)值計(jì)算能力,這也是個(gè)新問(wèn)題.

需要說(shuō)明的是,構(gòu)造屏蔽質(zhì)量μ的有效表達(dá)式時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)技能和數(shù)值計(jì)算,兼顧物理意義.如果單憑物理意義只會(huì)找到成正比這樣簡(jiǎn)單的關(guān)系,無(wú)法找到復(fù)雜的關(guān)系式.

6 構(gòu)造屏蔽質(zhì)量μ的解析式

求解文獻(xiàn)[21]給出的薛定諤方程(29)式之前還需構(gòu)造(19)式中的屏蔽質(zhì)量μ的表達(dá)式.根據(jù)以往的分析計(jì)算[20,21],當(dāng)μ值小時(shí),ηc-J/ψ等重介子不劈裂,而當(dāng)μ值大時(shí)π-ρ(與重介子一起計(jì)算,計(jì)算結(jié)果未列入表1中,下同)等一系列輕介子都發(fā)散.因此要想使π-ρ,ηc-J/ψ和ηb-Υ(1s)等重要介子之間質(zhì)量劈裂,屏蔽質(zhì)量μ并非一個(gè)簡(jiǎn)單的常數(shù),而應(yīng)該是與夸克質(zhì)量mi,mj有關(guān)的變量,勢(shì)函數(shù)(19)式也不例外.

由上面的分析討論,不同的勢(shì)函數(shù)所需要的μ不同[20,21,24],對(duì)于(19)式構(gòu)造μ是比構(gòu)造勢(shì)函數(shù)還要艱難且難度極大的問(wèn)題.再好的勢(shì)函數(shù)如果未能找到一個(gè)合適的μ與之相互匹配,從而就不能算出更高精度的質(zhì)量譜,那么也就無(wú)法證實(shí)該勢(shì)函數(shù)的有效性.因此能否找到一個(gè)合理、有效的μ的解析式為關(guān)鍵所在,它直接關(guān)系到一個(gè)勢(shì)函數(shù)的有效性.

對(duì)于Breit勢(shì)函數(shù),介子之間要質(zhì)量劈裂或要達(dá)到更高精度的質(zhì)量時(shí),各個(gè)介子所需的μ值不同,結(jié)構(gòu)相同的介子μ值相同.其中π-ρ和ηc-J/ψ劈裂時(shí)其μ值為確定值,其他介子的μ值在一定范圍內(nèi)變化.

在μ為常數(shù)的情況下計(jì)算得到,π-ρ和ηc-J/ψ等精確劈裂時(shí)所需的μ值分別為0.932和3.677 GeV.除此之外,對(duì)于(19)式,幾個(gè)D介子的μ值有一定的限制,在5.050 GeV左右波動(dòng).根據(jù)這幾個(gè)特定值構(gòu)造μ的表達(dá)式,并經(jīng)過(guò)一系列大量的前期化簡(jiǎn)給出以夸克平均質(zhì)量μa=(mi+mj)/2(mi,mj為同一個(gè)介子中的兩個(gè)夸克質(zhì)量)作為變量的μ的形式為

表1 本文計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值的比較Table 1.Results of meson masses.

雖然由(27)式能夠精確算出上述重要介子之間質(zhì)量劈裂時(shí)所需的μ值,并且形式相對(duì)較簡(jiǎn)單,但不足的是用它無(wú)法控制幾個(gè)B介子的μ值上漲到4.700 GeV左右,從而其質(zhì)量精度不高,如表1所列.為了控制幾個(gè)B介子的μ值,對(duì)(27)式推導(dǎo)步驟進(jìn)行大量修正,其主要依據(jù)是幾個(gè)B介子的μ值必須降低,同時(shí)保證維持其他介子現(xiàn)有的μ值.這樣經(jīng)過(guò)一系列的調(diào)整再仿照(27)式前期化簡(jiǎn)步驟進(jìn)行化簡(jiǎn)之后得到

用(28)式計(jì)算得到幾個(gè)B介子的μ值已經(jīng)直接降到0.550 GeV左右,相應(yīng)的質(zhì)量精度也都有所提高,如表1所列.(27)式中的展開(kāi)系數(shù)c?1,c0,c1和(28)式中的展開(kāi)系數(shù)c?3,c?2,c?1,c0,c1是不同的,它們并非單一的可調(diào)參量,僅憑運(yùn)算程序無(wú)法確定,一定要結(jié)合(27)和(28)式的前期化簡(jiǎn)過(guò)程和數(shù)值計(jì)算程序才能確定下來(lái),并必須精確到小數(shù)點(diǎn)后五位,具體數(shù)值已列在表1的表注.

7 結(jié) 語(yǔ)

最后解文獻(xiàn)[21]中給出的介子束縛態(tài)薛定諤方程(29)式Ha=EBa,通過(guò)運(yùn)算程序先調(diào)節(jié)確定其中的可調(diào)參量弦張力系數(shù)b,常數(shù)項(xiàng)勢(shì)V0,五種夸克質(zhì)量mu(mu=md),ms,mc,mb的最佳值,然后分別用屏蔽質(zhì)量μ的表達(dá)式(27),(28)式使π-ρ,ηc-J/ψ和ηb-Υ(1s)等重要介子之間進(jìn)行質(zhì)量劈裂,得到盡可能逼近實(shí)驗(yàn)值的介子質(zhì)量數(shù)值解,從而檢驗(yàn)勢(shì)函數(shù)(19)式的有效性,同時(shí)調(diào)節(jié)出夸克質(zhì)量等可調(diào)參量的更精確值.

直接計(jì)算驗(yàn)證,對(duì)于勢(shì)函數(shù)(19)式,耦合常數(shù)αs和波函數(shù)中的寬度系數(shù)β仍采用文獻(xiàn)[21]中使用的αs和β.

只計(jì)算少數(shù)介子或重介子或結(jié)構(gòu)相同的夸克偶素[3,4]質(zhì)量,遠(yuǎn)不足以證明勢(shì)函數(shù)的有效性,因?yàn)榇藭r(shí)各個(gè)參量的任意調(diào)節(jié)自由度很大,當(dāng)然較容易實(shí)現(xiàn)劈裂或提高計(jì)算精度.因此要計(jì)算的一組數(shù)目較多的介子結(jié)構(gòu)必須涉及五種夸克u,d,s,c,b,并含夸克偶素,此時(shí)的計(jì)算才真正考驗(yàn)新構(gòu)造勢(shì)(函數(shù))的有效性.

為便于對(duì)比,表1列出了一些計(jì)算結(jié)果,其中,第1列數(shù)據(jù)Mexp是取自文獻(xiàn)[10]的實(shí)驗(yàn)質(zhì)量,第2列M[20]和第3列M[21]分別是文獻(xiàn)[20,21]計(jì)算結(jié)果.第4列Mth1和第5列Mth2是本文在同一勢(shì)函數(shù)(19)式情況下分別用(27)和(28)式計(jì)算的結(jié)果,第6列μth2是質(zhì)量Mth2相應(yīng)的μ值.從表1可容易看到,只有第5列Mth2的計(jì)算結(jié)果是更精確的,重要介子之間實(shí)現(xiàn)了精確劈裂,這恰是本文之精髓.

感謝內(nèi)蒙古民族大學(xué)物理與電子信息學(xué)院特木爾巴根教授的有益探討.

參考文獻(xiàn)

[1]Barnes T,Black N 1999Phys.Rev.C60 045202

[2]Rújla A D,Georgi H,Glashow S L 1975Phys.Rev.D12 147

[3]Ebert D,Faustov R N 2000Phys.Rev.D62 034014

[4]Chen Y Q,Kuang Y P 1992Phys.Rev.D46 1165

[5]Zhou P,Deng C R,Ping J L 2015Chin.Phys.Lett.32 101201

[6]Chen J X,Su J C 2001Phys.Rev.C64 065201

[7]Wang H J,Yang H,Su J C 2003Phys.Rev.C68 055204

[8]Zhao G Q,Jing X G,Su J C 1998Phys.Rev.D58 117503

[9]Lucha W,Schoberl F F,Gromes D 1991Phys.Rep.200 127

[10]Wong C Y,Swanson E S,Barnes T 2001Phys.Rev.C65 014903

[11]Godfrey S,Kokoski R 1991Phys.Rev.D43 1679

[12]Godfrey S,Isgur N 1985Phys.Rev.D32 189

[13]Godfrey S 1985Phys.Rev.D31 2375

[14]Capstick S,Isgur N 1986Phys.Rev.D34 2809

[15]Wong C Y,Swanson E S,Barnes T 2000Phys.Rev.C62 045201

[16]Wang L,Ping J L 2007Chin.Phys.Lett.24 1195

[17]Zhang W N,Wong C Y 2003Phys.Rev.C68 035211

[18]Wong C Y 2004Phys.Rev.C69 055202

[19]Jirimutu,Wang H J,Zhang W N,Wong C Y 2009Int.J.Mod.Phys.E18 729

[20]Jirimutu,Zhang W N 2009Eur.Phys.J.A42 63

[21]Jirimutu,Aodeng,Bao tmurbagan 2016Acta Phys.Sin.65 041201(in Chinese)[吉日木圖,敖登,包特木爾巴根2016物理學(xué)報(bào)65 041201]

[22]Crater H,Vanalstine P 2004Phys.Rev.D70 034026

[23]Landau L D,Lifshitz E M 1958Quantum Mechanics(London:Pergamon Press)

[24]Vijande J,Fernandez F,Valcarce A 2005J.Phys.G31 481