幾類一階常微分方程的積分因子

李中杰，王 磊

(焦作師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 焦作 454002)

在可求解的幾類一階常微分方程中，關(guān)于恰當(dāng)方程的解法較多而且簡便，常用的有不定積分法、曲線積分法、分項組合法等[1]。因此，若能將一個非恰當(dāng)方程轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程，則該方程就能夠迅速求解。在此意義上，尋求一個非恰當(dāng)方程的積分因子就顯得非常重要。然而，積分因子一般是不容易求得的。

現(xiàn)在各類本科和?？茖W(xué)校使用的《高等數(shù)學(xué)》教材中只是介紹了方程僅依賴于x或是僅依賴于y的積分因子的求法。

一些學(xué)者對某些類型的積分因子進(jìn)行了探索，如劉會民、王新研究了具有F(xayb)及G(xa+yb)形式的積分因子的充要條件[2]； 劉許成給出了方程具有復(fù)合分離型積分因子φ(p(x)q(y))的存在判定定理并建立了計算公式[3]； 程惠東、孟新柱則給出了積分因子存在的充要條件和計算公式[4]。

從另一方面來看，《高等數(shù)學(xué)》教材中所涉及的可以求解的幾類一階顯式微分方程，如變量分離方程

齊次微分方程

一階線性微分方程

伯努利微分方程

等，都有固定的解法[5]30-48，其基本思路是通過變量代換化為變量分離方程進(jìn)行求解[6]20-35。這些解法有時比較繁瑣，計算量偏大。而如果把方程寫為對稱形式，利用積分因子將之轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)微分方程，求解過程將變得非常簡便。

本文將對幾類常見的一階微分方程的積分因子進(jìn)行探究和總結(jié)。在教學(xué)中，這些結(jié)論可加深學(xué)生對于積分因子的理解，也為求解各種類型的微分方程提供一種思路。

1 恰當(dāng)方程與積分因子

一階顯式常微分方程

可寫為對稱形式

M(x，y)dx+N(x，y)dy=0

，

(1)

其中M(x，y)和N(x，y)是關(guān)于x，y的連續(xù)函數(shù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

若方程(1)的左端恰好是某個二元函數(shù)u(x，y)的全微分，即成立

du(x，y)=M(x，y)dx+N(x，y)dy，

則稱此方程為恰當(dāng)微分方程。此時，方程的通解為

u(x，y)=C。

如果存在連續(xù)可微函數(shù)

μ=μ(x，y)≠0，

使得

μ(x，y)M(x，y)dx+μ(x，y)N(x，y)dy=0

成為恰當(dāng)微分方程，則稱μ(x，y)為方程

M(x，y)dx+N(x，y)dy=0

的一個積分因子。

引理μ=μ(x，y)為方程

M(x，y)dx+N(x，y)dy=0

的積分因子，則

反之，亦成立。

2 主要結(jié)論

結(jié)論1變量分離方程

(2)

的積分因子為

證明方程(2)寫為對稱形式

f(x)φ(y)dx-dy=0，

這里

M=f(x)φ(y)，

N=-1。

計算得

由引理知結(jié)論成立。

結(jié)論2 一階線性微分方程

(3)

的積分因子為

證明方程(3)寫為對稱形式

[p(x)y+q(x)]dx-dy=0，

這里

M=p(x)y+q(x)，

N=-1。

計算得

由引理知結(jié)論成立。

結(jié)論3 伯努利方程

(4)

的積分因子為

證明方程(4)寫為對稱形式

[p(x)y+q(x)yn]dx-dy=0，

這里

M=p(x)y+q(x)yn，

N=-1。

計算得

由引理知結(jié)論成立。

結(jié)論4 齊次方程

(5)

的積分因子為

證明方程(5)寫為對稱形式

這里

N=-1。

計算得

由引理知結(jié)論成立。

3 應(yīng)用

例1求解方程

(6)

解方程(6)為n=-2時的伯努利方程。這里

q(x)=x3。

寫為對稱形式

(7)

由上述結(jié)論3直接計算得積分因子

即為恰當(dāng)微分方程。分項組合積分后得到方程通解為

例2求解方程

(8)

解方程(8)為齊次方程。這里

q(x)=x3。

寫為對稱形式

(9)

由上述結(jié)論4直接計算得積分因子

即為恰當(dāng)微分方程。分項組合積分后得到方程通解為

4 結(jié)束語

對于一階顯式微分方程

在初等積分法可解的前提下，一般的處理方法是通過一系列變換將之化為變量分離方程來進(jìn)行求解。而這些解法有時過于繁瑣，容易出錯。此時若能從積分因子的角度，利用積分因子將之化為恰當(dāng)微分方程，則會取得很好的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 資治科.全微分方程的不定積分解法及其證明[J].高等數(shù)學(xué)研究,2002(2):20-21.

[2] 劉會民,王新.有關(guān)一階微分方程積分因子的計算[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2003,26(3):237-239.

[3] 劉許成.一類微分方程的積分因子存在定理[J].臨沂師范學(xué)院學(xué)報,2003,25(6):19-20,23.

[4] 程惠東,孟新柱.積分因子存在定理的一般充要條件[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2006,36(8):309-312.

[5] 王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.

[6] 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982.