等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的教學(xué)設(shè)計(jì)

黃瑞瑛

【摘 要】[序]培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力是發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)和自主創(chuàng)新的有效途徑，是新課改所倡導(dǎo)的“合情推理”的重要體現(xiàn)。等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，等比數(shù)列應(yīng)用舉例，在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位，可以解決實(shí)際生活問(wèn)題.以建構(gòu)主義的“創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境——提出數(shù)學(xué)問(wèn)題——嘗試解決問(wèn)題——驗(yàn)證解決方法”為主，主要采用觀察、啟發(fā)、類比、引導(dǎo)、探索相結(jié)合的方法.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法叫錯(cuò)位相減法，這種方法是研究數(shù)列求和的一個(gè)重要方法，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展能力。

【關(guān)鍵詞】等比數(shù)列；前n項(xiàng)和；建構(gòu)主義；教學(xué)設(shè)計(jì)

【課題】 6.3.3 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

【授課班級(jí)】 2013級(jí)汽修大專2班（專業(yè)：汽修；學(xué)生數(shù)：39人）

【授課時(shí)間】 2014年12月16日

【授課類型】 新授課

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)目標(biāo)：

理解等比數(shù)列前項(xiàng)和公式.

能力目標(biāo)：

（1）應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解決相關(guān)計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算技能；

（2）應(yīng)用數(shù)列知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、反思、歸納能力.

情感目標(biāo)：

（1）經(jīng)歷數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的探索，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新思維；

（2）贊賞國(guó)際象棋的發(fā)明人在數(shù)學(xué)史上流傳的故事，形成對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)文化.

【教學(xué)重點(diǎn)】

等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.

【教學(xué)難點(diǎn)】

等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo).

【教學(xué)方法】

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法，對(duì)公式的教學(xué)，要充分提示公式之間的聯(lián)系，理解與掌握公式的來(lái)龍去脈，掌握公式的導(dǎo)出方法，理解公式的成立條件.公式的教學(xué)一般分為問(wèn)題呈現(xiàn)階段，探索與發(fā)展規(guī)律階段，應(yīng)用知識(shí)階段.本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程可概括如下：

（1）復(fù)習(xí)舊知識(shí)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引出新課題；（2）推導(dǎo)公式，弄清條件，認(rèn)識(shí)新知識(shí)；

（3）運(yùn)用公式，鞏固新知識(shí)；（4）課堂小結(jié)，布置作業(yè).

【教學(xué)手段】

教學(xué)課件.采用多媒體輔助教學(xué)，將抽象問(wèn)題形象化，使教學(xué)目標(biāo)體現(xiàn)得更加完美.

【教材分析】

本節(jié)內(nèi)容為新授課，主要內(nèi)容是等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，等比數(shù)列應(yīng)用舉例，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)和解決一類求和問(wèn)題的重要基礎(chǔ)和有力工具，也是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位，又可以解決實(shí)際生活問(wèn)題.

【學(xué)情分析】

所教授班級(jí)為職業(yè)高中高二學(xué)生，學(xué)生的學(xué)制是五年一貫制，學(xué)生均參加過(guò)中考，對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)有一定基礎(chǔ)，但學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情不高.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)的建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系，在教學(xué)中，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展能力.因此本節(jié)課由實(shí)例引入，在前面學(xué)習(xí)的等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)，重點(diǎn)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，難點(diǎn)是前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及知識(shí)的簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用.通過(guò)學(xué)習(xí)提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，為后續(xù)學(xué)習(xí)運(yùn)用打下基礎(chǔ).

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”.所以在學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的原則下，要充分揭示獲取知識(shí)和方法的思維過(guò)程.因此本節(jié)課我以建構(gòu)主義的“創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境——提出數(shù)學(xué)問(wèn)題——嘗試解決問(wèn)題——驗(yàn)證解決方法”為主，主要采用觀察、啟發(fā)、類比、引導(dǎo)、探索相結(jié)合的方法.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法叫錯(cuò)位相減法，這種方法是研究數(shù)列求和的一個(gè)重要方法，應(yīng)該讓學(xué)生理解.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式中共涉及五個(gè)量：？琢1、q、n、？琢n、Sn，只要知道其中的三個(gè)量，利用方程思想，就可以求出另外的兩個(gè)量.

【課時(shí)安排】

1課時(shí).（45分鐘）

【教學(xué)過(guò)程】

一、提興趣，創(chuàng)情境 -引入 （7分鐘左右）

【趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題】

傳說(shuō)國(guó)際象棋的發(fā)明人是印度的大臣西薩？班？達(dá)依爾，舍罕王為了表彰大臣的功績(jī)，準(zhǔn)備對(duì)大臣進(jìn)行獎(jiǎng)賞.

國(guó)王問(wèn)大臣：“你想得到什么樣的獎(jiǎng)賞？”這位聰明的大臣達(dá)依爾說(shuō)：“陛下，請(qǐng)您在這張棋盤(pán)的第一個(gè)格子內(nèi)放上1顆麥粒，在第二個(gè)格子內(nèi)放上2顆麥粒，在第三個(gè)格子內(nèi)放上4顆麥粒，在第四個(gè)格子內(nèi)放上8顆麥?！勒蘸笠桓褡觾?nèi)的麥粒數(shù)是前一格子內(nèi)的麥粒數(shù)的2倍的規(guī)律，放滿棋盤(pán)的64個(gè)格子，并把這些麥粒賞給您的仆人吧.”

國(guó)王認(rèn)為這樣的獎(jiǎng)賞很輕，于是爽快地答應(yīng)了，命令如數(shù)付給達(dá)依爾麥粒.

計(jì)數(shù)麥粒的工作開(kāi)始了，在第一個(gè)格內(nèi)放1粒，第二個(gè)格內(nèi)放2粒，第三個(gè)格內(nèi)放4粒，第四個(gè)格內(nèi)放8粒……國(guó)王很快就后悔了，因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)，即使把全國(guó)的麥子都拿來(lái)，也兌現(xiàn)不了他對(duì)這位大臣的獎(jiǎng)賞承諾.

這位大臣所要求的麥粒數(shù)究竟是多少呢？

（教師質(zhì)疑，學(xué)生思考.）

各個(gè)格的麥粒數(shù)組成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，大臣西薩？班？達(dá)依爾所要的獎(jiǎng)賞就是這個(gè)數(shù)列的前64項(xiàng)和.今天我們來(lái)學(xué)習(xí)如何計(jì)算.

（設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生以一定的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問(wèn)題自由思考，積極解決.引導(dǎo)學(xué)生從已學(xué)過(guò)的等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法，及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)著手.培養(yǎng)學(xué)生類比、聯(lián)想能力.）

【注】 在求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，一定要判斷公比q是否為1.

思考： 在等比數(shù)列{？琢n}中，知道了？琢1、q、n、？琢n、Sn五個(gè)量中的三個(gè)量，就可以求出其余的兩個(gè)量.針對(duì)不同情況，應(yīng)該分別采用什么樣的計(jì)算方法？

與等差數(shù)列類似，等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式 ，共涉及這五個(gè)量，而它們又通過(guò)通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式聯(lián)系著，因此只要知道其中的任何三個(gè)量，即可得到以其余兩個(gè)量為未知數(shù)的方程組，從而可以求出其余兩個(gè)量.

（設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思考求解，類比方法是認(rèn)識(shí)事物的重要方法，提示學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，注意用類比的方法記憶知識(shí)，解決問(wèn)題，并進(jìn)一步滲透方程的思想.）

三、用例題，固知識(shí) -例題 （9分鐘左右）

例5 寫(xiě)出等比數(shù)列

1，-3，9，-27，…的前n項(xiàng)和公式并求出數(shù)列的前8項(xiàng)的和.

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)知識(shí).）

（引入的題）現(xiàn)在我們看一看本節(jié)趣味數(shù)學(xué)內(nèi)容中，國(guó)王為什么不能兌現(xiàn)他對(duì)大臣的獎(jiǎng)賞承諾？

（設(shè)計(jì)意圖：前后呼應(yīng)，使教學(xué)內(nèi)容完整.）

國(guó)王承諾獎(jiǎng)賞的麥粒數(shù)為

據(jù)測(cè)量，一般麥子的千粒重約為40g ，則這些麥子的總質(zhì)量約為7.36×1017g，約合7360多億噸.這是大得讓人無(wú)法想象的數(shù).若把這些麥粒排成4m高、10m寬的麥墻，它將有3×108 km長(zhǎng)，這是地球到太陽(yáng)距離的80倍.國(guó)王怎么能兌現(xiàn)他對(duì)大臣的獎(jiǎng)賞承諾呢！？

正當(dāng)國(guó)王一籌莫展之際，王太子的數(shù)學(xué)教師知道了這件事，他笑著對(duì)國(guó)王說(shuō)：“陛下，這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單啊，就像1+1=2一樣容易，您怎么會(huì)被它難倒？”國(guó)王大怒：“難道你要我把全世界兩千年產(chǎn)的小麥都給他？”年輕的教師說(shuō)：“沒(méi)有必要啊，陛下.其實(shí)，您只要讓達(dá)依爾大人到糧倉(cāng)去，自己數(shù)出那些麥子就可以了.假如達(dá)依爾大人一秒鐘數(shù)一粒，數(shù)完18，446，744，073，709，551，615粒麥子所需要的時(shí)間，大約是5800億年（大家可以自己用計(jì)算器算一下.）！就算達(dá)依爾大人日夜不停地?cái)?shù)，數(shù)到他自己魂歸極樂(lè)，也只是數(shù)出了那些麥粒中極小的一部分.這樣的話，就不是陛下無(wú)法支付賞賜，而是達(dá)依爾大人自己沒(méi)有能力取走賞賜.”國(guó)王恍然大悟，當(dāng)下就召來(lái)達(dá)依爾，將教師的方法告訴了他.西薩·班·達(dá)依爾沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超過(guò)了我，那些賞賜……我也只好不要了！”當(dāng)然，最后達(dá)依爾還是獲得了很多賞賜.

（設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)用于生活.提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.）

四、做練習(xí)，會(huì)運(yùn)用 -練習(xí) （7分鐘左右）

寫(xiě)出等比數(shù)列1，-2，4，-8，16，…的前n項(xiàng)和公式并求出數(shù)列的前5項(xiàng)的和.

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生進(jìn)行解題，教師巡視，及時(shí)點(diǎn)評(píng).利用與例題相似的練習(xí)，重點(diǎn)加強(qiáng)對(duì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用.）

五、勤梳理，能歸納 -小結(jié) （3分鐘左右）

1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，運(yùn)用.

2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的實(shí)際運(yùn)用，如涉及增長(zhǎng)率等問(wèn)題.

（設(shè)計(jì)意圖：可以交給學(xué)生，先讓學(xué)生自己總結(jié)，自我發(fā)現(xiàn)歸納.教師在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上進(jìn)行再概括時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意思想性，結(jié)合實(shí)際提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.）

六、再探索，納知識(shí) -作業(yè) （1分鐘左右）

必做題：求等比數(shù)列…的前10項(xiàng)的和.

選做題：寫(xiě)出等比數(shù)列-2，4，-8，16，…的前n項(xiàng)和公式并求出數(shù)列的前8項(xiàng)的和.

（設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式的記憶及靈活應(yīng)用，選做題的設(shè)置有利于有能力的同學(xué)“更上一層樓”.）

設(shè)計(jì)選作思考題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”

（設(shè)計(jì)意圖：這首中國(guó)古詩(shī)的答案是3，思考題體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.）

（教學(xué)預(yù)判：如學(xué)生的程度較好，加做練習(xí)：已知等比數(shù)列.）

（設(shè)計(jì)意圖：對(duì)課堂有更為充分的把控，讓學(xué)生能更好地運(yùn)用知識(shí).）

板書(shū)設(shè)計(jì)

【教學(xué)反思】

本節(jié)課采用“多媒體優(yōu)化組合—激勵(lì)—發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)。該模式能夠?qū)⒔虒W(xué)過(guò)程中的各要素，如教師、學(xué)生、教材、教法等進(jìn)行積極的整合，使其融為一體，創(chuàng)造較好的教學(xué)氛圍。實(shí)際教學(xué)中基本完成所設(shè)想的內(nèi)容，通過(guò)設(shè)計(jì)情境“象棋的起源”引入課題，激發(fā)了學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)的積極性。創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境時(shí)往往并不直接揭示所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而需要學(xué)生基于自己的實(shí)踐和思考，從中提煉數(shù)學(xué)信息。