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    函數(shù)定義域的若干求法

    2018-05-14 13:52:17吳香娥
    關(guān)鍵詞:底數(shù)定義域化簡

    吳香娥

    [摘 要] 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一,而定義域作為函數(shù)的三要素之一尤為重要。介紹了函數(shù)定義域的類型和求法,目的在于使學(xué)生能夠全面地認(rèn)識定義域,深刻地理解定義域,并能學(xué)會如何求定義域及會解與定義域有關(guān)的題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

    [關(guān) 鍵 詞] 定義域;類型;集合

    [中圖分類號] G712 [文獻標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603(2018)08-0070-01

    函數(shù)的定義域是函數(shù)的三要素之一。而函數(shù)的定義是:設(shè)集合A和B集合是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為集合A到集合B的函數(shù)。記作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域。

    函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合,它是函數(shù)不可缺少的組成部分,研究函數(shù)問題必須樹立“定義域優(yōu)先”的觀念。注意定義域必須寫成集合的形式。

    題型一、求給定函數(shù)解析式的定義域

    求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題,在不等式(組)取交集時可借助于數(shù)軸。

    解答的主要依據(jù)有:

    1.分式的分母不為0;

    2.偶次根式的被開方數(shù)大于等于0;

    3.零次冪的底數(shù)不為0;

    4.對數(shù)的真數(shù)大于0;底數(shù)大于0且不等于1;

    5.正切函數(shù)f(x)=tanx(x≠k?仔+■ k∈Z)

    6.實際問題對自變量的限制;

    7.若函數(shù)由幾個式子構(gòu)成,求其定義域時要滿足各式子都有意義。(取交集)

    定義域問題的兩個易錯點為:忽略定義域;化簡后求定義域。所以在解題時,要時時考慮定義域是什么,不能忽略。否則會解答不出。還有,切記不能化簡后求定義域。

    下面用幾道例題來說明這種題型的解法。

    例1.求函數(shù)f(x)=■的定義域。

    解:要使函數(shù)有意義,須使x+1-2≠0 (1)x2-3x-4≥0 (2)

    由(1)得:x+1≠2,即x+1≠2或x+1≠-2

    ∴x≠1或x≠-3

    由(2)得:方程x2-3x-4=0的根為:-1,4

    ∴x≥4或x≤-1

    ∴函數(shù)的定義域為:x■x≥4或x≤1且x≠-3

    例2.函數(shù)f(x)=■的定義域是 .

    解析:要使函數(shù)有意義,須使2-x≥0x>0lgx ≠0即x≤0x>0x ≠1

    ∴0

    函數(shù)f(x)的定義域為(0,1)∪(1,2]∴

    例3.函數(shù)f(x)=tan(2x-■)的定義域是

    解析:要使函數(shù)有意義,須使2x-■≠■+k?仔 k∈Z

    即:2x≠■+k?仔 k∈Z

    x≠■+■ k∈Z

    ∴函數(shù)的定義域為:x│x≠■+■ k∈Z

    題型二、求抽象函數(shù)的定義域

    注意:1.函數(shù)的定義域是指自變量x的范圍;

    2.法則相同,范圍一致。

    (1)已知f(x)的定義域為A,求f[g(x)]的定義域。

    可通過解關(guān)于g(x)∈A的不等式,求出x的范圍。

    例1.已知f(x)的定義域為[1,2],求f(2x+1)的定義域。

    解:∵f(x)的定義域為[1,2]

    ∴1≤2x+1≤2 即0≤2x≤2 ∴0≤x≤■

    ∴f(x)的定義域為:[0,■]

    (2)已知f[g(x)]的定義域為A,求f[u(x)]的定義域。

    可由x∈A,求g(x)的范圍(y=g(x)的值域B)。再通過解關(guān)于U(x)∈B的不等式,求出x的范圍。

    例2.已知f(2x-1)的定義域為[-1,1],求f(3x+2)的定義域。

    解:∵f(2x-1)的定義域為[-1,1]

    ∴-1≤x≤1 即-2≤2x≤2 ∴-3≤2x-1≤1

    于是,-3≤3x+2≤1 即-5≤3x≤-1 ∴-■≤x≤-■

    ∴f(x)的定義域為:[-■,-■]

    題型三、已知定義域確定參數(shù)問題

    例 已知f(x)=■的定義域為R,求a的取值范圍。

    解:將逆向思維化歸為順向思維

    原函數(shù)有意義?圳ax2+4ax+3>0 (*)

    f(x)的定義域為R?圳ax2+4ax+3>0對x∈R恒成立。

    當(dāng)a=0時,(*)為3>0,恒成立。

    當(dāng)a≠0時,(*)恒成立?圳a>0Δ=(4a)2-12a<0?圳0

    綜上所述,a的取值范圍:[0,■)

    總之,函數(shù)的定義域是求解函數(shù)一切問題的基礎(chǔ),解決函數(shù)的一切問題必須認(rèn)真考察函數(shù)的定義域,學(xué)會并掌握求函數(shù)定義域的常用方法,是學(xué)習(xí)好函數(shù)有關(guān)知識的關(guān)鍵所在。

    參考文獻:

    何志平.高中創(chuàng)新學(xué)習(xí)[M].中國人民大學(xué)出版社,2002.

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