以二次函數(shù)教學(xué)為例談初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)

李正星

[摘 要] 初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接雖然并不是教學(xué)過程中出現(xiàn)的新問題，但很多教師在這個(gè)問題的處理上卻也并不盡如人意. 借助二次函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)過程實(shí)錄，將初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接的舊知回顧、問題探究、銜接點(diǎn)把握以及教學(xué)方式進(jìn)行了深入的探究和實(shí)踐性的思考.

[關(guān)鍵詞] 初高中數(shù)學(xué)；銜接教學(xué)；二次函數(shù)

初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接對(duì)于廣大教師來說一直是被重點(diǎn)討論的問題，二次函數(shù)又是初高中數(shù)學(xué)教材中均列為重點(diǎn)的函數(shù)，提及初高中數(shù)學(xué)的銜接自然避免不了二次函數(shù)的教學(xué)，本文結(jié)合高一年級(jí)二次函數(shù)銜接教學(xué)的公開課案例進(jìn)行主要的分析與思考.

■教學(xué)過程實(shí)錄

1. 回顧舊知，引出問題

問題1：已知點(diǎn)A（1，-4）是某二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，該圖像在x軸上截得線段記作MN，長為4，請(qǐng)問：該二次函數(shù)解析式是怎樣的？

設(shè)計(jì)意圖：回顧二次函數(shù)解析式的形式及圖像性質(zhì)

一般式與頂點(diǎn)式是大多學(xué)生選擇解題的方法，不過還是有少數(shù)學(xué)生聯(lián)想到了二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性，并以此確定了M（-1，0），N（3，0），同時(shí)設(shè)所求函數(shù)解析式為f（x）=a（x+1）（x-3），因f（1）= -4，所以a=1. 教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行合理的利用并因此減少不必要的運(yùn)算.

2. 問題探究

問題2：已知二次函數(shù)y=f（x），該函數(shù)圖像關(guān)于直線x=m對(duì)稱，如用函數(shù)符號(hào)對(duì)這一性質(zhì)進(jìn)行刻畫應(yīng)如何表達(dá)？

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)符號(hào)的描述在初高中是存在明顯差別的，這也正是高一新生函數(shù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn).但是這個(gè)問題考慮了初中所學(xué)二次函數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行了設(shè)計(jì)，更加符合高一新生在二次函數(shù)學(xué)習(xí)中的思維水平與習(xí)慣.為了使學(xué)生的思維更加順暢，教師又設(shè)計(jì)如下問題：

問題2.1： f（-1）與f（3）在問題1中表現(xiàn)出了怎樣的關(guān)系？

生1： f（-1）=f（3）.

問題2.2：若圖像上有任意一點(diǎn)M（x0，f（x0）），該點(diǎn)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為N，試求N的坐標(biāo).

生2：N（2-x0，2-f（x0）），因?yàn)镸，N關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則f（x0）=f（2-x0）.

問題2.3：若有M（1-x0，f（1-x0）），試求N的坐標(biāo).

生3：N（1+x0，f（1+x0）），且有f（1-x0）=f（1+x0）.

生4：圖像關(guān)于直線x=m對(duì)稱需滿足：f（m-x0）=f（m+x0）或f（x0）=f（2m-x0）.

師：二次函數(shù)改為一般函數(shù)，以上結(jié)論能成立嗎？

生5：在得出結(jié)論的過程中，函數(shù)具體的解析式未曾使用，所以，以上結(jié)論能成立.

鞏固練習(xí)：已知f（x）=2x2-ax+2013，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則f（x1+x2）=____.

問題3：如果問題1中頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（m，-4），則當(dāng)m變化時(shí)，該函數(shù)圖像的開口方向會(huì)變化嗎？大小呢？請(qǐng)證明.

設(shè)計(jì)意圖：（1）二次函數(shù)在初高中階段的最大區(qū)別正在于其靜態(tài)、動(dòng)態(tài)的呈現(xiàn)，此問題的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了二次函數(shù)由靜態(tài)升級(jí)到了動(dòng)態(tài)的過程；（2）使學(xué)生從初中階段的直覺認(rèn)知上升為高中階段的理性推理.

學(xué)生證明過程如下：

證明：因?yàn)镸N=4，可設(shè)M（m-2，0），N（m+2，0），則f（x）=a（x-m+2）（x-m-2），又因?yàn)閒（m）=-4，故a=1，所以，該函數(shù)開口方向與大小都不變.

問題4：已知f（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）

設(shè)計(jì)意圖：（1）強(qiáng)化函數(shù)、方程、不等式這三者之間的轉(zhuǎn)化這一高中二次函數(shù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)；（2）使學(xué)生對(duì)于參數(shù)的理解與處理能夠更加深化.

眾多解法中學(xué)生首先想到的是以下解法：

因?yàn)閒（x）=x2-2ax+b（a，b∈R）的值域是[0，+∞），故可得b=a2①. 因?yàn)閒（x）

教師引導(dǎo)學(xué)生通過問題3與4之間聯(lián)系的思考進(jìn)行了其他解法的嘗試.

解法1：因?yàn)閒（x）=x2-2ax+b的二次項(xiàng)系數(shù)是1且不會(huì)改變，值域是[0，+∞），將函數(shù)y=x2的圖像沿x軸平移，即可得到該函數(shù)圖像，因此，可設(shè)f（x）=（x-m-3）2，又由題意知c=f（m）=（m-m-3）2=9.

解法2：f（x）=x2-2ax+b的值域?yàn)閇0，+∞），將函數(shù)y=x2的圖像沿x軸平移，即可得到該函數(shù)圖像，不等式f（x）

鞏固練習(xí)：已知f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域是[2，+∞），關(guān)于x的方程f（x）=c的解集是{m-1，m+3}，求實(shí)數(shù)c的值.

■初高中教學(xué)銜接的思考

初中生進(jìn)入高中以后出現(xiàn)成績(jī)的兩極分化既有學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度等主觀因素，又有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)所存在的客觀差異. 結(jié)合教學(xué)實(shí)踐與師生訪談，筆者有如下建議：

1. 增強(qiáng)教學(xué)銜接的意識(shí)

真正能夠處理好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接的教師不是很多，事實(shí)上，有幾種傾向是需要高中數(shù)學(xué)教師盡量克服的.

（1）本位主義

有些教師存在學(xué)生初中沒有學(xué)好的主觀認(rèn)識(shí)，事實(shí)上，這是推卸責(zé)任的表現(xiàn). 高一新生即使在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上感覺困難是因?yàn)槌踔谢A(chǔ)薄弱，教師也應(yīng)該仔細(xì)衡量學(xué)生的水平情況并做出科學(xué)、合適的調(diào)整.

（2）經(jīng)驗(yàn)主義

初高中學(xué)校的獨(dú)立使得很多高中教師不可能有初中教學(xué)的經(jīng)歷，偏偏還有很多教師對(duì)于初中數(shù)學(xué)課標(biāo)以及教材都沒有主動(dòng)關(guān)注與研究的意識(shí)，初中教材又會(huì)時(shí)常根據(jù)教學(xué)的形式以及學(xué)生的成長做出必要的改變，這就造成很多教師對(duì)于高一新生數(shù)學(xué)教學(xué)的起點(diǎn)不能精準(zhǔn)把握. 比如，高中教師在面對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要求相對(duì)較低的十字相乘法、韋達(dá)定理、特殊角的三角函數(shù)值等等內(nèi)容時(shí)，往往會(huì)把學(xué)生的認(rèn)知程度定位得更高，在高中階段這些內(nèi)容的教學(xué)中往往會(huì)比較輕率，初高中教學(xué)的脫節(jié)也就自然產(chǎn)生了.

2. 把握“銜接點(diǎn)”

筆者認(rèn)為，以下兩個(gè)教學(xué)“銜接點(diǎn)”是初高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要重點(diǎn)把握的.

（1）數(shù)學(xué)知識(shí)的“銜接點(diǎn)”

初高中數(shù)學(xué)在知識(shí)層面自然是存在著千絲萬縷的內(nèi)在聯(lián)系的，比如函數(shù)的定義、二次函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何以及立體幾何等等知識(shí)體系都有如此的體現(xiàn). 因此，初高中教材中的邏輯結(jié)構(gòu)這一關(guān)鍵是需要高中數(shù)學(xué)教師認(rèn)真鉆研的，這一研究能使教師盡快找出初高中教材在知識(shí)層面的聯(lián)系. 比如，教材雖然未將二次函數(shù)這一知識(shí)體系進(jìn)行獨(dú)立編寫，但這一內(nèi)容卻不僅僅是高考的重點(diǎn)，在初高中數(shù)學(xué)聯(lián)系這一層面上也是最為典型的. 教師在二次函數(shù)的教學(xué)中往往可以通過二次函數(shù)解析式的求解將學(xué)生初中所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行回顧，并因此將二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)進(jìn)行升級(jí)與強(qiáng)化，從而對(duì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)起到銜接與促進(jìn)的作用.

（2）思維方法的“銜接點(diǎn)”

如果有心對(duì)高一學(xué)生進(jìn)行觀察與調(diào)研的話，我們不難發(fā)現(xiàn)高一學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的最大困難往往表現(xiàn)在初高中思維方式的差異上.很多時(shí)候，初高中教學(xué)銜接的最大問題便是教師對(duì)高一新生思維起點(diǎn)的把握不夠精準(zhǔn). 直觀與形象是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)比較注重的，抽象思維訓(xùn)練在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂上，即使是初三數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂上都是比較少見的，甚至出現(xiàn)了很多優(yōu)秀學(xué)生“陪讀”的現(xiàn)象. 因此，筆者在本課的教學(xué)中尤為注重學(xué)生思維“銜接點(diǎn)”的關(guān)注，對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的符號(hào)表示上注重由形象到抽象的銜接，在對(duì)稱性結(jié)論的講解中注重由具體到一般的銜接等等. 學(xué)生思維上的自然過渡與提升在這樣能夠注重銜接的教學(xué)設(shè)計(jì)中得以逐步實(shí)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)抽象描述的理解在這樣精心的設(shè)計(jì)與銜接教學(xué)中也得以順利達(dá)成.