把握函數(shù)結(jié)構(gòu) 生成動態(tài)認知
——復(fù)習(xí)課《二次函數(shù)的表達方式》案例

季近仁

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)唯亭學(xué)校 215000)

一、問題的提出

《二次函數(shù)》是蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級下冊第五章的內(nèi)容，分別從二次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)的應(yīng)用四個方面進行教學(xué).在學(xué)習(xí)完新課之后，從建構(gòu)主義和認知主義多元視角解析二次函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)，略顯干澀的二次函數(shù)解析式中可以求出無數(shù)個二次函數(shù)上的點，通過表格的輔助得到圖象，圖象直觀地描述了二次函數(shù)的性質(zhì)，其中與x軸的交點問題又與一元二次方程契合，另外在現(xiàn)實問題中，往往給出的是表格或者圖象，而不是解析式.綜觀整體，二次函數(shù)的教學(xué)中暗含了一條隱線：二次函數(shù)的三種表達形式之間的相互轉(zhuǎn)化.基于此，我設(shè)計了《二次函數(shù)的表達方式》的課堂教學(xué).

二、理論基礎(chǔ)

1.建構(gòu)主義

建構(gòu)主義是在皮亞杰的自我建構(gòu)論和維果斯基的社會建構(gòu)論的基礎(chǔ)上建立起來的.建構(gòu)主義者的觀點是學(xué)習(xí)實質(zhì)是學(xué)習(xí)者主動建構(gòu)內(nèi)部心理表征的過程，學(xué)習(xí)結(jié)果是知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)果，學(xué)習(xí)過程是獨特的，非一致的信息加工活動，自我建構(gòu)，強調(diào)自我探索，協(xié)作學(xué)習(xí).建構(gòu)主義的基本思路是：注重以學(xué)生為中心進行教學(xué)；注重在實際情境中進行教學(xué)；注重協(xié)作學(xué)習(xí)，提倡師徒式傳授；注重提供充分的資源，讓學(xué)生自我探索.最根本的一點就是建構(gòu)主義認為知識不是通過教師傳授得到，而是學(xué)生主動建構(gòu)獲得的.

2.認知主義

以布魯納和奧蘇泊爾等為代表的認知主義心理學(xué)家提出，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者內(nèi)部認知結(jié)構(gòu)的形成和改組.課程目標應(yīng)能促進學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展，課程設(shè)計要一句學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)水平，尊重認知規(guī)律，教材編制要體現(xiàn)“結(jié)構(gòu)”論的思想，在教學(xué)過程中應(yīng)注意提供先行組織者，以便學(xué)生的新舊知識與經(jīng)驗產(chǎn)生聯(lián)系.

三、復(fù)習(xí)課《二次函數(shù)的表達方式》案例

本節(jié)課的教學(xué)目標是掌握二次函數(shù)的解析式、表格、圖象三種表達方式以及相互的轉(zhuǎn)化；分別從二次函數(shù)解析式、表格、圖形三個角度認識二次函數(shù)的性質(zhì)；體會數(shù)、表、形之間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的一般化思想.由于在平時教學(xué)中，我們多有強調(diào)解析式與圖象，使得學(xué)生對于表格的認識停留在解析式與圖象的媒介，因此本節(jié)課的教學(xué)重難點是從表格中認識二次函數(shù)的性質(zhì).

教學(xué)一開始，復(fù)習(xí)導(dǎo)入，讓同學(xué)們回憶已經(jīng)學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)的三種表達形式，直接點明本節(jié)課的主題，為本節(jié)復(fù)習(xí)課打下第一塊基石.

1.首先，從學(xué)生最熟悉的解析式入手.

問題1 已知二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x2-4x+3，你能得到函數(shù)的表格和圖象嗎？

x……y……

問題1的提出，揭示了二次函數(shù)的解析式，表格，圖象三者之間最原始的關(guān)系，既起到了復(fù)習(xí)的作用，又展示了二次函數(shù)的三種表達形式.學(xué)生上手比較快，尊重學(xué)生的認知水平和認知規(guī)律，強化了學(xué)生的操作能力，激發(fā)學(xué)生興趣.

2.其次，我們來研究一下平時有所忽略的表格中蘊含著哪些秘密.

問題2：已知二次函數(shù)的表格，

(1)你能從表格中得到哪些關(guān)于函數(shù)的信息？

x…-4-3-2-1012…y…0-5-8-9-8-50…

①通過觀察得到二次函數(shù)的頂點坐標____，對稱軸是____;

②二次函數(shù)有最____值，當(dāng)x=____時，y有最____值____;

③通過觀察得到二次函數(shù)與x軸交點為____;

④通過觀察得到二次函數(shù)與y軸交點為____;

⑤對稱軸的____側(cè)，即____，y隨x增大而____，對稱軸的____側(cè)，即____，y隨x增大而____.

(2)你能得到函數(shù)的解析式嗎？

問題2第一小問通過直接給出表格，以填空的形式幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)表格中的信息.填空的內(nèi)容全面細致，包括了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，都是學(xué)生熟悉的知識，學(xué)生準確率高，掌握情況較好.表格旁的平面直角坐標系是輔助學(xué)生發(fā)現(xiàn)信息的，可以由學(xué)生自己選擇用或者不用，分層教學(xué)，因材施教.第二小問可以采用分組教學(xué)的方式，每個小組在討論之后給出自己的方法，既復(fù)習(xí)了二次函數(shù)解析式的三種表示方式(頂點式，交點式，一般式)，又連接起了表格與解析式之間轉(zhuǎn)化的橋梁.

在完成問題2后，通過一個變式讓大家腦洞大開.

變式：你能將二次函數(shù)的表格填寫完整嗎？

x…-5-4-2-1013…y…-14-7-2121-2…

變式的方法很多，學(xué)生各顯神通，給出了多種不同的解法，無論是求解解析式代入的方法，還是觀察表格對稱性的方法，只要方法得當(dāng)，計算不復(fù)雜，都給予肯定，大大增強了學(xué)生的自信心，發(fā)散了學(xué)生的思維.

因為表格是本節(jié)課的重難點，適當(dāng)輔以練習(xí)是很必要的.

練習(xí)：

1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，且a≠0)中的x與y的部分對應(yīng)值如下表：

x…-1013…y…-1353…

(1)對稱軸為____；

(2)開口____，對稱軸的右側(cè)，即____，y隨x增大而____；

(3)當(dāng)x=____時，函數(shù)值y=-1.

2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：則當(dāng)y<5時，x的取值范圍是____．

x…-10123…y…105212…

練習(xí)中的兩個小題緊扣問題2 ，從二次函數(shù)表格出發(fā)，略略增加難度，提出相關(guān)的不等式知識，幫助學(xué)生在原有基礎(chǔ)上更進一步，符合最近發(fā)展區(qū)理論.學(xué)生在練習(xí)中表現(xiàn)出一定的差異，在學(xué)生講解之后，大部分學(xué)生能夠理解掌握，完善了二次函數(shù)的結(jié)構(gòu).

3.然后，讓我們回到直觀的圖象，來看看有什么新的發(fā)現(xiàn).

問題3：已知二次函數(shù)的圖象，

(1)你能從圖象中得到哪些關(guān)于函數(shù)的信息？

①通過觀察得到二次函數(shù)的圖象開口____;

②通過觀察得到二次函數(shù)的頂點坐標____，對稱軸是____;

③通過觀察得到二次函數(shù)與x軸交點為____;

④通過觀察得到二次函數(shù)與y軸交點為____;

⑤二次函數(shù)有最____值，當(dāng)x=____時，y有最____值____.

⑥對稱軸的____側(cè)，即____，y隨x增大而____，對稱軸的____側(cè)，即____，y隨x增大而____

(2)你能根據(jù)函數(shù)圖象得到函數(shù)的解析式和表格嗎？

類比問題2，觀察圖象得到二次函數(shù)的性質(zhì)，并且從函數(shù)圖象回歸函數(shù)解析式和表格.幫助學(xué)生構(gòu)建完整的二次函數(shù)三種表達形式，透徹理解相互之間的轉(zhuǎn)化.

通過一組小練習(xí)，強化二次函數(shù)的圖象.

練習(xí)：

1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的大致圖象如圖，關(guān)于該二次函數(shù)，下列說法錯誤的是( ).

A．函數(shù)有最小值

B．對稱軸是直線x= 2

C．當(dāng)x<2，y隨x的增大而減小

D．當(dāng)10

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，

(1)補全函數(shù)圖象；

(2)求圖象與x軸的交點；

(3)求函數(shù)圖象上縱坐標為3的點的坐標.

練習(xí)中的兩道題目在熟練掌握問題3后，做起來得心應(yīng)手，計算強度小，學(xué)生產(chǎn)生成就感，感受到了數(shù)學(xué)的魅力.

4.最后，在掌握的基礎(chǔ)上有所提升，以思考題的形式對本節(jié)課進行小結(jié).

(1)寫出該函數(shù)圖象的對稱軸；

(2)若將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°到OA′，

試判斷點A′是否為該函數(shù)圖象的頂點？

(3)本節(jié)課你有哪些收獲？

學(xué)生的收獲可以用圖來表示：

整節(jié)課通過新舊知識的聯(lián)系，以學(xué)生為中心，主動建構(gòu)新知識，圍繞二次函數(shù)的三種表達形式：解析式、表格、圖象，脈絡(luò)清晰，注重“結(jié)構(gòu)”教學(xué)，學(xué)生溫故而知新，從中收獲的不僅是知識，還有興趣，自信，成功的喜悅.

參考文獻：

[1]施良方.課程理論——課程的基礎(chǔ)、原理與問題[M].北京：教育科學(xué)出版社，1996.

[2]黃甫全.現(xiàn)代課程與教學(xué)論學(xué)程[M].北京：人民教育出版社，2006.