三道三角函數(shù)中考題之我解

李玉榮

(南京金陵中學(xué)河西分校 210019)

以圓為背景的三角函數(shù)題是中考的熱點(diǎn)題型之一，這類題融合了幾何證明與代數(shù)計(jì)算，具有一定的難度．恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的突破口，解題方法的不同，決定了解題 “長(zhǎng)度”的不同．

題1 (2010·山東泰安)如圖1，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為2，BE=1，求cosA的值．

標(biāo)準(zhǔn)答案：

(1)證明：連結(jié)OD.

∵AB=AC，∴∠ACB=∠B.

∵OD=OC， ∠ACB=∠ODC，

∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB.

∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線.

(2)由(1)知OD∥AE，∴△FOD∽△FAE，

簡(jiǎn)潔解法如圖2，連接OD，作OG⊥AB于點(diǎn)G，

則四邊形OGED為矩形，∴GE=OD=2.

∴AG=AB-GE-BE=1，

評(píng)注標(biāo)準(zhǔn)答案是將∠A置于Rt△AEF中，需要求出AF，這需要通過(guò)相似三角形列比例解方程得到；而后一種解法巧妙地添加輔助線，將∠A置于Rt△AGO中，直接求得結(jié)果，解法更為簡(jiǎn)潔．

題2 (2014·湖北鄂州)如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過(guò)C作CD⊥AD于D，交AB的延長(zhǎng)線于E．

(1)求證：CD為⊙O的切線；

標(biāo)準(zhǔn)答案

(1)證明：如圖3，連接OC.

∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB.

∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.

∵OC為⊙O半徑，∴CD是⊙O的切線.

(2)解：如圖4，連接BC.

∵AB為直徑，∴∠ACB=90°.

∵CD⊥AD，∴∠D=90°，∴∠ACB=∠D.

∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB，

簡(jiǎn)潔解法如圖5，連接OC，作OH⊥AD于點(diǎn)H，

評(píng)注標(biāo)準(zhǔn)答案是將∠DAB置于Rt△AED中，需要求出AE，為此，需要兩次利用相似三角形求解；而后一種解法巧妙地添加輔助線，將∠A置于Rt△AHO中，利用勾股定理求出半徑進(jìn)而得到結(jié)果，解法更為簡(jiǎn)潔．

題3 (2014·湖北武漢)如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于C、D．若⊙O的半徑為r，△PCD的周長(zhǎng)等于3r，則tan∠APB的值是( ).

標(biāo)準(zhǔn)答案如圖6，連接OA、OB、OP，延長(zhǎng)BO交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

∵PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，

∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB.

在Rt△FBP中，∵PF2-PB2=BF2,

簡(jiǎn)潔解法如圖7，過(guò)點(diǎn)O作OG∥PA交PB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥PA于點(diǎn)H，

則四邊形PAGH為矩形，GH=AO=r.

在Rt△OGB中，根據(jù)勾股定理得GB2+OB2=OG2，

評(píng)注此題必須添加輔助線，標(biāo)準(zhǔn)答案是將∠APB置于Rt△FBP中，需要求出BF，這需要通過(guò)相似三角形列比例找出AF與BF的關(guān)系，再利用勾股定理列方程求解；而后一種解法巧妙地添加輔助線，將∠APB置于Rt△GHP中，僅僅利用勾股定理就求得結(jié)果，解法更為簡(jiǎn)潔．

從題1、題2的解題過(guò)程看，連接半徑后得到直角梯形，作高求解就十分自然、順暢，而題3連接半徑后得到有一對(duì)角為直角的四邊形，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作一邊的平行線就轉(zhuǎn)化為直角梯形，進(jìn)而可作高求解．可見(jiàn)，掌握基本圖形及其轉(zhuǎn)化方法，即把隱形的解題經(jīng)驗(yàn)顯性化、算法化，對(duì)有效、簡(jiǎn)潔解題十分有幫助．

參考文獻(xiàn)：

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