利用數學模型探求“線段最值”

卜平平

(江蘇省連云港市灌南實驗中學 222500)

一、重點知識與命題特點

最值連續(xù)多年廣泛出現于中考試題中，由冷點變?yōu)闊狳c,求相關線段、線段之和差、面積等最大與最小值.此類問題涉及的知識要點有以下方面: ①兩點間線段最短；②垂線段最短；③三角形的三邊關系；④ 定圓中的所有弦中，直徑最長；⑤圓外一點與圓的最近點、最遠點.⑥借助轉化為代數思想：一次函數反比例函數增減性、二次函數的最值問題.命題特點側重于在動態(tài)環(huán)境下對多個知識點的綜合考查.

二、真題賞析

例1 (福建龍巖)如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P為對角線BD上一動點，則EP+FP的最小值為( ).

A．1 B．2 C.3 D．4

題型特征利用軸對稱求最短路線問題

示范解讀此類利用軸對稱求最短路線問題一般都以軸對稱圖形為題設背景,如圓、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐標系等.首先根據題意畫出草圖，利用軸對稱性找出對應線段之間的相等關系，從而把所求線段進行轉化，畫出取最小值時特殊位置.兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的是“小河”問題，關鍵是指出一條對稱軸“河流”(如圖1)．三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題關鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”(如圖2)，結合其他相關知識加以解決.

圖1 圖2

示范解讀⊙O的大小隨著AD的變化而變化,在此變化過程中,圓周角∠BAC的度數始終保持不變,而線段EF即為⊙O中60°圓周角所對的弦,弦EF的大小隨⊙O直徑變化的變化而變化,當圓O的直徑最小時，60度圓心角所對的弦長最短，即轉化為求AD的最小值,由垂線段最短得出當AD⊥BC時,AD最短，如圖4.

例3 (2017徐州)如圖，將邊長為6的正三角形紙片ABC按如下順序進行兩次折疊，展開后，得折痕AD,BE(如圖1)，點O為其交點.(1)探求AO與OD的數量關系，并說明理由；(2)如圖2，若P,N分別為BE,BC上的動點,①當PN+PD的長度取得最小值時，求BP的長度；②如圖3，若點Q在線段BO=1上，則QN+NP+PD的最小值= .

示范解讀試題分析：(1)根據等邊三角形的性質得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°,得到AO=OB.根據直角三角形的性質中得到結論.

(3)如圖3，作Q關于BC的對稱點Q′,作D關于BE的對稱點D′,連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值.根據軸對稱的定義得到∠Q′BN=∠QBN=30°,∠QBQ′=60°,得到△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，解直角三角形即可得到結論.

三、專題總結

幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：1．特殊位置與極端位置法；2．幾何定理(公理)法；3．數形結合法等．復習時既要注重對基本知識源的理解與建構，更要注重對相關知識源的綜合與整合.在解決本類題型時我們要學會動中覓靜，即要分析總結圖形中動點在運動過程中不變元素，探尋那些隱含的、在運動變化中的不變量或不變關系．通過不變關系建立相關模型實現最值的轉化.

參考文獻：

[1]韓兵. 高中數學解題教學中分類討論思想的培養(yǎng)[J]. 數學大世界(下旬),2016(2):56.

[2] 章建躍.數學學習論與學習指導[M]. 北京：人民教育出版社, 2001.