一個杠桿問題的解法及推廣

【摘要】用對函數(shù)求導確定駐點的方法，探究一個力學問題中兩物體間作用力的變化規(guī)律，并將解決問題的方法作一推廣.

【關鍵詞】鋼板；圓柱體；壓力；杠桿平衡；三角函數(shù)

例題1如圖1所示，一密度均勻的長鋼板OA左端O點用鉸鏈固定于地面，從鋼板右方底下沿水平地面向左推進一個圓柱體鐵桶，若不計摩擦，在鐵桶緩慢左移的過程中，鋼板對鐵桶的壓力[假設鐵桶剛進入時鋼板與水平地面的夾角足夠小]（）.

A.逐漸變小B.逐漸變大

C.始終不變D.先變大，再變小

作為選擇題，考慮“極端值”并采用淘汰法，很容易確定本題的答案是選項D——由題目條件“鐵桶剛進入時鋼板與水平地面的夾角足夠小”可知，若鐵桶直徑相對鋼板的長度足夠小（只有這樣才能保證開始“鋼板與水平地面的夾角足夠小”），鐵桶剛進入時，鋼板對鐵桶的壓力接近于鋼板重力的一半，當鐵桶向左前進相當長的距離后（比如前進的距離是鋼板長度的一半），則相對于支點，鐵桶對鋼板壓力的力臂幾乎減小一半，而鋼板與水平面的夾角可以幾乎不變（我們可以設想鋼板有鉸鏈的一端在北京，另一端在上海，鐵桶只是直徑為30cm的普通鐵桶，就可以想象出在鐵桶向左推進過程中鋼板與水平地面夾角的變化情形了），所以，開始的過程，鐵桶與鋼板間的壓力應該不斷的增大，而當鋼板與水平地面的夾角接近于90°時，鋼板與鐵桶之間的壓力趨向于0，變得很小，所以，我們可以將題目所給4個選項中的前三個淘汰，而得出本題的正確選項D.

圖1圖2然而，如果本題不是選擇題，而是一道問答題——“在鋼板從右端緩慢推進過程中，鋼板對鐵桶的壓力如何變？”，或者，題目雖然依然是選擇題，但作為教師的我們想弄清楚在鐵桶的整個運動過程中，鋼板與鐵桶間壓力的變化規(guī)律，那么，就需要對兩者間的壓力進行定量分析.下面，我們將本題作為問答題進行解答.

分析在鐵桶向左緩慢移動的的過程中，鐵桶對鋼板壓力的作用點位置和方向都在不停的變化，而且鋼板與水平面的夾角也在不斷增大.設鋼板與水平地面的夾角為θ，顯然，當鋼板的長度、重力和鐵桶的直徑大小等物理量確定之后，對于每一個確定的θ值，鐵桶都有唯一的位置與之對應，此時，鐵桶對鋼板壓力的大小便唯一確定下來了，所以，鐵桶與鋼板間壓力的大小是鋼板與水平面夾角θ的函數(shù)，函數(shù)關系式一旦確定下來，我們就可以確定鐵桶與鋼板之間壓力的變化范圍，當然也是鋼板對鐵桶壓力的變化范圍.

解析如圖2所示，設鋼板長為L，重力是G，鐵桶直徑為R，鋼板與水平面的夾角為θ時鐵桶對鋼板的壓力是F，以鉸鏈點O為質(zhì)點，由杠桿平衡條件可得：F·Rcotθ2=G·12Lcosθ.

所以F=GLcosθ2Rcotθ2=GL2Rcosθtanθ2（arctan2RL≤θ≤π2）

F對θ求導，令導數(shù)為0，確定函數(shù)的駐點——

由F′=GL2R（-sinθtanθ2+12cosθsec2θ2）=0得：

sinθtanθ2=12cosθsec2θ2

所以tanθtanθ2=12sec2θ2

利用2倍角三角函數(shù)公式，將等式中的不同角度的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同一角度的三角函數(shù)，可得：

4tan2θ21-tan2θ2=sec2θ2

所以4sin2θ2cos2θ2-sin2θ2=1cos2θ2

所以4sin2θ21-2sin2θ2=11-sin2θ2

令x=sin2θ2，則有：4x1-2x=11-x

整理得：4x2-6x+1=0

所以x=6±208=3±54（將大于1的舍去），故有：sin2θ2=3-54

因為sinθ2>0，故有：

θ=2arcsin3-54=2arcsin6-258=2arcsin（5-1）28=2arcsin10-24

因為函數(shù)F=GL2Rcosθtanθ2（arctan2RL≤θ≤π2）在其定義域內(nèi)只有唯一的一個駐點θ=2arcsin10-24，且當θ=π2，壓力F=0最小，所以，駐點處的函數(shù)有最大值，因此，本題的正確選項是D——先變大，再變小.

那么，當鋼板下的圓柱體鐵桶改為其它形狀的物體時，在不考慮摩擦的情況下，答案是否還是如此？

例題2如圖3所示，一長度為L密度均勻的長鋼板OA的重力為G，左端O點用鉸鏈固定于地面，從鋼板右方底下沿水平地面向左推進一棱長為a的正方體，若不計摩擦，在正方體緩慢左移的過程中，求鋼板對正方體壓力的變化范圍[已知正方體的棱長a與鋼板長度L間的關系為a<22L]

圖3圖4解析如圖4所示，由于沒有摩擦，所以正方體與鋼板之間只存在正壓力，不存在切向作用力，因此，正方體對鋼板的作用力垂直于鋼板.仿照例題1的解法，以O為支點，由杠桿平衡條件得：

F·asinθ=G·L2cosθ

所以F=GL2asinθcosθ=GL4asin2θ

所以F′=GL2acos2θ

由F′=GL2acos2θ=0得：θ=π4

由于在自變量的取值范圍內(nèi)，函數(shù)F=GL4asin2θ只有唯一的駐點θ=π4，而當θ→π2時，鋼板與正方體間的壓力F→0，所以，當θ=π4時，鋼板與正方體間的壓力存在最大值，此最大值Fmax滿足：

Fmax·2a=G·L2·22

解得：Fmax=LG4a.

因此，在正方體緩慢左移的過程中，鋼板對正方體壓力的變化范圍是0≤F≤LG4a.

作者簡介王偉民（1964—），男，本科學歷，中教高級.曾榮獲太和縣優(yōu)秀教師、太和縣師德標兵、阜陽市優(yōu)秀教師等稱號；在《物理通報》、《物理教學》、《物理教學探討》、《物理教師》、《中學物理教學參考》、《中學地理教學參考》、《中學生物教學》、《中學數(shù)學教學參考》、《中學數(shù)學雜志》、《中小學數(shù)學》等期刊發(fā)表論文140余篇.