核心素養(yǎng)下“說數(shù)學(xué)”運(yùn)用于個(gè)別輔導(dǎo)的案例研究

【摘要】個(gè)別輔導(dǎo)是數(shù)學(xué)教學(xué)的常規(guī)工作.如何提高個(gè)別輔導(dǎo)的效果、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，很值得研究.論文在概述核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用案例研究法對(duì)在個(gè)別輔導(dǎo)中實(shí)施“說數(shù)學(xué)”展開了探究，得出了結(jié)論：“說數(shù)學(xué)”能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的提高；“說數(shù)學(xué)”有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成；“說數(shù)學(xué)”有助于提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；說數(shù)學(xué)；個(gè)別輔導(dǎo)；案例.

1引言

“任何較為復(fù)雜的實(shí)踐活動(dòng)都不可能通過簡單套用某一現(xiàn)成的理論就可獲得成功；恰恰相反，由于對(duì)象與情境的多元性與復(fù)雜性，所有的實(shí)踐不可能被完全納入任何一個(gè)固定的理論框架”，“我們應(yīng)更加重視‘實(shí)踐性智慧”，“借助于案例進(jìn)行思維”，“作為反思性實(shí)踐者，應(yīng)當(dāng)高度重視案例（包括正例和反例）的分析與積累，并能通過案例的比較獲得關(guān)于如何從事新的實(shí)踐活動(dòng)的重要啟示”[1].個(gè)別輔導(dǎo)是數(shù)學(xué)教學(xué)的常規(guī)工作.如何提高個(gè)別輔導(dǎo)的效果、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，很值得研究.因此，本文選取案例研究法對(duì)數(shù)學(xué)個(gè)別輔導(dǎo)進(jìn)行探究.

1.1“說數(shù)學(xué)”的界定

“說數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)交流中的口頭交流形式.“說數(shù)學(xué)”是指個(gè)體用口頭表達(dá)自己對(duì)數(shù)學(xué)問題的具體認(rèn)識(shí)、理解，解決數(shù)學(xué)問題的思路、思想和方法以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、體會(huì)等的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，包括“說知識(shí)”、“說過程”、“說異見”和“說體會(huì)”等環(huán)節(jié).它們分別是指口頭表達(dá)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，個(gè)體解決某數(shù)學(xué)問題的過程，口頭表達(dá)個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的過程和結(jié)果的不同看法，個(gè)體探究某數(shù)學(xué)問題后的情感與體會(huì)[2].

1.2數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可界定為個(gè)體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)中所形成的、在各種社會(huì)生活情境中積極運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維分析、解決各種問題，發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，實(shí)現(xiàn)自身與社會(huì)持續(xù)發(fā)展的最基本、最具生長性的相關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng).這些素養(yǎng)涉及數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、情感、態(tài)度、價(jià)值觀等多個(gè)方面”[3].六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分別是數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)推理、運(yùn)算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)學(xué)建模.“數(shù)學(xué)交流”是頂層的基礎(chǔ)性目標(biāo)，即學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，能夠掌握基本的數(shù)學(xué)符號(hào)、語言，并能正確地選擇和使用數(shù)學(xué)符號(hào)語言，通過口頭、圖表或是書面的方式表達(dá)自己的想法和觀點(diǎn)，并在理解他人觀點(diǎn)或是具體問題時(shí)能選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)術(shù)語、符號(hào)、圖表等工具進(jìn)行表征，以及學(xué)會(huì)傾聽來自不同文化背景下的數(shù)學(xué)思維方式，在理解的基礎(chǔ)上對(duì)他人觀點(diǎn)進(jìn)行分析與評(píng)論，在主動(dòng)構(gòu)建論據(jù)與他人交流的同時(shí)逐步形成批判性思維[3].

2案例描述

我對(duì)為一個(gè)高三文科班的女學(xué)生L答疑的情景記憶猶新.我曾任教過女學(xué)生L的高一數(shù)學(xué)一年，對(duì)她的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況比較了解.那是高三第二學(xué)期的某一個(gè)下午的放學(xué)時(shí)間，女學(xué)生L拿著她的一份試題來辦公室找我，要我給她講一講這道題（簡稱“習(xí)題1”）：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC.

（Ⅰ）求證：△ABC為直角三角形；

（Ⅱ）若a+b+c=1+2，求△ABC面積的最大值.

作為任教理科創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班的我，看了題目，馬上就說：“這題目不難啊.”我拿起筆快速地在草稿紙上進(jìn)行分析，然后充滿自信地寫下了解答，具體如下（簡稱“解法1”）：

解（Ⅰ）因?yàn)閟inA+sinB=（cosA+cosB）sinC，

由正、余弦定理，得：

所以a+b=（b2+c2-a22bc+c2+a2-b22ca）·c=b2+c2-a22b+c2+a2-b22a，

所以b2-c2+a2b=c2-a2-b2a.

所以ab2-ac2+a3=bc2-ba2-b3.

所以ac2+bc2=ab2+a2b+a3+b3

=a（a2+b2）+b（a2+b2）

=（a+b）（a2+b2）.

所以（a+b）·（a2+b2）=（a+b）·c2

因?yàn)閍+b>0， 所以a2+b2=c2.

所以△ABC為直角三角形，∠C=90°.

（Ⅱ）因?yàn)閍+b+c=1+2，a2+b2=c2，

所以1+2=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=（2+2）ab，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，上式等號(hào)成立，

所以ab≤22. 故S△ABC=12ab≤12×222=14，即△ABC面積的最大值為14.

我解答完之后，主動(dòng)對(duì)女學(xué)生L說：“見到sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，就要想到需用正弦定理或者余弦定理，由于等式兩邊都有sinA，sinB，sinC，故先用正弦定理，然后用余弦定理將cosA，cosB展開，那就將這式子全部轉(zhuǎn)化為邊長來表示了”.突然，女學(xué)生L問：“老師，沒有其它方法了嗎？”我說：“應(yīng)該沒有了！”她說：“老師，能不能將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？”我馬上充滿自信地說：“這個(gè)等式的兩邊都是正弦，肯定是用正弦定理的了.你覺得將角轉(zhuǎn)化能做得出來嗎？”此時(shí)，學(xué)生L在草稿紙上獨(dú)立進(jìn)行解答，我繼續(xù)做我自己的事情.大約5分鐘后，她將解答拿給我看，說：“老師，我做出來了，請(qǐng)幫我看看行不行？”她的解答如下（簡稱“解法2”）：

解因?yàn)閟inA+sinB=（cosA+cosB）sinC，

所以sinA+sin（A+C）=（cosA+cosB）sinC=cosAsinC+cosBsinC.

所以sinA+sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC+cosBsinC.

所以sinA+sinAcosC=cosBsinC.

所以sin（B+C）+sinAcosC=cosBsinC，

即sinBcosC+cosBsinC+sinAcosC=cosBsinC.

所以sinBcosC+sinAcosC=0，

即（sinB+sinA）cosC=0.

因?yàn)锳，B∈（0，π），

所以sinB+sinA≠0.

所以cosC=0.

所以C=90°.

看到她的解答，我很吃驚，想不到將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化真的能做出來.此時(shí)，我看完解法2后馬上說：“真的可以哦！你很厲害啊！我剛才的想法是錯(cuò)誤的！”憑我的工作經(jīng)驗(yàn)，我覺得這是一個(gè)“說數(shù)學(xué)”的好機(jī)會(huì)，讓這個(gè)兩年前我任教過的學(xué)生“說數(shù)學(xué)”.我對(duì)學(xué)生L說：“你的解答很好！你能告訴我這道題考查什么知識(shí)嗎？”（“說知識(shí)”）學(xué)生L看著解答說：“如果用你的做法來做第（1）小題，那就考查余弦定理、正弦定理，第（2）小題考查基本不等式，求三角形的面積的最值.”“對(duì)，很好！你現(xiàn)在看來，這道題的解答步驟是怎么樣的？”我繼續(xù)問.學(xué)生L看著解答，不是很順暢地說：“我認(rèn)為，第一步是，看到題目的條件之后，要選擇到底要用正弦定理，還是用余弦定理；第二步是，將題目條件的sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC化簡；第三步是，想辦法得到有一個(gè)內(nèi)角是90°或者邊長符合勾股定理.第（2）問呢？是求面積的最大值，肯定先要將面積表示出來，那就用S=12absinC=12acsinB=12bcsinA了.”接著我說：“說得很好的！不過我覺得思路上可以更加優(yōu)化.我們審題時(shí)，要將題目條件和問題聯(lián)系起來.就第（1）小題來說，我們應(yīng)先看問題：證明△ABC為直角三角形.要證明一個(gè)三角形是直角三角形，其方法有兩種：一是證明其中一個(gè)內(nèi)角是直角，二是證明其邊長符合勾股定理逆定理.這時(shí)候，再看題目條件適合我們選擇哪一種方法.” 學(xué)生L滿意地點(diǎn)頭.我接著再問：“你自己在之前做這道題時(shí)，遇到了什么困難啊？”（“說體會(huì)”）學(xué)生L害羞地說：“我平時(shí)做三角解答題，在選擇用正弦定理還是余弦定理上不熟練，有時(shí)也會(huì)計(jì)算出錯(cuò).對(duì)于這道題的第（2）小問，我完全不知道如何入手，無法將S=12absinC和a+b+c=1+2聯(lián)系起來，卡住了.”我追問學(xué)生L：“你現(xiàn)在對(duì)這習(xí)題的解題思路和具體解答清楚了嗎？還有什么不懂的嗎？” 學(xué)生L回答：“沒有了.老師，我覺得我剛剛做的將角轉(zhuǎn)化的解法好像有一個(gè)規(guī)律.我想說一說，你看對(duì)不對(duì)？”我馬上贊許地回答：“好啊.你說吧”.她很高興地說：“sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC有三個(gè)角，我覺得就是要將其中一個(gè)消掉，我剛才是用A+C來代替B，后來也用到B+C來代替A.如果不是這樣，真的可能做不出來.”我十分高興地說：“太好了！你說得很對(duì).在數(shù)學(xué)解題中，消元是十分常見的解題思路.以后要繼續(xù)加油學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)哦！”

3案例分析與討論

“說數(shù)學(xué)”作為一種口頭數(shù)學(xué)交流形式，在數(shù)學(xué)個(gè)別輔導(dǎo)中也可實(shí)施，對(duì)促進(jìn)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有獨(dú)特作用.

3.1“說數(shù)學(xué)”能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的提高

“促進(jìn)學(xué)生科學(xué)核心素養(yǎng)的整合發(fā)展，是當(dāng)前科學(xué)教育實(shí)踐和科學(xué)教育研究的共同期待”，“真正的科學(xué)（包括數(shù)學(xué)）學(xué)習(xí)過程是復(fù)雜的，學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展是多個(gè)因素交互作用的結(jié)果，往往是在某一主題下融合多個(gè)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，某一關(guān)鍵能力的培養(yǎng)需要在多個(gè)主題下以不同的側(cè)重點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行.”[4]

按照學(xué)生獲得的先后順序和難易程度，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的表現(xiàn)水平可以由低到高分成3個(gè)層次：數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)過程與方法、數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀.以數(shù)學(xué)素養(yǎng)提高為目的的數(shù)學(xué)教育，要求學(xué)生理解基本的數(shù)學(xué)概念和原理，具備一定的運(yùn)算、抽象、推理能力，能運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題，會(huì)用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)和交流，形成良好的數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀[5].素質(zhì)與素養(yǎng)密切相關(guān).素質(zhì)是指人的先天遺傳特質(zhì)和后天形成的能力，含有先天遺傳特質(zhì)的成分，而素養(yǎng)主要是靠后天的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)形成的，也就是說，素質(zhì)中有些東西是不可教的，也不可學(xué)的，而素養(yǎng)是可以培養(yǎng)的[5].

在上述案例中，女學(xué)生L在做習(xí)題1時(shí)存在困難，來找我答疑.我在與她交流的過程中，抓住了“說數(shù)學(xué)”的契機(jī)，要她獨(dú)立完成解法2，促使她強(qiáng)化了三角恒等變換的知識(shí)復(fù)習(xí)，加深對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識(shí).通過我的多次提問（啟發(fā)誘導(dǎo)），女學(xué)生L都給予了及時(shí)回答（“說”）.她的回答既有知識(shí)層面的，也有技能層面的，還有感想體會(huì)（情感態(tài)度與價(jià)值觀）層面的.如此的“說”改變了傳統(tǒng)的答疑就是“老師提供解答”的形式，是在師生互動(dòng)交流之中完成了答疑，喚醒了學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的鞏固、轉(zhuǎn)化、遷移以及應(yīng)用，能促使學(xué)生對(duì)習(xí)題所考查的知識(shí)與技能有更深刻的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生回顧解題的過程與運(yùn)用到的方法，還有激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.把“說”和“寫”相結(jié)合，如此處理一道題的答疑，考驗(yàn)教師的教學(xué)智慧，不是枯燥的知識(shí)傳授，而是通過教師的啟發(fā)誘導(dǎo)，使得學(xué)生回顧解題過程與方法，形成良好的情感態(tài)度價(jià)值觀，促進(jìn)了女學(xué)生L的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

因此，“說數(shù)學(xué)”不僅關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)，還關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程與方法以及情感態(tài)度與價(jià)值觀，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.

3.2“說數(shù)學(xué)”有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成

學(xué)生的數(shù)學(xué)推理、運(yùn)算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)處理能力、數(shù)學(xué)建模等情況光靠書面解答能全面反映出來嗎？不能！學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解、對(duì)數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)的把握、對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度和信念、對(duì)數(shù)學(xué)精神與思想和方法的領(lǐng)悟、對(duì)數(shù)學(xué)思維的掌握與運(yùn)用等并非僅僅通過紙筆測驗(yàn)可評(píng)價(jià)的.光看上述學(xué)生L的解法二，我們能看得出她的數(shù)學(xué)推理、運(yùn)算能力水平，但無法了解她的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度、信念等.“說數(shù)學(xué)”屬于出聲思維方式，是“與他人互動(dòng)”和“與自我互動(dòng)”相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式.老師通過學(xué)生L的“說數(shù)學(xué)”，在互動(dòng)中能較好地了解到她的學(xué)習(xí)情感態(tài)度與信念.“說數(shù)學(xué)”是傳統(tǒng)的紙筆測驗(yàn)評(píng)價(jià)的有效補(bǔ)充，通過口頭方式表達(dá)自己的想法和觀點(diǎn)，并在理解他人觀點(diǎn)或是具體問題時(shí)能選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)術(shù)語、符號(hào)、圖表等工具進(jìn)行表征，以及學(xué)會(huì)傾聽來自他人（老師）數(shù)學(xué)思維方式，在理解的基礎(chǔ)上對(duì)他人觀點(diǎn)進(jìn)行分析與評(píng)論（“說異見”），在主動(dòng)構(gòu)建論據(jù)與他人交流的同時(shí)逐步形成批判性思維，能有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成.

3.3“說數(shù)學(xué)”有助于提高學(xué)生的核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)主要是指一個(gè)人成功應(yīng)對(duì)實(shí)際生活中某種活動(dòng)或行為所需要的“勝任力或競爭力”，它是由完成該種活動(dòng)或行為所需要的知識(shí)、技能、態(tài)度等多種素質(zhì)要素構(gòu)成的綜合性素質(zhì)或整體性素質(zhì)[6].當(dāng)今社會(huì)要求人具有較好的綜合素質(zhì)，其中交流能力特別重要.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的傳授，也需發(fā)揮積極的育人功能，為培養(yǎng)全面發(fā)展的現(xiàn)代人做出應(yīng)有貢獻(xiàn).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程有時(shí)會(huì)因數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性等特點(diǎn)而讓學(xué)生感到枯燥乏味.其實(shí)，只要學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)情況“敢于交流、懂得交流、善于交流”，那他們就會(huì)學(xué)得開心，學(xué)得有勁，信心百倍，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.學(xué)生應(yīng)該在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中鍛煉和提高綜合素質(zhì)，不僅是懂得解題.書面解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式，但不是全部.“說數(shù)學(xué)”也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式之一.素養(yǎng)是可以后天培養(yǎng)的[5].因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)通過數(shù)學(xué)教學(xué)承擔(dān)起培養(yǎng)和提高學(xué)生核心素養(yǎng)的責(zé)任.

在上述案例中，學(xué)生L在看了我的現(xiàn)場解答之后，在我的引導(dǎo)下“說數(shù)學(xué)”，反應(yīng)很敏捷，口頭表達(dá)順暢且有條理，準(zhǔn)確性高，思維活躍.這充分表明學(xué)生L對(duì)習(xí)題1在解法1的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，有了較深刻的認(rèn)識(shí)，能在很短的時(shí)間里想到解法2，這是不容易的.能在我面前流利地“說知識(shí)”、“說過程”、“說體會(huì)”，說明學(xué)生L在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“敢于交流、懂得交流、善于交流”，具有積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感.數(shù)學(xué)個(gè)別輔導(dǎo)（答疑）較多是“學(xué)生問，老師答”，老師給出的往往是書面解答，較少口頭解釋，極少關(guān)注學(xué)生的問題解決過程、體會(huì)等，至多就是老師談?wù)勛约菏侨绾蜗氲浇忸}思路的，提提解題的注意事項(xiàng).可是，個(gè)別輔導(dǎo)應(yīng)該是師生個(gè)體之間交流互動(dòng)的最佳時(shí)機(jī).教師應(yīng)該把握契機(jī)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).這樣，才能最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能.

4結(jié)束語

基于學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的新一輪課程改革正在拉開帷幕.如何通過數(shù)學(xué)教學(xué)，基于數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，值得深入研究.以上基于核心素養(yǎng)視角，采用案例研究法對(duì)“說數(shù)學(xué)”活動(dòng)展開了探究.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)到底應(yīng)如何界定、劃分，有哪些培養(yǎng)策略目前學(xué)術(shù)界還在討論.以上探討僅是我在學(xué)習(xí)、整理了部分文獻(xiàn)資料的基礎(chǔ)上，結(jié)合高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)實(shí)踐所作的一些思考.從核心素養(yǎng)視角反思、探究數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，應(yīng)是每一個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者的義務(wù)與責(zé)任.面對(duì)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教育改革大背景，立足自身的教學(xué)實(shí)踐，應(yīng)做出怎樣的努力，如何更好地迎接、實(shí)踐和探究新一輪課程改革，值得全體數(shù)學(xué)教育工作者認(rèn)真思考.總之，“說”是伴隨學(xué)生終身的一種交流方式；“說數(shù)學(xué)”能很好鍛煉和提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

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作者簡介鐘進(jìn)均（1977—），男，廣東茂名人，數(shù)學(xué)中學(xué)高級(jí)教師，教育碩士，華南師范大學(xué)和廣州大學(xué)校外研究生導(dǎo)師，廣州市名教師，廣州市中小學(xué)骨干教師，在省級(jí)以上刊物公開發(fā)表論文40多篇，其中7篇被人大復(fù)印資料全文轉(zhuǎn)載，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.