意外的提問精彩的生成

王鳳春 張冰

在選修教學(xué)中，為了證明不等式aba>0，m>0），我作了如下教學(xué)設(shè)計(jì).

1教學(xué)設(shè)計(jì)

例題若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會(huì)變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來，并證明之.

分析本例實(shí)質(zhì)上是化學(xué)問題，由濃度概念可知aba>0，m>0），即糖水中加糖甜更甜.

注保和溶液時(shí)，m有取值范圍.

解師生合作給出了如下證明.

證法一（比較法）a+mb+m-ab=b（a+m）-a（b+m）b（b+m）=m（b-a）b（b+m）.

因?yàn)閎>a>0，m>0，所以b-a>0，b+m>0，所以m（b-a）b（b+m）>0，即a+mb+m>ab.

證法二（放縮法）因?yàn)閎>a>0且m>0，所以ab=a（b+m）b（b+m）=a+abmb+m

瘙 綊 BD，

因?yàn)椤鰽BC∽△ADF，

所以ab=a+mb+CF

完成證明，師生共同給出如下推廣：

設(shè)真分?jǐn)?shù)a1b1

則a1b1

原來的教學(xué)設(shè)計(jì)是推廣（*）后，講解兩道基本例題，便完成本課的教學(xué).但是，學(xué)生甲追問（*）如何證明？這個(gè)提問既打亂了教學(xué)設(shè)計(jì)，也激發(fā)了學(xué)生的思考.課堂上片刻的沉靜后，學(xué)生乙受生活模型，即上述糖水混合的啟發(fā)，給出了如下證明.

2意外生成

2.1化學(xué)模型

有一種化學(xué)溶液，裝在標(biāo)號(hào)分別為1號(hào)，2號(hào)，…，n號(hào)的瓶中，其溶質(zhì)和溶液的質(zhì)量分別是（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），且濃度滿足a1b1

若將1號(hào)，2號(hào)混合，其濃度為a1+a2b1+b2，所以有

a1b1

將1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)混合，其濃度為a1+a2+a3b1+b2+b3，

所以有a1b1

依次類推，（*）式成立.

這個(gè)模型直觀易懂，無需數(shù)學(xué)的邏輯推理，說出了（*）式的本質(zhì).

2.2幾何模型

圖2如圖2，設(shè)AC1=a1，AA1=b1，A1D2=a2，A1A2=b2，A2D3=a3，A2A3=b3.

因?yàn)閍1b1

顯然有a1b1

a1b1

經(jīng)過一番討論，學(xué)生甲給出這個(gè)模型，全班學(xué)生無言，同學(xué)們對(duì)他們豎起了大拇指，一種成功感溢于言表，我也為弟子們的精彩表現(xiàn)而自豪.

3精彩應(yīng)用

學(xué)生的精彩發(fā)現(xiàn)，讓我對(duì)學(xué)生的思維有了更高的預(yù)期，于是我改動(dòng)了例題，把原本當(dāng)做思考題的題目作為課堂練習(xí).

練習(xí)（2013年北大保送生）

已知：正數(shù)a，b，c，滿足a

求證：a1+a

證明：因?yàn)閍b+c+bc1+b+c+bc>b+c1+b+c>a1+a.

應(yīng)用公式，學(xué)生很快給出了上述解答.學(xué)生意猶未盡，但此時(shí)鈴聲已響……

課后反思本課由于一位學(xué)生的疑問，引發(fā)了全班學(xué)生的思考.兩個(gè)模型的建立，讓學(xué)生產(chǎn)生興奮驚奇，無字的證明，將課堂氣氛推向高潮，扣人心弦.其間，老師及時(shí)捕捉學(xué)生靈光閃現(xiàn)的思維火花，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與，充分暴露學(xué)生的思維過程，才有如此大的收獲.模型二實(shí)質(zhì)上是對(duì)不等式鏈的幾何解釋.如何落實(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的問題，深度學(xué)習(xí)，啟發(fā)學(xué)生的高階思維是個(gè)有效的途徑，新課程以學(xué)生發(fā)展為本的口號(hào)喊了多年，然而，課堂教學(xué)真正體現(xiàn)這種理念，還需經(jīng)常反思自己的教學(xué)行為.學(xué)生帶著自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、思考、興趣參與課堂活動(dòng)，可以獨(dú)立思考、個(gè)性化理解、自由表達(dá)，可以質(zhì)問、懷疑、批判教師觀點(diǎn)或教材觀點(diǎn)，從而使課堂教學(xué)呈現(xiàn)出多樣性、豐富性和隨機(jī)性.這樣的教學(xué)對(duì)教師提出了新的要求，不僅要有新的理念，還必須具有深厚的學(xué)科底蘊(yùn)，才能把握課堂，使課堂教學(xué)煥發(fā)出生命活力.

作者簡介王鳳春（1962—），男，江蘇徐州市人，上海市特級(jí)教師，上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院碩士生導(dǎo)師.主要研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)教育和教育科研.出版《中學(xué)數(shù)學(xué)教育科研》等著作；解決了最優(yōu)化問題中 Lagrange乘數(shù)法的相關(guān)問題，論文發(fā)表在《高等數(shù)學(xué)研究》.

張冰（1979—），女，湖北黃岡市人，中學(xué)高級(jí)教師，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)和教育科研，寶山區(qū)學(xué)科帶頭人，寶山區(qū)教育學(xué)院高中數(shù)學(xué)兼職教研員.