糖水不等式

在一杯水中加入糖后，水會變甜，再加入一些水后，水又會變淡，這些都是我們的生活常識。

把a(bǔ) g糖放進(jìn)玻璃杯，加入白開水，使糖充分溶化并搖勻，得到一杯質(zhì)量為 b g的糖水（b＞a＞0），此時，這杯糖水的甜度（含糖量）是[ab]。

如果再向這杯糖水中添加m g糖（m＞0），則糖水的甜度是[a+mb+m]。顯然，加糖后糖水的甜度增大，糖水更甜，因此有[a+mb+m]＞[ab]。

當(dāng)然，以上是結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出來的規(guī)律，充其量只是對不等式進(jìn)行了直觀的“解釋”，不能稱為嚴(yán)格的證明。我們不妨用數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證一下：

因?yàn)閇a+mb+m]-[ab]

=[b（a+m）-a（b+m）b（b+m）]

=[（b-a）mb（b+m）]，

又因?yàn)閎＞a＞0，m＞0，

所以[（b-a）mb（b+m）]gt;0。

所以[a+mb+m]gt;[ab]。

這就是所謂的糖水不等式。如果向這杯糖水中添加適量的白開水，這杯糖水的甜度會發(fā)生怎樣的變化呢？請你用數(shù)學(xué)的語言描述，并試著進(jìn)行代數(shù)證明。

在糖水不等式的基礎(chǔ)上，兩杯甜度不同的糖水，一杯較淡（濃度為[a1b1] ），一杯較濃（濃度為[a2b2] ），那么混合后的糖水一定是比濃的更淡，同時又比淡的更濃，這樣可以得到糖水不等式的推論：

由b1gt;a1gt;0，b2gt;a2gt;0，[a1b1]lt;[a2b2]，

則[a1b1] lt;[a1+a2b1+b2]lt;[a2b2]。

同樣地，我們可以用作差法進(jìn)行證明。有興趣的同學(xué)不妨一試。

一杯糖水，一個不等式，居然是一回事。你說有趣不有趣？