關(guān)于拋物方程傅里葉變換步進(jìn)算法在電波繞射中的應(yīng)用研究

曹志，逯貴禎，代明

(中國(guó)傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院，北京 100024)

1 引言

在無(wú)線廣播和無(wú)線通信領(lǐng)域，電波傳播覆蓋在工程和理論研究中都是一個(gè)非常重要的研究?jī)?nèi)容。在廣播技術(shù)領(lǐng)域，電波傳播覆蓋通常采用ITU-370或ITU-1546模型進(jìn)行廣播電視的頻率規(guī)劃和覆蓋分析研究。這兩個(gè)模型是基于大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)歸納得到的統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｔ谕ㄐ偶夹g(shù)領(lǐng)域，用的最多的是 Okumura-Hata模型。Okumura-Hata模型也是基于大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)歸納得到的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停ǔＵJ(rèn)為這個(gè)模型主要是用于大城市的傳播環(huán)境。盡管上述模型得到了廣泛的應(yīng)用，但是對(duì)于復(fù)雜的地形，比如山區(qū)和大城市的傳播環(huán)境，上述傳播模型給出了與實(shí)測(cè)數(shù)值較大的偏差。為了改進(jìn)傳播模型的預(yù)測(cè)精度，國(guó)內(nèi)外進(jìn)行了大量的理論與實(shí)驗(yàn)研究工作。在理論分析模型中，由于分析區(qū)域通常會(huì)達(dá)到幾百平方公里，因此全波分析方法受到了限制。幾何射線方法由于不需要求解偏微分方程，能夠?qū)Ψ秶艽蟮膮^(qū)域進(jìn)行分析。但是由于障礙物的準(zhǔn)確模型在一般的傳輸環(huán)境中是很難得到的，還有射線跟蹤的復(fù)雜性，因此在大區(qū)域的電波傳輸預(yù)測(cè)分析中受到很大限制。在最近十幾年，拋物方程方法引起了電波傳播領(lǐng)域研究者的注意。拋物方程方法是介于波動(dòng)方程與射線方法之間的一種全波分析方法。相對(duì)于波動(dòng)方程，拋物方程可以在傳播方向采用步進(jìn)算法求解，因此極大地減少了計(jì)算量。與射線方法相比，拋物方程不需要進(jìn)行復(fù)雜的射線跟蹤，是一種全波方法。

關(guān)于拋物方程傅里葉步進(jìn)算法的數(shù)值計(jì)算精度在一些相關(guān)文獻(xiàn)中有一些初步的研究[2][4]。Patricia L.Slingsby 從拋物方程近似的角度，針對(duì)大氣波導(dǎo)問題給出了算法對(duì)步進(jìn)距離和離散間隔的要求。但是對(duì)于一般的障礙物繞射問題并沒有過(guò)多涉及。Ozgun 從傅里葉變換的角度給出了有關(guān)離散間隔對(duì)計(jì)算觀察的影響。為了分析離散間隔對(duì)計(jì)算誤差的影響，定義了一個(gè)誤差函數(shù)度量拋物方程計(jì)算的誤差。文章中給出了一些粗略的估計(jì)準(zhǔn)則，如何進(jìn)一步優(yōu)化離散間隔仍然是需要研究的問題。在本文計(jì)算分析研究中，考慮菲涅耳繞射問題的解析結(jié)果與拋物方程計(jì)算結(jié)果的比較。在數(shù)值計(jì)算研究中，討論了拋物方程最大偏離角度，傅里葉變換數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，離散間隔對(duì)障礙物繞射結(jié)果的影響。

2 傅里葉步進(jìn)算法分析

傅里葉步進(jìn)算法以一種高效的求解拋物方程的數(shù)值算法，在電波傳播預(yù)測(cè)和分析中得到了廣泛的應(yīng)用。但是對(duì)于該方法的優(yōu)化和計(jì)算誤差的分析目前研究還比較少。在此我們考慮標(biāo)準(zhǔn)拋物方程的傅里葉步進(jìn)算法。標(biāo)準(zhǔn)拋物方程可以寫為：

(1)

考慮與地面角度為α平面波傳播，忽略泰勒展開第一項(xiàng)正比于[2]，

(2)

所以，誤差正比于sin4α。

當(dāng)空間折射率為1時(shí)，(1)式的關(guān)于函數(shù)u的項(xiàng)為零。傅里葉步進(jìn)算法可以表示為：

(3)

傅里葉步進(jìn)算法的精度與快速傅里葉變換參量N，步進(jìn)距離Δx，離散間距Δz，最大偏離角度θmax有密切關(guān)系。文獻(xiàn)[2]中給出的相關(guān)準(zhǔn)則為：

(4)

下面的數(shù)值計(jì)算通過(guò)比較菲涅爾繞射問題討論傅里葉步進(jìn)算法的精度與快速傅里葉變換參量之間的關(guān)系。

3 計(jì)算結(jié)果與討論

關(guān)于拋物方程傅里葉步進(jìn)算法的數(shù)值計(jì)算誤差在一些相關(guān)文獻(xiàn)中有一些初步的研究[2][4]。Patricia L.Slingsby 從拋物方程近似的角度，針對(duì)大氣波導(dǎo)問題給出了算法對(duì)步進(jìn)距離和離散間隔的要求。Ozgun 從傅里葉變換的角度給出了有關(guān)離散間隔對(duì)計(jì)算觀察的影響。為了分析離散間隔對(duì)計(jì)算誤差的影響，定義了一個(gè)誤差函數(shù)度量拋物方程計(jì)算的誤差。在本文計(jì)算分析研究中，考慮菲涅耳繞射問題的解析結(jié)果與拋物方程計(jì)算結(jié)果的誤差，并以此討論數(shù)值計(jì)算誤差對(duì)結(jié)果的影響。

菲涅耳繞射問題的幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。對(duì)于沿x方向傳播的平面波入射到一個(gè)障礙屏，其場(chǎng)分布在x=0 位置如公式(5)所示。

圖1 菲涅耳繞射問題的幾何表示

(5)

根據(jù)菲涅耳繞射理論，在x〉0 區(qū)域，場(chǎng)分布可以由公式(6)給出，其中F(v)是菲涅耳積分，由公式(7)定義。

(6)

(7)

為了研究拋物方程數(shù)值計(jì)算的精度，考慮沿x方向傳播的平面波遇到障礙屏的繞射問題。在數(shù)值分析中，z方向距離范圍為500米，水平面上下各有250米。觀測(cè)點(diǎn)位置x=600米，z從 -z0 到+z0 變化，對(duì)應(yīng)于障礙物對(duì)菲涅爾區(qū)的不同遮擋情況。下面分幾種情況研究拋物方程傅里葉步進(jìn)算法的數(shù)值計(jì)算精度。

3.1 最大偏離角度θmax

拋物方程傅里葉步進(jìn)算法中的傅里葉變換是對(duì)空間高度z變量的運(yùn)算，對(duì)應(yīng)的譜域是偏離水平方向的偏離角度。為了保證拋物近似的精度，在窄角度近似中，要求最大偏離角度滿足關(guān)系式[3]：

k·sinθmax=pmax

(8)

在傅里葉步進(jìn)算法中，z方向的離散間隔要求[2]，

(9)

結(jié)合公式(8)和(9)，在變換域，譜變量的最大值要求滿足關(guān)系式(10)，

(10)

圖2給出了根據(jù)公式(10)計(jì)算得到的繞射場(chǎng)和解析結(jié)果公式(6)的對(duì)比結(jié)果。圖3是Pmax進(jìn)行修正后得到的計(jì)算結(jié)果。在圖2和圖3的計(jì)算結(jié)果中，傅里葉變換點(diǎn)數(shù)N=256。

圖2 當(dāng)時(shí)，距離x=600米位置的繞射場(chǎng)

圖3 當(dāng)時(shí)，距離x=600米位置的繞射場(chǎng)

3.2 傅里葉變換點(diǎn)數(shù)與離散間距

傅里葉變換點(diǎn)數(shù)與離散間距dz，最大偏離角度有密切的關(guān)系，根據(jù)信號(hào)處理的離散傅里葉變換關(guān)系，它們之間的關(guān)系可以表示為，

2·zmax=N·dz

(11)

公式(11)中zmax是最大的計(jì)算空間高度，N是離散傅里葉變換的點(diǎn)數(shù)。由于最大的計(jì)算空間高度是固定的，因此N的取值不同會(huì)影響dz的取值，進(jìn)一步會(huì)影響最大偏離角度數(shù)值。

圖4 傅里葉變換點(diǎn)數(shù)N=512的繞射場(chǎng)

圖4給出了改變傅里葉變換點(diǎn)數(shù)為N=512的繞射場(chǎng)。由于增加了N，因此dz的數(shù)值u變小，從N=256時(shí)的1.96米變?yōu)镹=512時(shí)的0.978米。在計(jì)算中由于設(shè)置計(jì)算范圍指標(biāo)值是固定的，所以空間范圍從正負(fù)60米變?yōu)檎?fù)30米?？梢钥吹?，點(diǎn)數(shù)的增加對(duì)計(jì)算精度的影響并不是很大。從最大偏離角度來(lái)看，N=256時(shí)的最大偏離角度是20.1度，N=512時(shí)的最大偏離角度是43.6度。

以上的計(jì)算是基于比較拋物方程傅里葉步進(jìn)算法和菲涅耳繞射理論，計(jì)算結(jié)果表明：最大偏離角度與離散間隔的關(guān)系對(duì)計(jì)算精度有非常重要的影響；拋物方程小角度近似的使用范圍和使用條件可以進(jìn)一步放寬。綜上所述，目前已有的數(shù)值計(jì)算準(zhǔn)則還需要做進(jìn)一步優(yōu)化研究。

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