基于量綱分析法的旋轉(zhuǎn)超聲磨削鈦合金刀具磨損數(shù)學(xué)模型

劉凡，秦娜，牛健地，鄭亮

(西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031)

0 引言

鈦合金因密度小、比強(qiáng)度高、耐高溫、耐腐蝕等一系列優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用在航空制造業(yè)中[1]。但鈦合金材料亦具有導(dǎo)熱系數(shù)小、高溫化學(xué)活性大和彈性模量低等特性，是典型的難加工材料[2]。鈦合金的難加工特性直接影響零部件的加工效率和加工成本。隨著鈦合金應(yīng)用日益廣泛，急需一種新的加工方法滿足日益增長的鈦合金市場擴(kuò)展的需要。

旋轉(zhuǎn)超聲磨削加工是固結(jié)磨料工具的磨削加工與普通超聲振動加工為一體的復(fù)合加工方式[3]。相對比傳統(tǒng)加工鈦合金的方法而言，旋轉(zhuǎn)超聲磨削加工具有磨削力較小、材料去除率高、加工表面質(zhì)量好等突出優(yōu)勢，可以有效地提高刀具使用壽命與已加工表面的表面完整性，因此固結(jié)磨粒旋轉(zhuǎn)超聲磨削加工在許多工業(yè)領(lǐng)域正得到越來越廣泛的應(yīng)用。

1 旋轉(zhuǎn)超聲磨削刀具磨損

在旋轉(zhuǎn)超聲磨削加工中，影響刀具磨損的因素眾多，例如刀具主軸轉(zhuǎn)速、進(jìn)給速度、超聲功率、超聲頻率、磨料粒度、磨料類型、磨料濃度、刀具內(nèi)壁厚度、刀具結(jié)合劑類型等。這些因素對超聲振動刀具磨損的影響程度不盡相同，且某些因素之間存在一定的交互作用，因此將影響超聲振動刀具磨損的因素全部加以考慮不現(xiàn)實。本文在相關(guān)預(yù)實驗分析的基礎(chǔ)上，確認(rèn)了6個主要并且相對容易控制的加工工藝參數(shù)和刀具結(jié)構(gòu)參數(shù)，即：刀具主軸轉(zhuǎn)速(S)、進(jìn)給速度(V)、超聲功率(W)、超聲頻率(F)、磨料粒度(R)、磨料濃度(C)，將影響刀具磨損的其他因素忽略。因此旋轉(zhuǎn)超聲磨削刀具模型可由函數(shù)關(guān)系式(1)來表示：

T=f(S,V,P,F,R,C)

(1)

2 量綱分析法

量綱分析[9]是物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的一種方法，在經(jīng)驗和試驗的基礎(chǔ)上，利用物理定律的量綱其次性原則和用于量綱分析建模的BuckinghamΠ定理，可以確定各物理量之間的關(guān)系。BuckinghamΠ定理[10]描述如下：若一個物理關(guān)系f(s1,s2,s3,…,sn)，是由一組量綱不同的物理量S1，S2，S3,…,Sn所組成。設(shè)在這組物理量中有j個量綱相互獨(dú)立，并且選作為基本量綱，這個物理關(guān)系一定可以用k=n-j個無量綱量Π1,Π2,…，Πk完全表示出來，即：

f(Π1,Π2,Π3，…，Πk)=0

(2)

從 BuckinghamΠ定理來看，它是一種數(shù)學(xué)分析方法，因此量綱分析法不失為建立振動刀具磨損數(shù)學(xué)模型的有力工具。本文借助于量綱分析法確定式(1)中含6個變量的函數(shù)關(guān)系。

刀具磨損以刀具縱向長度磨損量作為刀具磨損評價指標(biāo)，因此式(1)中共有7個變量，變量具體量綱見表1(應(yīng)用的量綱分析系統(tǒng)是“質(zhì)量系統(tǒng)”，即“LMT”系統(tǒng)，以L-長度量綱、M-質(zhì)量量綱、T-時間量綱為3個基本物理量綱，其余物理量的量綱均為導(dǎo)出量綱)選取長度L、質(zhì)量M、時間T為3個基本物理量綱，則由式(2)知無量綱量Π的個數(shù)是4。從7個參量中選擇3個作為問題的重復(fù)變量，選取的重復(fù)變量應(yīng)是線性無關(guān)的并且此線性無關(guān)物理量組成的量綱矩陣子行列式不應(yīng)為0，因此根據(jù)量綱矩陣，選擇S(主軸轉(zhuǎn)速)、V(進(jìn)給速度)、P(超聲功率)作為重復(fù)變量，量綱矩陣如表2所示。

表1 變量及其量綱

表2 量綱矩陣

根據(jù)BuckinghamΠ定理與3個重復(fù)參量寫出4個無量綱量的表達(dá)式如下：

Π1=L(T-1)α(LT-1)β(ML2T-3)γ

(3)

Π2=C

(4)

Π3=T-1(T-1)α(LT-1)β(ML2T-3)γ

(5)

Π4=T-1(T-1)α(LT-1)β(ML2T-3)γ

(6)

Π為無量綱量，根據(jù)量綱一致性原理[10]可以求得Π的具體表達(dá)式，Π1的求解過程如下：

1+β=0

-α-β=0

γ=0

解之，α=1，β=-1，γ=0,則Π1=RSV-1，同理求出其余3個無量綱量Π，分別為：Π2=C，Π3=fS-1，Π4=TSV-1。則根據(jù)BuckinghamΠ定理，式(1)中刀具磨損與各參量的關(guān)系可以表示成如下關(guān)系：

f(RSV-1,C,fS-1,TSV-1)=0

(7)

式(7)轉(zhuǎn)化成：TSV-1=φ(RSV-1,C,fS-1)，式中φ為某個函數(shù)，在處理試驗結(jié)果或者數(shù)值結(jié)果時，通?？梢园呀Y(jié)果表示成冪次關(guān)系[11]，即：

TSV-1=C1(RSV-1)α(C)β(fS-1)γ

(8)

其中，C1是常數(shù)，而α、β、γ是實數(shù)。將式(8)轉(zhuǎn)化為對數(shù)關(guān)系，即：

lnTSV-1=lnC1+αlnRSV-1+βlnC+γlnfS-1

(9)

分別令lnRSV-1=x1,lnC=x2，lnfS-1=x3，lnTSV-1=y，則式(9)可以表示為：

y=c+αx1+βx2+γx3

(10)

式(10)相對于式(1)而言，減少了自變量的個數(shù)，大大減少工作量，并且使得結(jié)果更加具有普遍性。式(10)中實數(shù)α、β、γ將通過正交試驗法推導(dǎo)確定。

3 正交試驗

正交試驗設(shè)計簡稱正交設(shè)計(orthogonal design)，它是部分因子設(shè)計的主要方法，是利用正交表科學(xué)地安排與分析多因素試驗的方法，其基本思想是從全面試驗中挑選出部分有代表的點(diǎn)進(jìn)行試驗，這些點(diǎn)具有“均衡分散”和“整齊可比”的特點(diǎn)[12]。本文使用Design-expert軟件設(shè)計了六因素三水平正交試驗，正交試驗因素水平表如表3所示。刀具磨損量為刀具旋轉(zhuǎn)超聲磨削鈦合金前后刀具縱向長度的磨損量，超聲振動刀具縱向長度的磨損量由超聲振動機(jī)床中的激光對刀儀測定。根據(jù)式(10)中的替換規(guī)則，將正交試驗表中試驗設(shè)計與結(jié)果變換成表4所示。

表3 因素水平編碼

試驗采用德國DMG Ultrasonic 70超聲振動機(jī)床，超聲振動刀具由鄭州磨料磨具磨削研究所制備。刀具外徑、內(nèi)徑分別為10mm和6mm，刀具結(jié)合劑類型為錫青銅基，如圖1所示。工件材料為鈦合金Ti6Al4V，工件尺寸為50mm×50mm×0.5mm。試驗系統(tǒng)冷卻方式為外冷，采用鈦合金專用切削液。每次試驗前后使用超聲振動機(jī)床中的激光對刀儀測量刀具縱向長度，獲得每次試驗中刀具磨損量數(shù)值，每組試驗重復(fù)3次，取3次實驗數(shù)據(jù)的平均值作為該組試驗刀具磨損結(jié)果。

表4 試驗設(shè)計及結(jié)果

圖1 試驗用超聲振動刀具

4 結(jié)果與分析

使用Design-expert軟件對表4中18組刀具磨損數(shù)據(jù)進(jìn)行多元線性回歸建模與分析，則可擬合出旋轉(zhuǎn)超聲磨削鈦合金刀具磨損數(shù)學(xué)模型。對式(10)進(jìn)行多元線性回歸分析之后模型為：

y=-6.797 14+0.634 65x1+2.549 68x2+1.855 28x3

(11)

根據(jù)上節(jié)推導(dǎo)，將式(11)中的系數(shù)反推到式(8)中，獲得了旋轉(zhuǎn)超聲磨削鈦合金刀具磨損數(shù)學(xué)模型，模型具體公式為：

T=e-6.797 14×S-2.220 63×V0.365 35×R0.634 65×C2.549 68×f1.855 28

(12)

模型能否實現(xiàn)對實際響應(yīng)的預(yù)測取決于模型建立得是否合適，因此必須對模型的有效性進(jìn)行檢測。在Design-expert中，可以根據(jù)殘差的正太概率分布是否接近一條直線來判定，如圖2所示。從圖中可以看出，標(biāo)準(zhǔn)殘差的正態(tài)概率分布在一條直線上，充分表明了所建立的刀具磨損模型的有效性。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)殘差概率分布圖

模型的顯著性反映了模型對實際響應(yīng)的預(yù)測精度，因此需要對超聲振動刀具磨損模型進(jìn)行方差分析，判斷其顯著性。設(shè)顯著性水平α=0.01，則模型方差分析如表5所示。

表5 模型方差分析表

根據(jù)模型和殘余誤差的自由度F分布表，得F0.01(3,14)=5.56,F=45.04>F0.01(3，14)=5.56，因此擬合的旋轉(zhuǎn)超聲磨削鈦合金刀具磨損模型顯著度非常明顯，即可以進(jìn)行振動刀具磨損量的預(yù)測。

5 結(jié)語

本文在量綱分析的基礎(chǔ)上，以振動刀具縱向磨損量作為刀具磨損評價指標(biāo)，建立了旋轉(zhuǎn)超聲磨削鈦合金刀具磨損與刀具結(jié)構(gòu)參數(shù)(磨料粒度、磨料濃度)和加工工藝參數(shù)(主軸轉(zhuǎn)速、進(jìn)給速度、超聲功率、超聲頻率)的數(shù)學(xué)模型，通過有效性和顯著性檢驗得出標(biāo)準(zhǔn)殘差的正態(tài)概率分布在一條直線上，模型F分布值為45.04，在顯著性水平α=0.01上，遠(yuǎn)大于F分布臨界值5.56，充分表明了模型具有較高的顯著度，可以對旋轉(zhuǎn)超聲磨削鈦合金中的刀具磨損進(jìn)行預(yù)測。

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